1. 若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}x - 3a ≥ 0, \\ 2(x + 1) ＞ 20 - x\end{cases}$ 的解集是 $ x ＞ 6 $，则 $ a $ 的取值范围是( )

A.$ a ≥ 2 $
B.$ a ＞ 2 $
C.$ a ＜ 2 $
D.$ a ≤ 2 $

1. D 解析:解不等式$x - 3a ≥ 0$，得$x ≥ 3a$；解不等式$2(x + 1) ＞ 20 - x$，得$x ＞ 6$。因为原不等式组的解集是$x ＞ 6$，所以$3a ≤ 6$，解得$a ≤ 2$。故$a$的取值范围是$a ≤ 2$。

3. 若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}x - a ＜ 0, \\ 1 - 2x ＜ 2 - x\end{cases}$ 有解，则 $ a $ 的取值范围是( )

A.$ a ＞ -1 $
B.$ a ≥ -1 $
C.$ a ＜ 1 $
D.$ a ≤ 1 $

3. A 解析:解不等式$x - a ＜ 0$，得$x ＜ a$；解不等式$1 - 2x ＜ 2 - x$，得$x ＞ - 1$。因为原不等式组有解，所以$a$的取值范围是$a ＞ - 1$。

4. 若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}x + 1 ＞ 4x - 8, \\ \dfrac{x - m}{2} ＞ 0\end{cases}$ 无解，则 $ m $ 的取值范围是( )

A.$ m ≥ 3 $
B.$ m ＞ 3 $
C.$ m ≤ 3 $
D.$ m ＜ 3 $

4. A 解析:解不等式$x + 1 ＞ 4x - 8$，得$x ＜ 3$；解不等式$\frac{x - m}{2} ＞ 0$，得$x ＞ m$。因为原不等式组无解，所以$m$的取值范围是$m ≥ 3$。

5. (2025·江苏盐城期末)若关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}\dfrac{x}{2} - 1 ＜ 2 - x, \\ a + 3x ≤ 4x + 2\end{cases}$ 有解，且关于 $ y $ 的方程 $\dfrac{a - y}{2} = \dfrac{y}{3} - 1$ 的解为非负整数，则所有符合条件的整数 $ a $ 的值之和为 ______ 。

5. 1 解析:解不等式$\frac{x}{2} - 1 ＜ 2 - x$，得$x ＜ 2$；解不等式$a + 3x ≤ 4x + 2$，得$x ≥ a - 2$。因为原不等式组有解，所以$a - 2 ＜ 2$，解得$a ＜ 4$。解方程$\frac{a - y}{2} = \frac{y}{3} - 1$，得$y = \frac{3a + 6}{5}$。因为该方程的解为非负整数，且$a ＜ 4$，所以整数$a$可取$- 2$，$3$，所以所有符合条件的整数$a$的值之和为$- 2 + 3 = 1$。

6. 已知关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}x - \dfrac{a}{2} ＜ 0, \\ 23x + 2025 ＞ 0\end{cases}$ 的解集中至少有 $ 2025 $ 个整数解，则整数 $ a $ 的最小值为( )

A.$ 1936 $
B.$ 1937 $
C.$ 3872 $
D.$ 3873 $

6. D 解析:解不等式$x - \frac{a}{2} ＜ 0$，得$x ＜ \frac{a}{2}$；解不等式$23x + 2025 ＞ 0$，得$x ＞ - 88\frac{1}{23}$。因为原不等式组的解集中至少有$2025$个整数解，$2025 - 88 - 1 = 1936$，所以原不等式组的解集为$- 88\frac{1}{23} ＜ x ＜ \frac{a}{2}$，且$\frac{a}{2} ＞ 1936$，所以$a ＞ 3872$，所以整数$a$的最小值为$3873$。

7. 已知关于 $ x $ 的不等式组 $\begin{cases}x - \dfrac{3x - 5}{2} ＜ 2, \\ 2x - a ≤ -1\end{cases}$ 给出下列四个结论：
① 若不等式组的解集是 $ 1 ＜ x ≤ 3 $，则 $ a = 7 $；
② 当 $ a = 3 $ 时，不等式组有解；
③ 若不等式组的整数解有且仅有 $ 1 $ 个，则 $ a $ 的取值范围是 $ 7 ≤ a ＜ 9 $；
④ 若不等式组有解，则 $ a ＞ 3 $。
其中正确的个数是()

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

7. B 解析:解不等式$x - \frac{3x - 5}{2} ＜ 2$，得$x ＞ 1$；解不等式$2x - a ≤ - 1$，得$x ≤ \frac{a - 1}{2}$。若不等式组的解集是$1 ＜ x ≤ 3$，则$\frac{a - 1}{2} = 3$，解得$a = 7$，故①正确；若不等式组有解，则$\frac{a - 1}{2} ＞ 1$，解得$a ＞ 3$，故②错误，④正确；若不等式组的整数解有且仅有$1$个，则原不等式组的解为$1 ＜ x ≤ \frac{a - 1}{2}$，且整数解为$x = 2$，所以$2 ≤ \frac{a - 1}{2} ＜ 3$，解得$5 ≤ a ＜ 7$，故③错误。综上所述，其中正确结论的个数是$2$。

8. 已知关于 $ x $ 的一元一次方程 $ mx - 2 = -3x $ 有整数解，且关于 $ y $ 的不等式组 $\begin{cases}-2y ＜ 4, \\ 4 - m ＞ 5y - 4\end{cases}$ 有且只有 $ 4 $ 个整数解，求所有符合条件的整数 $ m $ 的值之和。

8. 解方程$mx - 2 = - 3x$，得$x = \frac{2}{m + 3}$。因为该方程的解为整数，且$m$为整数，所以$m + 3$可取$\pm 1$，$\pm 2$，所以整数$m$可取$- 4$，$- 2$，$- 5$，$- 1$。解不等式$- 2y ＜ 4$，得$y ＞ - 2$；解不等式$4 - m ＞ 5y - 4$，得$y ＜ \frac{8 - m}{5}$。因为原不等式组有且只有$4$个整数解，所以原不等式组的解集为$- 2 ＜ y ＜ \frac{8 - m}{5}$，且整数解为$y = - 1$，$0$，$1$，$2$，所以$2 ＜ \frac{8 - m}{5} ≤ 3$，解得$- 7 ≤ m ＜ - 2$，所以整数$m$可取$- 5$，$- 4$，所以所有符合条件的整数$m$的值之和为$- 5 + (- 4) = - 9$。