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1. 求下列各式的值.
(1)$\sqrt[3]{0.027}$；
(2)$\sqrt[3]{216}$；
(3)$(\sqrt[3]{2})^{3}$；
(4)$\sqrt[3]{\dfrac{19}{27}-1}$；
(5)$\sqrt[3]{1+\dfrac{61}{64}}$；
(6)$\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{27}$.
(1)$\sqrt[3]{0.027}$；
(2)$\sqrt[3]{216}$；
(3)$(\sqrt[3]{2})^{3}$；
(4)$\sqrt[3]{\dfrac{19}{27}-1}$；
(5)$\sqrt[3]{1+\dfrac{61}{64}}$；
(6)$\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{27}$.
答案
(1)0.3 (2)6 (3)2 (4)$-\dfrac{2}{3}$ (5)$\dfrac{5}{4}$ (6)1
解析
【分析】
本题主要考查立方根的相关运算，解题思路如下：首先明确立方根的核心定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$；同时牢记立方根的基本性质：$(\sqrt[3]{a})^3=a$，$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。解题时先对每道小题的被开方数化简（如果需要的话），再找到立方等于被开方数的数，即可得到立方根的结果，最后一道混合运算题先分别计算两个立方根再作差即可。
【解析】
(1) 因为$0.3^3=0.027$，根据立方根的定义可得：$\sqrt[3]{0.027}=0.3$；
(2) 因为$6^3=216$，根据立方根的定义可得：$\sqrt[3]{216}=6$；
(3) 根据立方根的性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，直接可得：$(\sqrt[3]{2})^3=2$；
(4) 先化简被开方数：$\frac{19}{27}-1=\frac{19}{27}-\frac{27}{27}=-\frac{8}{27}$，因为$(-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}$，所以$\sqrt[3]{\frac{19}{27}-1}=\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$；
(5) 先化简被开方数：$1+\frac{61}{64}=\frac{64}{64}+\frac{61}{64}=\frac{125}{64}$，因为$(\frac{5}{4})^3=\frac{125}{64}$，所以$\sqrt[3]{1+\frac{61}{64}}=\sqrt[3]{\frac{125}{64}}=\frac{5}{4}$；
(6) 先分别计算两个立方根：$\sqrt[3]{64}=4$，$\sqrt[3]{27}=3$，再作差得：$4-3=1$。
【答案】
(1)$0.3$；(2)$6$；(3)$2$；(4)$-\dfrac{2}{3}$；(5)$\dfrac{5}{4}$；(6)$1$
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质；实数的运算
【点评】
本题属于立方根运算的基础题型，重点考查对立方根定义和性质的理解应用，计算时要注意先化简被开方数，尤其注意负数立方根的符号不要出错，熟练记忆1~10整数的立方可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题主要考查立方根的相关运算，解题思路如下：首先明确立方根的核心定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$；同时牢记立方根的基本性质：$(\sqrt[3]{a})^3=a$，$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。解题时先对每道小题的被开方数化简（如果需要的话），再找到立方等于被开方数的数，即可得到立方根的结果，最后一道混合运算题先分别计算两个立方根再作差即可。
【解析】
(1) 因为$0.3^3=0.027$，根据立方根的定义可得：$\sqrt[3]{0.027}=0.3$；
(2) 因为$6^3=216$，根据立方根的定义可得：$\sqrt[3]{216}=6$；
(3) 根据立方根的性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，直接可得：$(\sqrt[3]{2})^3=2$；
(4) 先化简被开方数：$\frac{19}{27}-1=\frac{19}{27}-\frac{27}{27}=-\frac{8}{27}$，因为$(-\frac{2}{3})^3=-\frac{8}{27}$，所以$\sqrt[3]{\frac{19}{27}-1}=\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$；
(5) 先化简被开方数：$1+\frac{61}{64}=\frac{64}{64}+\frac{61}{64}=\frac{125}{64}$，因为$(\frac{5}{4})^3=\frac{125}{64}$，所以$\sqrt[3]{1+\frac{61}{64}}=\sqrt[3]{\frac{125}{64}}=\frac{5}{4}$；
(6) 先分别计算两个立方根：$\sqrt[3]{64}=4$，$\sqrt[3]{27}=3$，再作差得：$4-3=1$。
【答案】
(1)$0.3$；(2)$6$；(3)$2$；(4)$-\dfrac{2}{3}$；(5)$\dfrac{5}{4}$；(6)$1$
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质；实数的运算
【点评】
本题属于立方根运算的基础题型，重点考查对立方根定义和性质的理解应用，计算时要注意先化简被开方数，尤其注意负数立方根的符号不要出错，熟练记忆1~10整数的立方可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2. 计算:
(1)$\sqrt{(-2)^2} - \sqrt[3]{27} + (\dfrac{1}{3})^0$；
(2)$(-1)^{2026} + π^0 - (\dfrac{1}{3})^{-1} + \sqrt[3]{8}$。
(1)$\sqrt{(-2)^2} - \sqrt[3]{27} + (\dfrac{1}{3})^0$；
(2)$(-1)^{2026} + π^0 - (\dfrac{1}{3})^{-1} + \sqrt[3]{8}$。
答案
(1)原式=0；(2)原式=1.
