12.如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点（网格线的交点）上，那么∠AOC ∠BOD（填“＞”“＜”或“=”）。

12.＜

【分析】
要比较∠AOC和∠BOD的大小，我们可以借助45°这个特殊角作为参考来判断：先分别分析两个角的张开程度，判断它们和45°的大小关系，再对比两个角的大小即可。
【解析】
1. 分析∠BOD的大小：点D在O点的右上方，从O到D，水平向右走2格，竖直向上也走2格，横向和纵向移动距离相等，构成等腰直角三角形，所以∠BOD=45°。
2. 分析∠AOC的大小：点C在O点的左上方，从O到C，水平向左走3格，竖直向上仅走1格，纵向移动距离远小于横向移动距离，说明这个角的张开程度比45°小，即∠AOC＜45°。
3. 对比两个角：因为∠AOC＜45°，∠BOD=45°，所以∠AOC＜∠BOD。
【答案】
＜
【知识点】
角的大小比较；等腰直角三角形特征；网格识图
【点评】
本题考查网格中角度的大小比较，解题时可直接观察角的边的张开程度，也可借助特殊角度作为参照判断，侧重考查观察能力和对比分析能力。
【难度系数】
0.7

13.计算$72° 35' ÷ 2 + 18° 33' × 4 =$ $°$ $'$ $''$

13.110 29 30 [解析] 因为 $72°35'÷2=72°÷2+35'÷2=36°+17.5'=36°+17'+30''=36°17'30''$,
$18°33'×4=72°132'=74°12'$,
所以原式$=36°17'30''+74°12'=110°29'30''$.

【分析】
这是度分秒的混合运算题，解题时先遵循四则运算顺序，先算乘除，再算加减。计算乘除时，度、分分别与数字运算，再根据1°=60'、1'=60''的60进制规则换算成规范的度分秒形式；最后计算加法时，相同单位（度、分、秒）分别相加，满60就向上一级单位进1即可。
【解析】
第一步：计算除法部分$72°35' ÷ 2$
先算度的除法：$72°÷2=36°$
再算分的除法：$35'÷2=17.5'$，其中$0.5'=0.5×60''=30''$
因此$72°35' ÷ 2=36°17'30''$
第二步：计算乘法部分$18°33' × 4$
先算度的乘法：$18°×4=72°$
再算分的乘法：$33'×4=132'$，其中$132'=2×60'+12'=2°12'$
因此$18°33' × 4=72°+2°12'=74°12'$
第三步：计算两个结果的和
度相加：$36°+74°=110°$
分相加：$17'+12'=29'$
秒不变：$30''$
因此原式结果为$110°29'30''$
【答案】
110；29；30
【知识点】
度分秒换算；度分秒混合运算
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心考查度分秒的60进制换算规则，运算时要注意先乘除后加减的顺序，以及满60进1的换算原则，熟练掌握后可为后续几何角度计算打好基础。
【难度系数】
0.7

14.如图,将三个同样的正方形的一个顶点重合放置,如果∠1=45°,∠3=30°时,那么∠2的度数是°。

14.15 [解析] 如图,根据题意,得$∠1+∠4+∠2=90°$,$∠5+∠4+∠2=90°$,所以$∠5=∠1=45°$.
因为$∠2+∠5+∠3=90°$,
所以$∠2=90°-30°-45°=15°$.

【分析】
首先明确正方形的每个内角都是90°，三个正方形的一个顶点重合，对应三个直角在该顶点处部分重叠。我们先观察左侧正方形的直角，它由∠1、∠4和∠2组成，和为90°；再观察中间正方形的直角，它由∠2、∠4和∠5组成，和也为90°，对比这两个关系式可等量代换得出∠5=∠1。最后观察右侧正方形的直角，它由∠2、∠5和∠3组成，和为90°，代入已知角度即可求出∠2的度数。
【解析】
已知正方形的每个内角都是90°，结合图形可得：
1. 左侧正方形的直角：$∠1 + ∠4 + ∠2 = 90°$
2. 中间正方形的直角：$∠2 + ∠4 + ∠5 = 90°$
将两个等式同时减去$∠2+∠4$，可推出$∠5 = ∠1 = 45°$
再看右侧正方形的直角：$∠2 + ∠5 + ∠3 = 90°$
已知$∠3=30°$，代入数值计算：
$∠2 = 90° - ∠5 - ∠3 = 90° - 45° - 30° = 15°$

【答案】
15
【知识点】
正方形的角的特征，角的和差计算，等量代换
【点评】
本题的解题核心是抓住正方形内角为90°的性质，找到重合顶点处各角的和的关系，通过等量代换把未知角和已知角建立联系，就能快速求解。
【难度系数】
0.7

15.如图,在数轴上点A和点B对应的数分别是-10和7,原点为O,现在有点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时,点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.经过t s时,点P和点Q到原点O的距离相等,则t的值为.

