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11. (2025·黑龙江大庆)不等式组$\begin{cases}\frac{1}{2}x - 1＜7-\frac{3}{2}x,\\3x - 5＞2(x - 2)\end{cases}$的整数解有 ______ 个。
答案
11. 2
12. (2025·江苏泰州期末)已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = 4k,\\2x + y = 2k + 1,\end{cases}$且$-1＜x - y＜0$，则$k$的取值范围为 ______ 。
答案
12. $\frac{1}{2} ＜ k ＜ 1$
13. 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x + 9＞-6x + 1,\\x - k＞1\end{cases}$的解集为$x＞-1$，则$k$的取值范围为 ______ 。
答案
13. $k≤ -2$ 解析：解不等式$2x + 9 ＞ -6x + 1$，得$x ＞ -1$；解不等式$x - k ＞ 1$，得$x ＞ k + 1$。因为原不等式组的解集为$x ＞ -1$，所以$k + 1≤ -1$，解得$k≤ -2$。故$k$的取值范围为$k≤ -2$。
14. 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＞1 - a,\\x＜1 - b\end{cases}$无解，求关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＞a,\\x＜b\end{cases}$的解集。
答案
14. 因为不等式组$\begin{cases}x ＞ 1 - a\\x ＜ 1 - b\end{cases}$无解，所以$1 - a≥1 - b$，所以$a≤ b$。当$a ＜ b$时，不等式组$\begin{cases}x ＞ a\\x ＜ b\end{cases}$的解集为$a ＜ x ＜ b$；当$a = b$时，不等式组$\begin{cases}x ＞ a\\x ＜ b\end{cases}$无解。
15. 若一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“给力方程”。
(1) 给出下列方程：① $3x - 2 = 0$；② $2x + 1 = 0$；③ $x - (3x + 1)=-5$。其中为不等式组$\begin{cases}-x + 2＞x - 5,\\3x - 1＞-x + 2\end{cases}$的“给力方程”的是 ______ ；(填序号)
(2) 若方程$x = 1,x = 2$都为关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＜2x - m,\\x - 2≤ m\end{cases}$的“给力方程”，求$m$的取值范围。
(1) 给出下列方程：① $3x - 2 = 0$；② $2x + 1 = 0$；③ $x - (3x + 1)=-5$。其中为不等式组$\begin{cases}-x + 2＞x - 5,\\3x - 1＞-x + 2\end{cases}$的“给力方程”的是 ______ ；(填序号)
(2) 若方程$x = 1,x = 2$都为关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＜2x - m,\\x - 2≤ m\end{cases}$的“给力方程”，求$m$的取值范围。
答案
15. (1) ③
(2) 解不等式$x ＜ 2x - m$，得$x ＞ m$；解不等式$x - 2≤ m$，得$x≤ m + 2$。故原不等式组的解集为$m ＜ x≤ m + 2$。又方程$x = 1$，$x = 2$都为原不等式组的“给力方程”，所以$\begin{cases}m ＜ 1\\m + 2≥2\end{cases}$，解得$0≤ m ＜ 1$。故$m$的取值范围为$0≤ m ＜ 1$。
(2) 解不等式$x ＜ 2x - m$，得$x ＞ m$；解不等式$x - 2≤ m$，得$x≤ m + 2$。故原不等式组的解集为$m ＜ x≤ m + 2$。又方程$x = 1$，$x = 2$都为原不等式组的“给力方程”，所以$\begin{cases}m ＜ 1\\m + 2≥2\end{cases}$，解得$0≤ m ＜ 1$。故$m$的取值范围为$0≤ m ＜ 1$。
16. 运行如图所示程序，规定：从“输入一个值$x$”到“结果是否大于$95$”为一次程序操作。如果程序操作进行了三次才停止，那么$x$的取值范围是(
A.$x≥11$
B.$11≤ x＜23$
C.$11＜x≤23$
D.$x≤23$
C
)A.$x≥11$
B.$11≤ x＜23$
C.$11＜x≤23$
D.$x≤23$
答案
16. C 解析：由题意，得$\begin{cases}2(2x + 1) + 1≤95①\\2[2(2x + 1) + 1] + 1 ＞ 95②\end{cases}$。解不等式①，得$x≤23$；解不等式②，得$x ＞ 11$。故$x$的取值范围是$11 ＜ x≤23$。
17. (2023·四川宜宾)若关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x + 1＞x + a,\frac{x}{2}+1≥\frac{5}{2}x - 9\end{cases}$的所有整数解的和为$14$，则整数$a$的值为 ______ 。
答案
17. 2或$-1$ 解析：解不等式$2x + 1 ＞ x + a$，得$x ＞ a - 1$；解不等式$\frac{x}{2} + 1≥\frac{5}{2}x - 9$，得$x≤5$。因为原不等式组的所有整数解的和为14，所以原不等式组的解集为$a - 1 ＜ x≤5$。因为$2 + 3 + 4 + 5 = 14$且$(-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14$，所以$1≤ a - 1 ＜ 2$或$-2≤ a - 1 ＜ -1$，解得$2≤ a ＜ 3$或$-1≤ a ＜ 0$。因为$a$为整数，所以$a$的值为2或$-1$。
