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三、计算题。
1.计算下面各图形的表面积和体积。(单位:dm)
(1)
(2)
(3)
(4)
1.计算下面各图形的表面积和体积。(单位:dm)
(1)
(2)
(3)
(4)
答案
(1) 表面积:$(8 × 2 + 8 × 2 + 2 × 2) × 2 = 72(\mathrm{dm}^2)$
体积:$8 × 2 × 2 = 32(\mathrm{dm}^3)$
(2) 表面积:$8 × 8 × 6 = 384(\mathrm{dm}^2)$
体积:$8 × 8 × 8 = 512(\mathrm{dm}^3)$
(3) 表面积:$2 × (8 × 5 + 8 × 2 + 5 × 2) + 4 × 2 × 2 = 148(\mathrm{dm}^2)$
体积:$8 × 5 × 2 + 2 × 2 × 2 = 88(\mathrm{dm}^3)$
(4) 表面积:$6 × 6 × 6 = 216(\mathrm{dm}^2)$
体积:$6 × 6 × 6 - 3 × 3 × 3 = 189(\mathrm{dm}^3)$
体积:$8 × 2 × 2 = 32(\mathrm{dm}^3)$
(2) 表面积:$8 × 8 × 6 = 384(\mathrm{dm}^2)$
体积:$8 × 8 × 8 = 512(\mathrm{dm}^3)$
(3) 表面积:$2 × (8 × 5 + 8 × 2 + 5 × 2) + 4 × 2 × 2 = 148(\mathrm{dm}^2)$
体积:$8 × 5 × 2 + 2 × 2 × 2 = 88(\mathrm{dm}^3)$
(4) 表面积:$6 × 6 × 6 = 216(\mathrm{dm}^2)$
体积:$6 × 6 × 6 - 3 × 3 × 3 = 189(\mathrm{dm}^3)$
解析
【分析】
解题时先判断每个图形的类型，再对应选择公式计算：1. 单一长方体、正方体直接套用对应表面积、体积公式即可；2. 组合图形计算表面积时，要注意拼接、挖去部位的面的变化：如果是两个图形拼接，重合的面要从总表面积里减去；如果是在正方体顶点处挖去小正方体，挖去后表面增减的面数量相等，表面积不变。组合图形体积计算时，拼接图形体积直接相加，挖去图形体积用原体积减去挖去部分体积即可。
【解析】
(1) 该图形为长8dm、宽2dm、高2dm的长方体，直接套用长方体公式计算：
表面积：$(8 × 2 + 8 × 2 + 2 × 2) × 2 = 72(\mathrm{dm}^2)$
体积：$8 × 2 × 2 = 32(\mathrm{dm}^3)$
(2) 该图形为棱长8dm的正方体，直接套用正方体公式计算：
表面积：$8 × 8 × 6 = 384(\mathrm{dm}^2)$
体积：$8 × 8 × 8 = 512(\mathrm{dm}^3)$
(3) 该图形为长8dm、宽5dm、高2dm的大长方体拼接棱长2dm的小正方体，二者重合1个边长为2dm的正方形面，因此表面积需额外加4个小正方形的面积，体积为二者体积之和：
表面积：$2 × (8 × 5 + 8 × 2 + 5 × 2) + 4 × 2 × 2 = 148(\mathrm{dm}^2)$
体积：$8 × 5 × 2 + 2 × 2 × 2 = 88(\mathrm{dm}^3)$
(4) 该图形为棱长6dm的正方体在顶点处挖去棱长3dm的小正方体，挖去后表面积和原正方体一致，体积为大正方体体积减去小正方体体积：
表面积：$6 × 6 × 6 = 216(\mathrm{dm}^2)$
体积：$6 × 6 × 6 - 3 × 3 × 3 = 189(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
(1) 表面积:$72\mathrm{dm}^2$，体积:$32\mathrm{dm}^3$
(2) 表面积:$384\mathrm{dm}^2$，体积:$512\mathrm{dm}^3$
(3) 表面积:$148\mathrm{dm}^2$，体积:$88\mathrm{dm}^3$
(4) 表面积:$216\mathrm{dm}^2$，体积:$189\mathrm{dm}^3$
【知识点】
1. 长方体表面积与体积计算
2. 正方体表面积与体积计算
3. 组合体表面积与体积计算
【点评】
本题侧重考察立体图形表面积、体积公式的掌握情况，以及组合图形计算时的面变化分析能力，做题时要注意避免组合体表面积的漏算、多算问题。
【难度系数】
0.7
