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1. (教材练习变式)(2024·广元)如图,已知四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,$E$为$AD$延长线上一点,$∠ AOC=128^{ \circ }$,则$∠ CDE$的度数为（
A.$64°$
B.$60°$
C.$54°$
D.$52°$
A
）A.$64°$
B.$60°$
C.$54°$
D.$52°$
答案
∵∠AOC=128°,
∴∠ABC=1/2∠AOC=1/2×128°=64°. 又
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−64°=116°,
∴∠CDE=180°−∠ADC=180°−∠ADC=64°.
解析
【分析】要解决本题，需运用圆的两个核心性质：一是圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半），二是圆内接四边形的性质（外角等于内对角）。首先通过已知圆心角∠AOC求出对应圆周角∠ABC，再利用内接四边形的性质得到∠CDE与∠ABC的等量关系，进而计算出∠CDE的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AC对应的圆心角为∠AOC，对应的圆周角为∠ABC，因此：
$∠ABC = \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}×128° = 64°$。
2. 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角，∠CDE是四边形ABCD的外角，对应的内对角是∠ABC，所以：
$∠CDE = ∠ABC = 64°$。
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】本题是圆的基础性质的应用，解题关键是掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质，属于难度较低的基础题，适合巩固圆的相关知识点。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧AC对应的圆心角为∠AOC，对应的圆周角为∠ABC，因此：
$∠ABC = \frac{1}{2}∠AOC = \frac{1}{2}×128° = 64°$。
2. 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，根据圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角，∠CDE是四边形ABCD的外角，对应的内对角是∠ABC，所以：
$∠CDE = ∠ABC = 64°$。
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】本题是圆的基础性质的应用，解题关键是掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质，属于难度较低的基础题，适合巩固圆的相关知识点。
【难度系数】0.6
2. (2025·甘肃) 如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,\widehat{AB}=\widehat{BC}$，连接 $BD$. 若 $∠ ABC=70°$，则
$∠ BDC$ 的度数为（
A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
$∠ BDC$ 的度数为（
C
）A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
答案
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−70°=110°.
∵$\widehat{AB}=\widehat{BC}$,
∴∠ADB=∠BDC=1/2∠ADC=55°.
解析
【分析】
要解决本题，需结合圆内接四边形的性质和圆周角定理：首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠ADC的度数；再根据等弧所对的圆周角相等，得出∠ADB与∠BDC的等量关系，进而计算出∠BDC的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补，可得：
∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 70° = 110°。
2. 已知$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，根据“等弧所对的圆周角相等”，可知∠ADB = ∠BDC。
又因为∠ADC = ∠ADB + ∠BDC，所以：
∠BDC = $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质；圆周角定理
【点评】
本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理的综合应用，解题核心是利用等弧所对的圆周角相等，将所求角转化为已知角的一半，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合圆内接四边形的性质和圆周角定理：首先利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠ADC的度数；再根据等弧所对的圆周角相等，得出∠ADB与∠BDC的等量关系，进而计算出∠BDC的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补，可得：
∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 70° = 110°。
2. 已知$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，根据“等弧所对的圆周角相等”，可知∠ADB = ∠BDC。
又因为∠ADC = ∠ADB + ∠BDC，所以：
∠BDC = $\frac{1}{2}$∠ADC = $\frac{1}{2}$×110° = 55°。
【答案】
C
【知识点】
圆内接四边形性质；圆周角定理
【点评】
本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理的综合应用，解题核心是利用等弧所对的圆周角相等，将所求角转化为已知角的一半，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