18. 若一个不等式组$A$有解且解集为$a＜x＜b$ $(a＜b)$，则称$\frac{a + b}{2}$为$A$的解集中点。若$A$的解集中点是不等式(组)$B$的解，则称不等式(组)$B$对于不等式组$A$中点包含。
(1) 已知关于$x$的不等式组$Q$：$\begin{cases}x + 1＞-2k^{2},\\3x - 6k^{2}＜3,\end{cases}$以及关于$x$的不等式$P$：$\frac{x - 1}{2}≤\frac{a + 1}{3}$。若不等式$P$对于不等式组$Q$中点包含，则$a$的取值范围是 ______ ；
(2) 已知关于$x$的不等式组$S$：$\begin{cases}2x + 7＞2m + 1,\\3x - 10＜6m - 1,\end{cases}$以及关于$x$的不等式组$T$：$\begin{cases}x＞\frac{11}{6}m-\frac{5}{6},\\3x - 10＜6m.\end{cases}$若不等式组$T$对于不等式组$S$中点包含，则$m$需要满足何种条件？
(1) 已知关于$x$的不等式组$Q$：$\begin{cases}x + 1＞-2k^{2},\\3x - 6k^{2}＜3,\end{cases}$以及关于$x$的不等式$P$：$\frac{x - 1}{2}≤\frac{a + 1}{3}$。若不等式$P$对于不等式组$Q$中点包含，则$a$的取值范围是 ______ ；
(2) 已知关于$x$的不等式组$S$：$\begin{cases}2x + 7＞2m + 1,\\3x - 10＜6m - 1,\end{cases}$以及关于$x$的不等式组$T$：$\begin{cases}x＞\frac{11}{6}m-\frac{5}{6},\\3x - 10＜6m.\end{cases}$若不等式组$T$对于不等式组$S$中点包含，则$m$需要满足何种条件？
答案
18. (1) $a≥-\frac{5}{2}$ 解析：解不等式组$Q$：$\begin{cases}x + 1 ＞ -2k^{2}\\3x - 6k^{2} ＜ 3\end{cases}$，得$-2k^{2} - 1 ＜ x ＜ 2k^{2} + 1$，所以不等式组$Q$的解集中点为$\frac{-2k^{2} - 1 + (2k^{2} + 1)}{2} = 0$。解不等式$P$：$\frac{x - 1}{2}≤\frac{a + 1}{3}$，得$x≤\frac{2a + 5}{3}$。因为不等式$P$对于不等式组$Q$中点包含，所以$\frac{2a + 5}{3}≥0$，解得$a≥-\frac{5}{2}$。故$a$的取值范围是$a≥-\frac{5}{2}$。
(2) 解不等式组$S$：$\begin{cases}2x + 7 ＞ 2m + 1\\3x - 10 ＜ 6m - 1\end{cases}$，得$\begin{cases}x ＞ m - 3\\x ＜ 2m + 3\end{cases}$。由题意，得不等式组$S$有解，所以$m - 3 ＜ 2m + 3$，解得$m ＞ -6$。因为$\frac{m - 3 + (2m + 3)}{2} = \frac{3}{2}m$，所以不等式组$S$的解集中点是$\frac{3}{2}m$。解不等式组$T$：$\begin{cases}x ＞ \frac{11}{6}m - \frac{5}{6}\\3x - 10 ＜ 6m\end{cases}$，得$\begin{cases}x ＞ \frac{11}{6}m - \frac{5}{6}\\x ＜ 2m + \frac{10}{3}\end{cases}$。由题意，得不等式组$T$有解，所以$\frac{11}{6}m - \frac{5}{6} ＜ 2m + \frac{10}{3}$，解得$m ＞ -25$。因为不等式组$T$对于不等式组$S$中点包含，所以$\frac{11}{6}m - \frac{5}{6} ＜ \frac{3}{2}m ＜ 2m + \frac{10}{3}$，解得$-\frac{20}{3} ＜ m ＜ \frac{5}{2}$。综上所述，$m$需要满足的条件是$-6 ＜ m ＜ \frac{5}{2}$。
(2) 解不等式组$S$：$\begin{cases}2x + 7 ＞ 2m + 1\\3x - 10 ＜ 6m - 1\end{cases}$，得$\begin{cases}x ＞ m - 3\\x ＜ 2m + 3\end{cases}$。由题意，得不等式组$S$有解，所以$m - 3 ＜ 2m + 3$，解得$m ＞ -6$。因为$\frac{m - 3 + (2m + 3)}{2} = \frac{3}{2}m$，所以不等式组$S$的解集中点是$\frac{3}{2}m$。解不等式组$T$：$\begin{cases}x ＞ \frac{11}{6}m - \frac{5}{6}\\3x - 10 ＜ 6m\end{cases}$，得$\begin{cases}x ＞ \frac{11}{6}m - \frac{5}{6}\\x ＜ 2m + \frac{10}{3}\end{cases}$。由题意，得不等式组$T$有解，所以$\frac{11}{6}m - \frac{5}{6} ＜ 2m + \frac{10}{3}$，解得$m ＞ -25$。因为不等式组$T$对于不等式组$S$中点包含，所以$\frac{11}{6}m - \frac{5}{6} ＜ \frac{3}{2}m ＜ 2m + \frac{10}{3}$，解得$-\frac{20}{3} ＜ m ＜ \frac{5}{2}$。综上所述，$m$需要满足的条件是$-6 ＜ m ＜ \frac{5}{2}$。