解题时先判断每个图形的类型，再对应选择公式计算：1. 单一长方体、正方体直接套用对应表面积、体积公式即可；2. 组合图形计算表面积时，要注意拼接、挖去部位的面的变化：如果是两个图形拼接，重合的面要从总表面积里减去；如果是在正方体顶点处挖去小正方体，挖去后表面增减的面数量相等，表面积不变。组合图形体积计算时，拼接图形体积直接相加，挖去图形体积用原体积减去挖去部分体积即可。
【解析】
(1) 该图形为长8dm、宽2dm、高2dm的长方体，直接套用长方体公式计算：
表面积：$(8 × 2 + 8 × 2 + 2 × 2) × 2 = 72(\mathrm{dm}^2)$
体积：$8 × 2 × 2 = 32(\mathrm{dm}^3)$
(2) 该图形为棱长8dm的正方体，直接套用正方体公式计算：
表面积：$8 × 8 × 6 = 384(\mathrm{dm}^2)$
体积：$8 × 8 × 8 = 512(\mathrm{dm}^3)$
(3) 该图形为长8dm、宽5dm、高2dm的大长方体拼接棱长2dm的小正方体，二者重合1个边长为2dm的正方形面，因此表面积需额外加4个小正方形的面积，体积为二者体积之和：
表面积：$2 × (8 × 5 + 8 × 2 + 5 × 2) + 4 × 2 × 2 = 148(\mathrm{dm}^2)$
体积：$8 × 5 × 2 + 2 × 2 × 2 = 88(\mathrm{dm}^3)$
(4) 该图形为棱长6dm的正方体在顶点处挖去棱长3dm的小正方体，挖去后表面积和原正方体一致，体积为大正方体体积减去小正方体体积：
表面积：$6 × 6 × 6 = 216(\mathrm{dm}^2)$
体积：$6 × 6 × 6 - 3 × 3 × 3 = 189(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
(1) 表面积:$72\mathrm{dm}^2$，体积:$32\mathrm{dm}^3$
(2) 表面积:$384\mathrm{dm}^2$，体积:$512\mathrm{dm}^3$
(3) 表面积:$148\mathrm{dm}^2$，体积:$88\mathrm{dm}^3$
(4) 表面积:$216\mathrm{dm}^2$，体积:$189\mathrm{dm}^3$
【知识点】
1. 长方体表面积与体积计算
2. 正方体表面积与体积计算
3. 组合体表面积与体积计算
【点评】
本题侧重考察立体图形表面积、体积公式的掌握情况，以及组合图形计算时的面变化分析能力，做题时要注意避免组合体表面积的漏算、多算问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图是长方体的展开图,先添上虚线画出长方体的六个面,然后计算出长方体的表面积。
(单位:dm)
(单位:dm)
答案
长方体的长为$(18 - 2 × 2) ÷ 2 = 7(\mathrm{dm})$,
表面积为$(7 × 4 + 7 × 2 + 4 × 2) × 2 = 100(\mathrm{dm}^2)$
表面积为$(7 × 4 + 7 × 2 + 4 × 2) × 2 = 100(\mathrm{dm}^2)$
解析
【分析】
首先识别长方体展开图的各边对应关系，从图中可直接得到长方体的高为2dm、宽为4dm；总长度18dm由2条长和2条高的长度组成，据此先求出长方体的长，再代入长方体表面积公式即可计算出表面积。
【解析】
1. 计算长方体的长：
已知总长度18dm包含2个长和2个高，高为2dm，因此长为：
$(18 - 2×2)÷2 = (18-4)÷2 = 7(\mathrm{dm})$
2. 计算长方体的表面积：
根据长方体表面积公式：$表面积=(长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2$，代入长7dm、宽4dm、高2dm得：
$(7×4 + 7×2 + 4×2)×2$
$=(28 + 14 + 8)×2$
$=50×2$
$=100(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
$100\mathrm{dm}^2$
【知识点】
长方体展开图认识；长方体表面积计算
【点评】
本题考查长方体展开图特征与表面积公式的结合应用，解题关键是准确梳理展开图总长度与长方体棱长的对应关系，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
首先识别长方体展开图的各边对应关系，从图中可直接得到长方体的高为2dm、宽为4dm；总长度18dm由2条长和2条高的长度组成，据此先求出长方体的长，再代入长方体表面积公式即可计算出表面积。
【解析】
1. 计算长方体的长：
已知总长度18dm包含2个长和2个高，高为2dm，因此长为：