15.$\frac{17}{5}$或3 [解析] 由题意可得,点 P 在数轴上对应的数为$-10+3t$,点 Q 在数轴上对应的数为$7-2t$.
因为点 P 和点 Q 到原点 O 的距离相等,
所以$|-10+3t|=|7-2t|$,
所以$-10+3t=7-2t$ 或$-10+3t+7-2t=0$,
解得 $t=\frac{17}{5}$ 或 $t=3$.

【分析】
首先确定运动t秒后两个动点对应的数：点P从-10出发向右匀速运动，每秒走3个单位，t秒后共走了3t个单位，对应的数为$-10+3t$；点Q从7出发向左匀速运动，每秒走2个单位，t秒后共走了2t个单位，对应的数为$7-2t$。接下来分析“到原点距离相等”的两种情况：第一种是P、Q两点重合，此时到原点的距离自然相等；第二种是P、Q分别在原点两侧，到原点的距离相等，即两个点对应的数互为相反数。分别对两种情况列方程求解即可得到t的值。
【解析】
经过t秒后，点P在数轴上对应的数为$-10+3t$，点Q在数轴上对应的数为$7-2t$，分两种情况讨论：
1. 当P、Q两点重合时，两点对应的数相等：
$\begin{aligned}-10+3t&=7-2t\\3t+2t&=7+10\\5t&=17\\t&=\frac{17}{5}\end{aligned}$
2. 当P、Q在原点两侧，到原点距离相等时，两个数互为相反数，和为0：
$\begin{aligned}-10+3t+7-2t&=0\\t-3&=0\\t&=3\end{aligned}$
综上，t的值为$\frac{17}{5}$或3。
【答案】
$\frac{17}{5}$或3
【知识点】
数轴动点问题，距离计算，一元一次方程求解
【点评】
本题是数轴动点的经典题型，解题核心是先准确表示出动点运动后的对应数，再结合距离相等的条件分类讨论，注意不要漏解，能够有效考察分类讨论思想和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6

16.如果一个角的补角的2倍减去这个角的余角恰好等于这个角的4倍，求这个角的度数.

16.解:设这个角的度数为 $x°$.
由题意,得 $2(180°-x°)-(90°-x°)=4x°$,解得$x=54$,
所以这个角的度数为 $54°$.

【分析】
要解决这道题，首先要明确余角和补角的概念：两个角相加等于90°则互为余角，两个角相加等于180°则互为补角。我们可以先设这个角的度数为未知数，用未知数分别表示出它的补角和余角，再根据题目给出的“补角的2倍减去这个角的余角等于这个角的4倍”的等量关系列方程，最后解方程即可求出这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$。
这个角的补角为$(180-x)°$，补角的2倍为$2(180-x)°$；这个角的余角为$(90-x)°$。
根据题意列方程：
$2(180°-x°)-(90°-x°)=4x°$
展开计算得：
$360°-2x°-90°+x°=4x°$
合并同类项得：
$270°-x°=4x°$
移项计算：
$5x°=270°$
解得$x=54$
【答案】
$54°$
【知识点】
1. 余角与补角的定义
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是角度计算的常规基础题，主要考查对余角、补角概念的掌握程度和列方程解应用题的能力，解题核心是准确梳理题意找到等量关系，熟练掌握这类题型可为后续几何角度计算的学习打好基础。
【难度系数】
0.7

17.如图，C是线段AE的中点，D在线段CE上，B是线段AD的中点.
(1)若AC=3，DE=2，求CD的长；
(2)若BC=3，CD:AD=1:4，求AC的长.

17.解:(1)因为 C 是线段 AE 的中点,$AC=3$,
所以 $CE=AC=3$.
因为 $DE=2$,
所以 $CD=CE-DE=1$.
(2)设 $CD=x$,则 $AD=4x$.
因为 B 是线段 AD 的中点,
所以 $AB=BD=2x$.
因为 $BD-CD=BC$,所以 $2x-x=3$,
解得 $x=3$,
所以 $AB=BD=2x=6$,
所以 $AC=AB+BC=9$.

