4. 新考法 数形结合法 如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过格点(网格线的交点)A,连接OA.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求作OA的垂直平分线(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(3)若OA的垂直平分线交x轴于点M,交OA于点N,当直线MN向上平移几个单位时能与第一象限内双曲线有唯一交点?

4.【解】(1)$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过格点(网格线的交点)$A(2,4)$，$\therefore k=2×4=8$.
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}(x＞0)$.
(2)如图所示.
(3)如图.设直线$MN$的表达式为$y=ax+b$.
由(2)可知$M(5,0),N(1,2)$，
$\therefore\begin{cases}5a+b=0,\\a+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2},\\b=\frac{5}{2}.\end{cases}$
$\therefore$直线$MN$的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$.
设直线$MN$向上平移$m$个单位时能与第一象限内双曲线有唯一交点，则平移后的直线的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}+m$.
联立，得$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}+m,\\y=\frac{8}{x},\end{cases}$则$x^2-(5+2m)x+16=0$.
$\therefore \Delta=[-(5+2m)]^2-4×1×16=4m^2+20m-39=0$，解得$m_1=\frac{3}{2}$，$m_2=-\frac{13}{2}$(不合题意，舍去).$\therefore m=\frac{3}{2}$，即当直线$MN$向上平移$\frac{3}{2}$个单位时与第一象限内双曲线有唯一交点.

5. ★★★ 一题多解 如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象$l$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$M(\frac{1}{2},4),N(n,1)$两点.
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求$△ OMN$的面积；
(3)若点$P$是$y$轴上一动点,连接$PM,PN$.当$PM+PN$的值最小时,求点$P$的坐标.

5.【解】(1)$\because$点$M(\frac{1}{2},4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，$\therefore k=\frac{1}{2}×4=2$.$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{2}{x}$.
又$\because$点$N(n,1)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，$\therefore n=2$.$\therefore N(2,1)$.
设一次函数的表达式为$y=ax+b$，将点$M(\frac{1}{2},4)$，$N(2,1)$的坐标分别代入，得$\begin{cases}\frac{1}{2}a+b=4,\\2a+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=5.\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-2x+5$.
(2)方法1:如图①，设直线$l$交$x$轴于点$A$，交$y$轴于点$B$，由(1)得直线$l$的表达式为$y=-2x+5$，$\therefore$易得$A(\frac{5}{2},0),B(0,5)$.$\therefore OA=\frac{5}{2},OB=5$.
$\therefore S_{△ OMN}=S_{△ AOB}-S_{△ AON}-S_{△ BOM}=\frac{1}{2}AO· BO-\frac{1}{2}AO· y_N-\frac{1}{2}BO· x_M=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×5-\frac{1}{2}×\frac{5}{2}×1-\frac{1}{2}×5×\frac{1}{2}=\frac{15}{4}$.
方法2:如图①，过点$M,N$作$ME⊥ x$轴，$NF⊥ x$轴，垂足分别为$E,F$，由反比例函数中$k$的几何意义可知$S_{△ OME}=\frac{|k|}{2}=S_{△ ONF}$，
$\therefore S_{△ OMN}=S_{梯形MEFN}=\frac{1}{2}EF·(ME+NF)=\frac{1}{2}×(2-\frac{1}{2})×(4+1)=\frac{15}{4}$.

(3)如图②，作点$M$关于$y$轴的对称点$M'$，连接$M'N$交$y$轴于点$P$，此时$PM+PN=PM'+PN=M'N$，即此时$PM+PN$有最小值，最小值为$M'N$的长.
$\because M(\frac{1}{2},4)$与$M'$关于$y$轴对称，$\therefore M'(-\frac{1}{2},4)$.
设直线$M'N$的表达式为$y=cx+d$，将$M'(-\frac{1}{2},4),N(2,1)$的坐标分别代入，得$\begin{cases}-\frac{1}{2}c+d=4,\\2c+d=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-\frac{6}{5},\\d=\frac{17}{5}.\end{cases}$
$\therefore$直线$M'N$的表达式为$y=-\frac{6}{5}x+\frac{17}{5}$.
令$x=0$，则$y=\frac{17}{5}$.$\therefore P(0,\frac{17}{5})$.$\therefore$当$PM+PN$的值最小时，点$P$的坐标为$(0,\frac{17}{5})$.

点模型 “三角形”化“梯形”模型

结 论：① $S_{△ AOC}=S_{△ BOD}=\frac{|k|}{2}$；
② $S_{△ AOE}=S_{四边形ECDB}$；
③ $S_{△ AOB}=S_{梯形ACDB}$