3. 在圆内接四边形 $ABCD$ 中，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$ 的度数之比为 $2:4:7$，则 $∠ D$ 的度数为
100°
。答案
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.又
∵∠A:∠B:∠C=2:4:7,
∴∠A=40°,∠B=80°,∠C=140°,
∴∠D=180°−∠B=180°−80°=100°.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需掌握圆内接四边形的核心性质：圆内接四边形的对角互补（即∠A与∠C互补，∠B与∠D互补）。题目给出了∠A、∠B、∠C的度数比，因此可通过设未知数，利用对角互补的性质求出各角的度数，进而计算出∠D的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴根据圆内接四边形的对角互补性质，得：
∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
又
∵∠A:∠B:∠C = 2:4:7，
设∠A = 2x，∠B = 4x，∠C = 7x，
代入∠A + ∠C = 180°，得：
2x + 7x = 180°，
解得x = 20°。
则∠B = 4x = 4×20° = 80°，
因此∠D = 180° - ∠B = 180° - 80° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
圆内接四边形的性质，比例的应用
【点评】
本题考查圆内接四边形的对角互补性质，属于基础题型，解题关键是利用性质结合比例设未知数求解，难度不大，适合初中学生巩固基础。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需掌握圆内接四边形的核心性质：圆内接四边形的对角互补（即∠A与∠C互补，∠B与∠D互补）。题目给出了∠A、∠B、∠C的度数比，因此可通过设未知数，利用对角互补的性质求出各角的度数，进而计算出∠D的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴根据圆内接四边形的对角互补性质，得：
∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
又
∵∠A:∠B:∠C = 2:4:7，
设∠A = 2x，∠B = 4x，∠C = 7x，
代入∠A + ∠C = 180°，得：
2x + 7x = 180°，
解得x = 20°。
则∠B = 4x = 4×20° = 80°，
因此∠D = 180° - ∠B = 180° - 80° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
圆内接四边形的性质，比例的应用
【点评】
本题考查圆内接四边形的对角互补性质，属于基础题型，解题关键是利用性质结合比例设未知数求解，难度不大，适合初中学生巩固基础。
【难度系数】
0.7
4. 如图, 四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$, $AB$ 为 $\odot O$ 的直径, $∠ ABD=20°$, 则 $∠ BCD$ 的度数为
110°
.答案
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°.
∵∠ABD=20°,
∴∠BAD=90°−∠ABD=90°−20°=70°.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠A+∠BCD=180°,
∴∠BCD=180°−∠A=180°−70°=110°.
解析
【分析】
要解决本题，需结合圆的两个核心性质：一是直径所对的圆周角为直角，二是圆内接四边形的对角互补。首先利用直径的性质求出∠BAD的度数，再通过圆内接四边形的对角互补关系计算∠BCD的度数。具体步骤：1. 由AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°；2. 在Rt△ADB中，结合已知∠ABD=20°，算出∠BAD=70°；3. 根据圆内接四边形对角互补，∠BAD与∠BCD和为180°，进而求出∠BCD。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，
∴根据“直径所对的圆周角是直角”，得∠ADB=90°。
在△ADB中，∠ABD=20°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠ABD=180°−90°−20°=70°。
又
∵四边形ABCD内接于⊙O，根据“圆内接四边形的对角互补”，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°，
∴∠BCD=180°−∠BAD=180°−70°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，属于基础题型，需熟练掌握直径与圆周角的关系、圆内接四边形的性质，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合圆的两个核心性质：一是直径所对的圆周角为直角，二是圆内接四边形的对角互补。首先利用直径的性质求出∠BAD的度数，再通过圆内接四边形的对角互补关系计算∠BCD的度数。具体步骤：1. 由AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°；2. 在Rt△ADB中，结合已知∠ABD=20°，算出∠BAD=70°；3. 根据圆内接四边形对角互补，∠BAD与∠BCD和为180°，进而求出∠BCD。
【解析】
解：
∵AB为⊙O的直径，
∴根据“直径所对的圆周角是直角”，得∠ADB=90°。
在△ADB中，∠ABD=20°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠ABD=180°−90°−20°=70°。
又
∵四边形ABCD内接于⊙O，根据“圆内接四边形的对角互补”，
∴∠BAD + ∠BCD = 180°，
∴∠BCD=180°−∠BAD=180°−70°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，属于基础题型，需熟练掌握直径与圆周角的关系、圆内接四边形的性质，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5
5. 如图,已知四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,连接 $BD,∠ BAD=105°,∠ DBC=75°.$
(1)求证:$BD=CD.$
(2)若$\odot O$的半径为 3,求 $BC$ 的长.