解析
【分析】
这两道题均为实数混合运算类计算题，解题遵循“先算乘方、开方，再算加减”的运算顺序：首先回忆相关运算法则：①算术平方根性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，立方根性质：$\sqrt[3]{a^3}=a$；②零指数幂：非零数的0次幂等于1，即$a^0=1(a≠0)$；③负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$；④$-1$的偶次幂为1。先分别计算每一项的结果，再合并计算最终值即可。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{27}=3$，$(\frac{1}{3})^0=1$
代入原式计算：
原式$=2 - 3 + 1 = 0$
(2) 分别计算各项：
$(-1)^{2026}=1$（2026为偶数），$π^0=1$，$(\frac{1}{3})^{-1}=3$，$\sqrt[3]{8}=2$
代入原式计算：
原式$=1 + 1 - 3 + 2 = 1$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
实数的混合运算；零指数幂与负整数指数幂；算术平方根、立方根的计算
【点评】
本题为基础运算题，侧重考查对各类基本运算法则的掌握和应用，计算时需注意区分算术平方根与立方根的运算规则，避免负指数幂、零指数幂的计算出错，仔细运算即可得分。
【难度系数】
0.8
这两道题均为实数混合运算类计算题，解题遵循“先算乘方、开方，再算加减”的运算顺序：首先回忆相关运算法则：①算术平方根性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，立方根性质：$\sqrt[3]{a^3}=a$；②零指数幂：非零数的0次幂等于1，即$a^0=1(a≠0)$；③负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$；④$-1$的偶次幂为1。先分别计算每一项的结果，再合并计算最终值即可。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$\sqrt[3]{27}=3$，$(\frac{1}{3})^0=1$
代入原式计算：
原式$=2 - 3 + 1 = 0$
(2) 分别计算各项：
$(-1)^{2026}=1$（2026为偶数），$π^0=1$，$(\frac{1}{3})^{-1}=3$，$\sqrt[3]{8}=2$
代入原式计算：
原式$=1 + 1 - 3 + 2 = 1$
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
实数的混合运算；零指数幂与负整数指数幂；算术平方根、立方根的计算
【点评】
本题为基础运算题，侧重考查对各类基本运算法则的掌握和应用，计算时需注意区分算术平方根与立方根的运算规则，避免负指数幂、零指数幂的计算出错，仔细运算即可得分。
【难度系数】
0.8
3. 求下列各式中的$x$.
(1)$(x-1)^3=(-8)^2$；
(2)$(2x-1)^3+343=0$.
(1)$(x-1)^3=(-8)^2$；
(2)$(2x-1)^3+343=0$.
