24. 如图1,边长为4的正方形ABCD,E为AB边上的动点(不与A,B重合),连结CE,以CE为边向右上方作正方形CEFG,边EF与AD交于点H,连结DG。
(1)求证:DG=BE。
(2)若HD=2DG,求BE的长。
(3)如图2,连结BG,过点C作CN⊥BG于点N,交ED于点K。求证:K为ED的中点。

24.(1)证明:因为四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形,所以$CB=CD$,$CE=CG$,$∠BCD=∠ECG$,所以$∠BCE=∠DCG$,所以$△BCE≌△DCG$(SAS),所以$DG=BE$。
(2)如图1,连结CH,设$DG=BE=x$,则$DH=2x$,$AE=4-x$,$AH=4-2x$,因为$CE^2=BE^2+BC^2=x^2+16$,$EH^2=(4-x)^2+(4-2x)^2$,所以在$Rt△EHC$中,$HC^2=EH^2+EC^2=x^2+16+(4-x)^2+(4-2x)^2$,在$Rt△HDC$中,$HC^2=DH^2+DC^2=(2x)^2+16$,所以$16+(2x)^2=x^2+16+(4-x)^2+(4-2x)^2$,解得$x_1=6+2\sqrt{5}$(舍去),$x_2=6-2\sqrt{5}$,所以$BE=x=6-2\sqrt{5}$。
(3)如图2,延长CK,作$EP⊥CK$于点P,作$DQ⊥CK$于点Q,易知$CE=GC$,$∠CPE=∠GNC=90°$,通过直角转换易得$∠CEP=∠GCN$,在$△CEP$和$△GCN$中,$\begin{cases}∠CPE=∠GNC=90°,\\∠CEP=∠GCN,\\CE=CG,\end{cases}$所以$△CEP≌△GCN$(AAS),所以$EP=CN$,同理可证$△CDQ≌△BCN$,所以$DQ=CN$,所以$EP=DQ$。因为$EP⊥CK$,$DQ⊥CK$,所以$EP//DQ$,故以E,P,D,Q为顶点的四边形是平行四边形,所以对角线DE,PQ互相平分,即K为DE中点。