(1)求证:$BD=CD.$
(2)若$\odot O$的半径为 3,求 $BC$ 的长.
答案
(1)证明：
∵四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=105°,
∴∠DCB=180°−∠BAD=180°−105°=75°.
∵∠DBC=75°,
∴∠DCB=∠DBC,
∴BD=CD.
(2)连接OB、OC.
∵∠DBC=∠DCB=75°,
∴∠BDC=180°−∠DBC−∠DCB=180°−75°−75°=30°,
∴∠BOC=60°.又
∵OB=OC,
∴△BOC为等边三角形,
∴BC=OB=3.
∵四边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=105°,
∴∠DCB=180°−∠BAD=180°−105°=75°.
∵∠DBC=75°,
∴∠DCB=∠DBC,
∴BD=CD.
(2)连接OB、OC.
∵∠DBC=∠DCB=75°,
∴∠BDC=180°−∠DBC−∠DCB=180°−75°−75°=30°,
∴∠BOC=60°.又
∵OB=OC,
∴△BOC为等边三角形,
∴BC=OB=3.
解析
【分析】
（1）要证明BD=CD，需利用等腰三角形“等角对等边”的判定，因此需证明∠DCB=∠DBC。根据圆内接四边形的性质（对角互补），可由已知的∠BAD度数求出∠DCB，结合题目给出的∠DBC度数，即可得到两角相等，进而完成证明。
（2）求BC的长度，需结合圆周角定理和等边三角形的性质：先在△DBC中求出∠BDC的度数，再利用“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”得到圆心角∠BOC的度数，结合OB=OC（半径相等），判断△BOC为等边三角形，从而得出BC等于圆的半径。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补，
∴∠DCB + ∠BAD = 180°。
已知∠BAD=105°，则∠DCB = 180° - 105° = 75°。
又
∵∠DBC=75°，
∴∠DCB = ∠DBC，
根据等腰三角形“等角对等边”，可得BD=CD。
（2）解：
连接OB、OC。
在△DBC中，已知∠DBC=∠DCB=75°，
∴∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠DCB = 180° - 75° - 75° = 30°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，弧BC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BDC，
∴∠BOC = 2∠BDC = 2×30° = 60°。
又
∵OB=OC（均为⊙O的半径），
∴△BOC是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴BC = OB = 3（⊙O的半径为3）。
【答案】
(1) 证明成立，BD=CD；(2) BC的长为3。
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形的判定，解题需熟练运用圆内接四边形对角互补、圆周角定理等知识点，逻辑推导清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
（1）要证明BD=CD，需利用等腰三角形“等角对等边”的判定，因此需证明∠DCB=∠DBC。根据圆内接四边形的性质（对角互补），可由已知的∠BAD度数求出∠DCB，结合题目给出的∠DBC度数，即可得到两角相等，进而完成证明。
（2）求BC的长度，需结合圆周角定理和等边三角形的性质：先在△DBC中求出∠BDC的度数，再利用“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”得到圆心角∠BOC的度数，结合OB=OC（半径相等），判断△BOC为等边三角形，从而得出BC等于圆的半径。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD内接于⊙O，根据圆内接四边形的对角互补，
∴∠DCB + ∠BAD = 180°。
已知∠BAD=105°，则∠DCB = 180° - 105° = 75°。
又
∵∠DBC=75°，
∴∠DCB = ∠DBC，
根据等腰三角形“等角对等边”，可得BD=CD。
（2）解：
连接OB、OC。
在△DBC中，已知∠DBC=∠DCB=75°，
∴∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠DCB = 180° - 75° - 75° = 30°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，弧BC对应的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BDC，
∴∠BOC = 2∠BDC = 2×30° = 60°。
又
∵OB=OC（均为⊙O的半径），
∴△BOC是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴BC = OB = 3（⊙O的半径为3）。
【答案】
(1) 证明成立，BD=CD；(2) BC的长为3。
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查圆的性质与三角形的判定，解题需熟练运用圆内接四边形对角互补、圆周角定理等知识点，逻辑推导清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
6. 如图,已知四边形 $ABCD$ 是$\odot O$ 的内接四边形,延长 $DC、AB$ 相交于点 $E$,且$∠ ABC=$$2∠ E$,求证:$△ ADE$ 是等腰三角形.
