1. 解方程：
(1)$3-\dfrac{1}{x}=1$；
(2)$\dfrac{x-1}{x+1}=0$；
(3)$\dfrac{2x-3}{3-x}=1$；
(4)$\dfrac{1}{2x}=\dfrac{2}{x+3}$.

(1)$x=\dfrac{1}{2}$；(2)$x=1$；(3)$x=2$；(4)$x=1$.

【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为熟悉的整式方程求解，具体步骤为：①确定最简公分母，明确分母不为0的取值范围；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程；④将求得的解代入最简公分母检验，若公分母不为0，则是原方程的解，若公分母为0，则为增根，需舍去。对于等于0的分式方程，也可直接利用“分式值为0时分子为0且分母不为0”的性质快速求解。
【解析】
(1) 方程$3-\dfrac{1}{x}=1$，分母为$x$，因此$x≠0$。
方程两边同时乘$x$得：$3x - 1 = x$
移项合并同类项得：$2x = 1$
解得$x=\dfrac{1}{2}$
检验：当$x=\dfrac{1}{2}$时，$x≠0$，符合分母不为0的要求。
(2) 方程$\dfrac{x-1}{x+1}=0$，根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，可得：
$\begin{cases}x-1=0 \\ x+1≠0\end{cases}$
解得$x=1$，此时$x+1=2≠0$，符合要求。
(3) 方程$\dfrac{2x-3}{3-x}=1$，分母为$3-x$，因此$3-x≠0$即$x≠3$。
方程两边同时乘$3-x$得：$2x - 3 = 3 - x$
移项合并同类项得：$3x = 6$
解得$x=2$
检验：当$x=2$时，$3-x=1≠0$，符合要求。
(4) 方程$\dfrac{1}{2x}=\dfrac{2}{x+3}$，分母为$2x$和$x+3$，因此$x≠0$且$x≠-3$。
方程两边同时乘最简公分母$2x(x+3)$得：$x + 3 = 4x$
移项合并同类项得：$3x = 3$
解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$2x(x+3)=8≠0$，符合要求。
【答案】
(1)$x=\dfrac{1}{2}$；(2)$x=1$；(3)$x=2$；(4)$x=1$
【知识点】
分式方程的解法、分式值为0的条件、增根检验
【点评】
本题是分式方程的基础训练题，核心考查将分式方程转化为整式方程的转化思想，解题时要牢记最后必须检验，避免因忽略增根导致解题错误。
【难度系数】
0.85

2. 解方程：
(1)(南通中考)$\frac{x}{x+1} - 1 = \frac{2x}{3x+3}$；
(2)$\frac{x-3}{x-2} + 1 = \frac{3}{2-x}$；
(3)$\frac{3}{x-1} = \frac{6}{x^2 - 1}$；
(4)$\frac{1}{x-3} \frac{x}{3-x} = 2$；
(5)$\frac{x}{x-1} = \frac{3}{2x-2} - 1$；
(6)$\frac{x}{x-1} - \frac{x}{2-x} = \frac{3}{x^2 + x - 2}$。

(1)$x=-\dfrac{3}{2}$；(2)$x=1$；(3)无解；(4)$x=7$；(5)$x=\dfrac{5}{4}$；(6)无解.

【分析】
解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①先对可因式分解的分母因式分解，确定各分母的最简公分母，互为相反数的因式可先统一符号；②方程两边同时乘最简公分母，所有项都要乘（包括常数项），消去分母得到整式方程；③解整式方程；④检验：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母为0，则该解是增根，原方程无解；若公分母不为0，则该解是原方程的解。
【解析】
(1) 整理分母得$3x+3=3(x+1)$，最简公分母为$3(x+1)$，$x≠-1$。
方程两边同乘$3(x+1)$得：
$3x - 3(x+1) = 2x$
去括号化简得：$-3=2x$
解得$x=-\frac{3}{2}$
检验：代入$3(x+1)=-\frac{3}{2}≠0$，是原方程的解。
(2) 整理分母得$2-x=-(x-2)$，最简公分母为$x-2$，$x≠2$。
方程两边同乘$x-2$得：
$(x-3)+(x-2) = -3$
合并得$2x-5=-3$
解得$x=1$
检验：代入$x-2=-1≠0$，是原方程的解。
(3) 因式分解分母得$x^2-1=(x-1)(x+1)$，最简公分母为$(x-1)(x+1)$，$x≠±1$。
方程两边同乘$(x-1)(x+1)$得：
$3(x+1)=6$
解得$x=1$
检验：代入$(x-1)(x+1)=0$，$x=1$是增根，原方程无解。
(4) 整理分母得$3-x=-(x-3)$，原方程化为$\frac{1}{x-3}+\frac{x}{x-3}=2$，最简公分母为$x-3$，$x≠3$。
方程两边同乘$x-3$得：
$1+x=2(x-3)$
解得$x=7$
检验：代入$x-3=4≠0$，是原方程的解。
(5) 整理分母得$2x-2=2(x-1)$，最简公分母为$2(x-1)$，$x≠1$。
方程两边同乘$2(x-1)$得：
$2x = 3 - 2(x-1)$
合并得$4x=5$
解得$x=\frac{5}{4}$
检验：代入$2(x-1)=\frac{1}{2}≠0$，是原方程的解。
(6) 因式分解分母得$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$，最简公分母为$(x-1)(x+2)$，$x≠1、x≠-2$。
方程两边同乘$(x-1)(x+2)$得：
$x(x+2) - x(x-1) = 3$
合并得$3x=3$
解得$x=1$
检验：代入$(x-1)(x+2)=0$，$x=1$是增根，原方程无解。
【答案】
(1)$x=-\dfrac{3}{2}$；(2)$x=1$；(3)无解；(4)$x=7$；(5)$x=\dfrac{5}{4}$；(6)无解
【知识点】
分式方程解法，增根检验，因式分解
【点评】
这组题覆盖了分式方程的常见考查类型，解题时要注意去分母不要漏乘常数项，且必须检验解是否为增根，这是分式方程求解的核心易错点。
【难度系数】
0.7