1. 如图,一次函数 $y_{1}=k x+b$ 与反比例函数 $y_{2}=\dfrac{m}{x}$ 的图象交于点 $A(a,2)$ 和 $B(-4,-3)$, 当 $\dfrac{m}{x}＞$$k x+b$ 时, $x$ 的取值范围是
（）


A.$x＜-4$ 或 $0＜x＜6$
B.$x＜-3$ 或 $0＜x＜6$
C.$-3＜x＜0$ 或 $x＞6$
D.$-4＜x＜0$ 或 $x＞6$

1. A 解析:
∵A(a,2)和B(-4,-3)都在反比例函数的图象上,
∴2a=(-4)×(-3),解得a=6,
∴A(6,2),根据图象可知,当$\frac{m}{x}＞kx+b$时,x的取值范围是$x＜-4$或$0＜x＜6$.

【分析】要确定使$\frac{m}{x}＞kx+b$的$x$取值范围，需先求出反比例函数的参数，进而得到点$A$的坐标，再结合两个函数的图像位置关系，找到反比例函数图像在一次函数图像上方时对应的$x$区间。具体步骤：1. 利用点$B$在反比例函数上计算参数$m$；2. 代入点$A$到反比例函数，求出$A$点坐标；3. 观察图像，确定反比例函数值大于一次函数值的$x$范围。
【解析】
1. 求反比例函数的参数$m$：
因为点$B(-4,-3)$在反比例函数$y_2=\frac{m}{x}$上，将$B$点坐标代入得：$m = (-4)×(-3) = 12$，所以反比例函数解析式为$y_2=\frac{12}{x}$。
2. 求点$A$的坐标：
点$A(a,2)$在反比例函数$y_2=\frac{12}{x}$上，代入得：$2 = \frac{12}{a}$，解得$a=6$，即$A$点坐标为$(6,2)$。
3. 确定$x$的取值范围：
观察图像，反比例函数$y_2=\frac{12}{x}$与一次函数$y_1=kx+b$的交点为$A(6,2)$和$B(-4,-3)$，当反比例函数图像在一次函数图像上方时，对应的$x$范围是$x＜-4$或$0＜x＜6$，此时$\frac{m}{x}＞kx+b$。
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点、函数图像的应用
【点评】本题通过函数图像比较函数值大小，关键是先求出交点$A$的坐标，再结合图像直观判断区间，属于基础题型，需掌握利用函数图像解决不等式问题的方法。
【难度系数】0.5

2. 如图,已知 $P(2,2)$、$Q(2,4)$,过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线,与一次函数 $y=x+k$ 和反比例函数 $y=\dfrac{k+1}{x}(x＞0)$ 的图象分别交于点 $A$、$B$. 若 $P$、$Q$ 两个点都在线段 $AB$ 上,则 $k$ 的取值范围是（）


A.$1 ≤ k ≤ 2$
B.$0＜k ≤ 7$
C.$2 ≤ k ≤ 4$
D.$2 ≤ k ≤ 3$

2. D 解析:由题意,得$\begin{cases}2+k≥4,\\\dfrac{k+1}{2}≤2,\end{cases}$解得$2≤ k≤3$.

【分析】
首先，过x=2的垂线是直线x=2，分别代入一次函数和反比例函数，得到A、B两点的纵坐标，确定线段AB的y取值范围；再根据P(2,2)、Q(2,4)在线段AB上，转化为纵坐标满足的不等式，解不等式组即可得到k的取值范围。
步骤：1. 求x=2时一次函数的y值，即A点纵坐标；2. 求x=2时反比例函数的y值，即B点纵坐标；3. 由P、Q在线段AB上，得Q的纵坐标≤A的纵坐标，P的纵坐标≥B的纵坐标，列出不等式组；4. 解不等式组得k的范围。
【解析】
解：过点P作x轴的垂线为直线x=2，
将x=2代入一次函数y=x+k，得A点纵坐标为：$y_A=2+k$；
将x=2代入反比例函数$y=\dfrac{k+1}{x}$，得B点纵坐标为：$y_B=\dfrac{k+1}{2}$；
因为P(2,2)、Q(2,4)都在线段AB上，线段AB的y范围为$y_B ≤ y ≤ y_A$，
所以需满足：
$\begin{cases} 2 + k ≥ 4 \\ \dfrac{k + 1}{2} ≤ 2 \end{cases}$，
解第一个不等式：$2 + k ≥ 4 → k ≥ 2$；
解第二个不等式：$\dfrac{k+1}{2} ≤ 2 → k+1 ≤ 4 → k ≤ 3$；
故k的取值范围是$2 ≤ k ≤ 3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数、反比例函数、不等式组应用
【点评】
本题结合一次函数与反比例函数的图像，利用线段上点的坐标特征转化为不等式组求解，关键是确定A、B两点的纵坐标，进而得到关于k的不等式组，属于中等难度的函数综合题。
【难度系数】
0.5