$(18 - 2×2)÷2 = (18-4)÷2 = 7(\mathrm{dm})$
2. 计算长方体的表面积：
根据长方体表面积公式：$表面积=(长×宽 + 长×高 + 宽×高)×2$，代入长7dm、宽4dm、高2dm得：
$(7×4 + 7×2 + 4×2)×2$
$=(28 + 14 + 8)×2$
$=50×2$
$=100(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
$100\mathrm{dm}^2$
【知识点】
长方体展开图认识；长方体表面积计算
【点评】
本题考查长方体展开图特征与表面积公式的结合应用，解题关键是准确梳理展开图总长度与长方体棱长的对应关系，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
3.如图是陈师傅用一个长6 cm、宽1 cm、高3 cm的长方体铁块加工成的一种零件，长方体的左、右两个角各被切掉一个正方体。请计算出零件的体积。
答案
体积为$6 × 3 × 1 - 1 × 1 × 1 × 2 = 16(\mathrm{cm}^3)$
解析
【分析】
我们可以用“整体减部分”的思路计算零件体积：这个零件是在完整大长方体的基础上切掉2个小正方体得到的，因此零件体积=原大长方体体积-2个切掉的小正方体体积。首先明确各部分尺寸：原长方体长6cm、宽1cm、高3cm；因为长方体的宽是1cm，所以切掉的小正方体棱长为1cm，分别算出大长方体和2个小正方体的体积后相减即可得到结果。
【解析】
1. 计算原长方体体积，长方体体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$
$6×3×1=18(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算单个小正方体体积，正方体体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}$，小正方体棱长为1cm
$1×1×1=1(\mathrm{cm}^3)$
3. 计算2个小正方体的总体积
$1×2=2(\mathrm{cm}^3)$
4. 计算零件体积，用大长方体体积减去2个小正方体体积
$18-2=16(\mathrm{cm}^3)$
也可列综合算式计算：$6 × 3 × 1 - 1 × 1 × 1 × 2 = 16(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$16\mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体体积计算；正方体体积计算；割补法求体积
【点评】
本题考察不规则立体图形的体积计算，核心是用割补法将不规则图形转化为规则图形的体积差求解，解题关键是准确判断切掉的小正方体的棱长和数量。
【难度系数】
0.8
我们可以用“整体减部分”的思路计算零件体积：这个零件是在完整大长方体的基础上切掉2个小正方体得到的，因此零件体积=原大长方体体积-2个切掉的小正方体体积。首先明确各部分尺寸：原长方体长6cm、宽1cm、高3cm；因为长方体的宽是1cm，所以切掉的小正方体棱长为1cm，分别算出大长方体和2个小正方体的体积后相减即可得到结果。
【解析】
1. 计算原长方体体积，长方体体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}×\mathrm{高}$
$6×3×1=18(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算单个小正方体体积，正方体体积公式：$\mathrm{体积}=\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}×\mathrm{棱长}$，小正方体棱长为1cm
$1×1×1=1(\mathrm{cm}^3)$
3. 计算2个小正方体的总体积
$1×2=2(\mathrm{cm}^3)$
4. 计算零件体积，用大长方体体积减去2个小正方体体积
$18-2=16(\mathrm{cm}^3)$
也可列综合算式计算：$6 × 3 × 1 - 1 × 1 × 1 × 2 = 16(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$16\mathrm{cm}^3$
【知识点】
长方体体积计算；正方体体积计算；割补法求体积
【点评】
本题考察不规则立体图形的体积计算，核心是用割补法将不规则图形转化为规则图形的体积差求解，解题关键是准确判断切掉的小正方体的棱长和数量。
【难度系数】
0.8