【分析】
(1) 求解CD的长度时，首先利用线段中点的性质，由C是AE中点可得到CE和AC长度相等，先算出CE的长度；再观察线段CE的组成，CE由CD和DE两段组成，因此$CD=CE-DE$，代入已知DE的数值即可求出结果。
(2) 已知CD与AD的比例关系，可通过设未知数简化计算：先设CD为x，根据比例得到$AD=4x$；再利用B是AD中点的性质，得到BD的长度是AD的一半；结合线段差的关系，$BC=BD-CD$，代入已知BC的长度列出方程求出x的值，最后根据$AC=AB+BC$，AB和BD长度相等，代入数值即可算出AC的长度。
【解析】
(1) 因为C是线段AE的中点，$AC=3$，
所以 $CE=AC=3$。
因为 $DE=2$，
所以 $CD=CE-DE=3-2=1$。
(2) 设 $CD=x$，由$CD:AD=1:4$得 $AD=4x$。
因为 B 是线段 AD 的中点，
所以 $AB=BD=\frac{1}{2}AD=2x$。
根据线段差的关系可得$BD-CD=BC$，已知$BC=3$，
所以 $2x-x=3$，
解得 $x=3$，
所以 $AB=2x=2×3=6$，
因此 $AC=AB+BC=6+3=9$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
线段中点的性质，线段的和差计算，比例的应用
【点评】
本题属于线段计算的基础典型题，解题核心是准确识别线段之间的和差关系，灵活运用线段中点的性质，第二问借助设未知数列方程的方法能有效梳理线段关系，降低解题难度。
【难度系数】
0.75

18.如图，AB=6，点C在线段AB上.
(1)尺规作图:在线段BC上求作一点D，使得BC+BD=6.
(2)在(1)的条件下，若点N在线段CD上，
①N为BC的中点，且CN=2BD，求AC的长；
②M为AC的中点，且满足AC+MN=3，试判断N是哪条线段的中点，并说明理由.

答案 P31

18.解:(1)如图,点 D 为所作(作 $BD=AC$).
(2)①设 $AC=x$.
因为 $AC+BC=6$,$BC+BD=6$,
所以 $BD=AC=x$,$BC=6-x$.
因为 N 为 BC 的中点,所以 $CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(6-x)$.
因为 $CN=2BD$,所以 $\frac{1}{2}(6-x)=2x$,解得 $x=\frac{6}{5}$,
即 AC 的长为 $\frac{6}{5}$.
②N 是线段 AD 的中点.理由如下:
设 $AM=t$.
因为 M 为 AC 的中点,$BD=AC$,
所以 $MC=t$,$AC=BD=2t$.
因为 $AC+MN=3=\frac{1}{2}AB$,
所以 $2t+t+CN=\frac{1}{2}(2t+CN+DN+2t)$,
所以 $DN=2t+CN=AC+CN=AN$,
所以 N 是线段 AD 的中点.

【分析】
(1) 已知AB=AC+BC=6，要满足BC+BD=6，对比两个等式可推出BD=AC，因此只需用尺规在线段BC上截取长度等于AC的线段BD，即可得到所求点D。
(2) ①先根据AC+BC=6、BC+BD=6的等量关系得到BD=AC，设AC长度为x，用含x的式子表示出BC、CN的长度，再结合CN=2BD的条件列方程求解，即可得到AC的长。
②设AM长度为t，利用M是AC中点的性质得到AC=BD=2t，再结合AC+MN=3（即AB长度的一半），通过线段和差的转化推导AN与DN的长度关系，即可判断N属于哪条线段的中点。
【解析】
(1) 因为AB=AC+BC=6，若BC+BD=6，则BD=AC，因此在线段BC上截取BD=AC，点D即为所求，作图结果如图所示。
(2) ①设AC=x。
因为AB=6，点C在线段AB上，所以AC+BC=6，结合BC+BD=6可得BD=AC=x，BC=6-x。
因为N为BC的中点，所以$CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(6-x)$。
已知CN=2BD，代入得$\frac{1}{2}(6-x)=2x$，解得$x=\frac{6}{5}$。
②N是线段AD的中点，理由如下：
设AM=t。
因为M为AC的中点，所以AC=2AM=2t，MC=AM=t，结合(1)的结论得BD=AC=2t。
已知AC+MN=3，且AB=6，即3=$\frac{1}{2}$AB。
又MN=MC+CN=t+CN，AC+MN=2t+t+CN=3t+CN；AB=AC+CD+BD=2t+(CN+DN)+2t=4t+CN+DN，$\frac{1}{2}$AB=2t+$\frac{1}{2}$(CN+DN)。
因此有$3t+CN=2t+\frac{1}{2}(CN+DN)$，整理得DN=2t+CN=AC+CN=AN，即AN=DN，故N是线段AD的中点。
【答案】
(1) 如图,点 D 为所作(作 $BD=AC$).
(2)①AC的长为 $\frac{6}{5}$；②N是线段AD的中点，理由见解析。
【知识点】
尺规作相等线段，线段和差计算，线段中点定义
【点评】
本题综合考察尺规作图、线段中点性质与线段和差的计算，通过设参数将抽象的线段关系转化为可计算的等式，是线段章节的典型题型，需要熟练掌握线段间的等量转化技巧。
【难度系数】
0.6