3. 如图,已知 $A(n,-2)、B(1,4)$ 是一次函数 $y=kx+b$ 和反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象的两个交点,直线 $AB$ 与 $y$ 轴交于点 $C$.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式.
(2)连接 $OA、OB$,求 $△ AOB$ 的面积.
(3)求不等式 $kx+b-\dfrac{m}{x}＜0$ 的解.(直接写出答案)

3. (1)把B(1,4)代入$y=\dfrac{m}{x}$,得$m=1×4=4$,
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$.把A(n,-2)代入$y=\dfrac{4}{x}$,得$-2=\dfrac{4}{n}$,
∴$n=-2$,
∴A(-2,-2).把A(-2,-2)、B(1,4)代入y = kx + b,得$\begin{cases}-2k+b=-2,\\k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=2,\end{cases}$
∴一次函数的表达式为y=2x+2. (2)在y=2x+2中,令x=0,则y=2,
∴点C的坐标为(0,2),
∴OC=2,
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×1=3$. (3)观察图象可知,不等式$kx+b-\dfrac{m}{x}＜0$的解是$x＜-2$或$0＜x＜1$.

【分析】
要解决本题，需分步骤处理：1. 利用函数图象上点的坐标特征，先求反比例函数表达式，再求A点坐标，最后代入A、B两点求一次函数表达式；2. 求直线AB与y轴交点C，将△AOB拆分为两个以OC为公共底的三角形，分别计算面积后求和；3. 观察函数图象，找出一次函数值小于反比例函数值的x范围，即为不等式的解。
【解析】
(1) 求函数表达式：
① 反比例函数：已知B(1,4)在$y=\dfrac{m}{x}$上，代入得$m=1×4=4$，故反比例函数为$y=\dfrac{4}{x}$；
② 求A点坐标：A(n,-2)在$y=\dfrac{4}{x}$上，代入得$-2=\dfrac{4}{n}$，解得$n=-2$，即A(-2,-2)；
③ 一次函数：将A(-2,-2)、B(1,4)代入$y=kx+b$，得方程组$\begin{cases}-2k+b=-2 \\ k+b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2 \\ b=2\end{cases}$，故一次函数为$y=2x+2$。
(2) 求△AOB的面积：
在$y=2x+2$中，令$x=0$得$y=2$，即C(0,2)，$OC=2$；
△AOB面积=△AOC面积+△BOC面积，其中A到y轴距离为2，B到y轴距离为1，
故$S_{△AOC}=\dfrac{1}{2}×2×2=2$，$S_{△BOC}=\dfrac{1}{2}×2×1=1$，则$S_{△AOB}=2+1=3$。
(3) 不等式$kx+b-\dfrac{m}{x}＜0$即一次函数值小于反比例函数值，观察图象得：
当$x＜-2$或$0＜x＜1$时满足条件，故不等式的解为$x＜-2$或$0＜x＜1$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{4}{x}$，一次函数表达式为$y=2x+2$；
(2) △AOB的面积为3；
(3) 不等式的解为$x＜-2$或$0＜x＜1$。
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数表达式、三角形面积、函数图象与不等式
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的基础综合题，核心考查函数图象上点的坐标性质、函数表达式求解及利用图象解不等式，拆分三角形求面积的方法简化了计算，需熟练掌握函数与图象的对应关系。
【难度系数】
0.7