【典例1】如图，$△ DBC$中，$A$为$△ DBC$外一点，且$∠ BAC=∠ BDC$，$DM⊥ AC$于$M$，$DB=DC$.
(1)求证：$AD$平分$∠ BAC$的外角；
(2)求证：$AC-AB=2AM$.

(1)过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ABD=∠DCM，
在△CDM和△BDN中，
$\begin{cases} ∠DCM=∠ABD, \\ ∠DMC=∠DNB=90°, \\ DC=DB, \end{cases}$
∴△CDM≌△BDN(AAS)，
∴DN=DM,
∴DA平分∠BAC外角；
(2)在△ADM和△ADN中，
$\begin{cases} ∠DMA=∠DNA, \\ ∠DAM=∠DAN, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ADM≌△ADN(AAS)，
∴AM=AN，
又
∵BN=CM，
∴AC-AM=CM=AB+AM，
即AC-AB=2AM.

变式.如图,已知 BD 为△ABC 的外角∠ABE 的平分线,且 AD=CD.作 DH⊥CE 于 H,若 AB=6,BC=4,则 BH 的长为.

过点D作DM⊥AB于点M，
∵BD平分∠HBM，
∴∠BDH=∠BDM，
DH=DM，
∴BH=BM，
在Rt△CDH和Rt△ADM中，
$\begin{cases} DH=DM, \\ CD=AD, \end{cases}$
∴Rt△CDH≌△Rt△ADM(HL)，
CH=AM，
∴$BH=\frac{6-4}{2}=1$.

【典例2】如图，$∠ BAC = ∠ BDC = 20°$，$∠ DAC = 80°$，求证：$DB = DC$。

过点D作DM⊥AC,DN⊥AB,交AC于点M，交BA的延长线于点N，
∵∠DAN=∠DAM=80°，
∴DM=DN，
又
∵∠BAC=∠BDC=20°，
∴∠DBN=∠DCM，
在△DBN和△DCM中，
$\begin{cases} ∠DNB=∠DMC, \\ ∠DBN=∠DCM, \\ DN=DM, \end{cases}$
∴△DBN≌△DCM(AAS)，
∴DB=DC.

变式.(2026·洪山)如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠BDC=36°,∠ADB=72°,求证:AB=AC.

过点A作AM⊥BD交BD于点M，
作AN⊥CD交CD的延长线于点N，
∵∠ADB=∠ADN=72°，
∴AM=AN，
∴△ABM≌△ACN(AAS)，
∴AB=AC.