8. [2025自贡] 如图，正比例函数$y=kx$与反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象在第二象限交于点$A(-2,a)$，点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D.
(1)求$k$的值；
(2)若$BD=2$，求点B坐标；
(3)双曲线$y=-\dfrac{8}{x}$关于y轴对称的图象为$y'$，直接写出射线OA绕点O旋转$90°$后与$y'$的交点坐标.

8. 【解】(1)$\because$点$A(-2,a)$在反比例函数$y=-\frac{8}{x}$的图象上,$\therefore a=4$,即$A(-2,4)$,将$A(-2,4)$的坐标代入$y=kx$中,得$-2k=4$,解得$k=-2$.
(2)$\because B$在直线$y=-2x$上,设$B(m,-2m)$,$\because$过点B作y轴的垂线,交反比例函数的图象于点D.$\therefore D(\frac{8}{2m},-2m)$,$\because BD=2$,$\therefore m-\frac{8}{2m}=2$,解得$m=1-\sqrt{5}$或$m=1+\sqrt{5}$(不符合题意,舍去),$\therefore B(1-\sqrt{5},-2+2\sqrt{5})$.
(3)射线OA绕点O旋转$90°$后与$y'$的交点坐标为$(4,2)$或$(-4,-2)$. 【点拨】$\because$双曲线$y=-\frac{8}{x}$关于y轴对称的图象为$y'$,$\therefore y'=\frac{8}{x}$,如图,由旋转可得$OA=OA'$,$∠ AOA'=90°$,过A作$AK⊥ x$轴于K,过$A'$作$A'L⊥ x$轴于L,$\therefore ∠ AKO=∠ A'LO=90°$,$\therefore ∠ AOK=90°-∠ A'OL=∠ OA'L$,$\therefore △ AOK≌△ OA'L$,$\therefore AK=OL$,$OK=A'L$.$\because A(-2,4)$,$\therefore OL=AK=4$,$A'L=OK=2$,$\therefore A'(4,2)$,当$x=4$时,$y'=\frac{8}{x}=2$,$\therefore A'(4,2)$在$y'=\frac{8}{x}$的图象上.由反比例函数的图象是中心对称图形可得$A''(-4,-2)$,$\therefore$射线OA绕点O旋转$90°$后与$y'$的交点坐标为$(4,2)$或$(-4,-2)$.

9. [2025 内江] 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象与一次函数$y=k_2x+b$的图象相交于$A(a,6),B(-6,1)$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;

(2)当$x＜0$时,请根据函数图象,直接写出关于$x$的不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}≥0$的解集;
(3)过直线$AB$上的点$C$作$CD// x$轴,交反比例函数的图象于点$D$.若点$C$的横坐标为$-4$,求$△ BOD$的面积.

9. 【解】(1)$\because$反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$的图象过点$B(-6,1)$,$\therefore k_1=-6×1=-6$.故反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$.把点$A(a,6)$的坐标代入$y=-\frac{6}{x}$,得$6=-\frac{6}{a}$,解得$a=-1$,$\therefore$点A的坐标为$(-1,6)$.$\because$一次函数的图象经过$A(-1,6)$,$B(-6,1)$两点,$\therefore \begin{cases}-k_2+b=6,\\-6k_2+b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_2=1,\\b=7.\end{cases}$故一次函数的表达式为$y=x+7$.
(2)$-6≤ x≤-1$.
(3)$\because$点C的横坐标为$-4$,代入$y=x+7$,解得$y=-4+7=3$,$\therefore C(-4,3)$.当$y=3$时,代入$y=-\frac{6}{x}$,得$3=-\frac{6}{x}$,解得$x=-2$,$\therefore D(-2,3)$,如图,过点B,D分别作x轴的垂线,垂足分别为F,E,$\because B(-6,1)$,$D(-2,3)$,$\therefore DE=3$,$BF=1$,$EF=-2-(-6)=4$,$\because S_{△ BOD}+S_{△ BFO}=S_{梯形BFED}+S_{△ DEO}$,$S_{△ BFO}=S_{△ DEO}=3$,$\therefore S_{△ BOD}=S_{梯形BFED}=\frac{1}{2}(DE+BF)· EF=\frac{1}{2}×(3+1)×4=8$.

10. ※※※[江苏竞赛]如图,在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上有点$P_1,P_2,P_3,\dots,P_{2026}$,它们的横坐标依次为1,2,3,…,2026.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为$S_1,S_2,S_3,\dots,S_{2024},S_{2025}$.

(1)当$k=1$时,$S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2024}+S_{2025}=$;
(2)当$k=2$时,$S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2024}+S_{2025}=$;
(3)当$k=3$时,$S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2024}+S_{2025}=$;
(4)当$k=n$时,$S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2024}+S_{2025}=$.

10. (1)$\frac{2\ 025}{2\ 026}$ (2)$\frac{2\ 025}{1\ 013}$ (3)$\frac{6\ 075}{2\ 026}$ (4)$\frac{2\ 025n}{2\ 026}$
【点拨】(1)$\because P_1,P_2,P_3,\dots,P_{2026}$的横坐标依次为1,2,3,…,2 026,$\therefore$阴影矩形的一边长都为1,记$P_1D⊥ y$轴于点D,$P_1C⊥ x$轴于点C,$P_{2026}A⊥ y$轴于点A,且交$P_1C$于点B,如图所示.易得$S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2025}=S_{矩形ABP_1D}$,当$k=1$时,把$x=2\ 026$代入$y=\frac{1}{x}$,得$y=\frac{1}{2\ 026}$,即$OA=\frac{1}{2\ 026}$,$\therefore S_{矩形OABC}=OA· OC=\frac{1}{2\ 026}$,根据反比例函数中k的几何意义可知$S_{矩形OCP_1D}=1$,$\therefore S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2024}+S_{2025}=1-\frac{1}{2\ 026}=\frac{2\ 025}{2\ 026}$.
(2)同理当$k=2$时,把$x=2\ 026$代入$y=\frac{2}{x}$,得$y=\frac{2}{2\ 026}=\frac{1}{1\ 013}$,即$OA=\frac{1}{1\ 013}$,$\therefore S_{矩形OABC}=OA· OC=\frac{1}{1\ 013}$.根据反比例函数中k的几何意义可知$S_{矩形OCP_1D}=2$,$\therefore S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2024}+S_{2025}=2-\frac{1}{1\ 013}=\frac{2\ 025}{1\ 013}$.
(3)当$k=3$时,把$x=2\ 026$代入$y=\frac{3}{x}$,得$y=\frac{3}{2\ 026}$,即$OA=\frac{3}{2\ 026}$,$\therefore S_{矩形OABC}=OA· OC=\frac{3}{2\ 026}$.根据反比例函数中k的几何意义可知$S_{矩形OCP_1D}=3$,$\therefore S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2024}+S_{2025}=3-\frac{3}{2\ 026}=\frac{6\ 075}{2\ 026}$.
(4)当$k=n$时,把$x=2\ 026$代入$y=\frac{n}{x}$,得$y=\frac{n}{2\ 026}$,即$OA=\frac{n}{2\ 026}$,$\therefore S_{矩形OABC}=OA· OC=\frac{n}{2\ 026}$.根据反比例函数中k的几何意义可知$S_{矩形OCP_1D}=n$,$\therefore S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2024}+S_{2025}=n-\frac{n}{2\ 026}=\frac{2\ 025n}{2\ 026}$.