答案
证明：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°.又
∵∠BCE+∠BCD=180°,
∴∠A=∠BCE.
∵∠ABC=2∠E,∠ABC=∠E+∠BCE,
∴∠BCE=∠E,
∴∠BCE=∠BEC,
∴∠A=∠BEC,
∴DA=DE,即△ADE是等腰三角形.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°.又
∵∠BCE+∠BCD=180°,
∴∠A=∠BCE.
∵∠ABC=2∠E,∠ABC=∠E+∠BCE,
∴∠BCE=∠E,
∴∠BCE=∠BEC,
∴∠A=∠BEC,
∴DA=DE,即△ADE是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△ADE是等腰三角形，需证明∠A=∠E。首先利用圆内接四边形的对角互补，结合邻补角互补，推出∠A=∠BCE；再利用三角形外角的性质，结合已知∠ABC=2∠E，推得∠BCE=∠E，进而得到∠A=∠E，即可证明△ADE是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
又
∵∠BCE + ∠BCD = 180°（邻补角的定义），
∴∠A = ∠BCE（同角的补角相等）。
∵∠ABC是△BCE的外角，
∴∠ABC = ∠E + ∠BCE（三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
已知∠ABC = 2∠E，
∴2∠E = ∠E + ∠BCE，
移项得：∠BCE = ∠E。
结合前面推出的∠A = ∠BCE，
∴∠A = ∠E。
在△ADE中，∠A = ∠E，
∴DA = DE（等角对等边），
即△ADE是等腰三角形。
【答案】
△ADE是等腰三角形。
【知识点】
圆内接四边形性质、等腰三角形判定、三角形外角性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，核心是通过角的等量代换推导等腰三角形，解题思路清晰，属于常规几何证明题，重点考查圆内接四边形和三角形外角的性质应用。
【难度系数】
0.6
要证明△ADE是等腰三角形，需证明∠A=∠E。首先利用圆内接四边形的对角互补，结合邻补角互补，推出∠A=∠BCE；再利用三角形外角的性质，结合已知∠ABC=2∠E，推得∠BCE=∠E，进而得到∠A=∠E，即可证明△ADE是等腰三角形。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A + ∠BCD = 180°（圆内接四边形的对角互补）。
又
∵∠BCE + ∠BCD = 180°（邻补角的定义），
∴∠A = ∠BCE（同角的补角相等）。
∵∠ABC是△BCE的外角，
∴∠ABC = ∠E + ∠BCE（三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
已知∠ABC = 2∠E，
∴2∠E = ∠E + ∠BCE，
移项得：∠BCE = ∠E。
结合前面推出的∠A = ∠BCE，
∴∠A = ∠E。
在△ADE中，∠A = ∠E，
∴DA = DE（等角对等边），
即△ADE是等腰三角形。
【答案】
△ADE是等腰三角形。
【知识点】
圆内接四边形性质、等腰三角形判定、三角形外角性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，核心是通过角的等量代换推导等腰三角形，解题思路清晰，属于常规几何证明题，重点考查圆内接四边形和三角形外角的性质应用。
【难度系数】
0.6