答案
(1)$x=5$ (2)$x=-3$
解析
【分析】
这两道题均是利用立方根的定义求解未知数的题型，解题思路如下：首先将原式整理为“含x的整体的三次方等于常数”的形式，再根据立方根的定义对常数开立方，将三次方程转化为一元一次方程，最后解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 先计算等号右侧的乘方：$(-8)^2=64$，原方程可化为$(x-1)^3=64$。
根据立方根的定义，因为$4^3=64$，所以$x-1=\sqrt[3]{64}=4$。
解一元一次方程得：$x=4+1=5$。
(2) 先移项整理原方程：$(2x-1)^3=-343$。
根据立方根的定义，因为$(-7)^3=-343$，所以$2x-1=\sqrt[3]{-343}=-7$。
解一元一次方程：$2x=-7+1=-6$，解得$x=-3$。
【答案】
(1)$x=5$ (2)$x=-3$
【知识点】
立方根的定义，乘方运算，一元一次方程解法
【点评】
本题属于立方根的基础应用类题目，核心是把括号内的含x的式子看作整体求立方根，掌握立方根的性质、熟悉常见整数的立方值就能快速解题。
【难度系数】
0.85
这两道题均是利用立方根的定义求解未知数的题型，解题思路如下：首先将原式整理为“含x的整体的三次方等于常数”的形式，再根据立方根的定义对常数开立方，将三次方程转化为一元一次方程，最后解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 先计算等号右侧的乘方：$(-8)^2=64$，原方程可化为$(x-1)^3=64$。
根据立方根的定义，因为$4^3=64$，所以$x-1=\sqrt[3]{64}=4$。
解一元一次方程得：$x=4+1=5$。
(2) 先移项整理原方程：$(2x-1)^3=-343$。
根据立方根的定义，因为$(-7)^3=-343$，所以$2x-1=\sqrt[3]{-343}=-7$。
解一元一次方程：$2x=-7+1=-6$，解得$x=-3$。
【答案】
(1)$x=5$ (2)$x=-3$
【知识点】
立方根的定义，乘方运算，一元一次方程解法
【点评】
本题属于立方根的基础应用类题目，核心是把括号内的含x的式子看作整体求立方根，掌握立方根的性质、熟悉常见整数的立方值就能快速解题。
【难度系数】
0.85
4. 已知第一个正方体玩具的棱长是 6 cm，第二个正方体玩具的体积要比第一个玩具的体积大 127 cm³，试求第二个正方体玩具的棱长.
答案
设第二个正方体玩具的棱长为$x$ cm.
由题意,得$x^3=6^3+127$,解得$x=7$.
故第二个正方体玩具的棱长是7 cm.
由题意,得$x^3=6^3+127$,解得$x=7$.
故第二个正方体玩具的棱长是7 cm.
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体体积与棱长的关系：正方体体积=棱长的三次方。我们先设第二个正方体的棱长为未知数，根据“第二个正方体体积=第一个正方体体积+127cm³”的等量关系列方程，再通过计算立方根求出棱长即可。
【解析】
解：设第二个正方体玩具的棱长为$x$ cm。
第一个正方体的体积为$6^3=216\ \mathrm{cm}^3$，根据题意可列方程：
$x^3=6^3+127$
计算等号右侧得：$x^3=216+127=343$
因为$7^3=343$，所以$x=\sqrt[3]{343}=7$
【答案】
7 cm
【知识点】
1. 正方体体积公式
2. 立方根计算
3. 列方程解应用题
【点评】
本题属于基础应用题，结合立体图形体积公式考查立方根的实际应用，解题关键是找准两个正方体的体积等量关系列方程，再准确计算立方根即可得解。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆正方体体积与棱长的关系：正方体体积=棱长的三次方。我们先设第二个正方体的棱长为未知数，根据“第二个正方体体积=第一个正方体体积+127cm³”的等量关系列方程，再通过计算立方根求出棱长即可。
【解析】
解：设第二个正方体玩具的棱长为$x$ cm。
第一个正方体的体积为$6^3=216\ \mathrm{cm}^3$，根据题意可列方程：
$x^3=6^3+127$
计算等号右侧得：$x^3=216+127=343$
因为$7^3=343$，所以$x=\sqrt[3]{343}=7$
【答案】
7 cm
【知识点】
1. 正方体体积公式
2. 立方根计算
3. 列方程解应用题
【点评】
本题属于基础应用题，结合立体图形体积公式考查立方根的实际应用，解题关键是找准两个正方体的体积等量关系列方程，再准确计算立方根即可得解。
【难度系数】
0.85
