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1. 下列式子从左到右变形是因式分解的是 （）
A.$a^2 + 4a - 21 = a(a + 4) - 21$
B.$a^2 + 4a - 21 = (a - 3)(a + 7)$
C.$(a - 3)(a + 7) = a^2 + 4a - 21$
D.$a^2 + 4a - 21 = (a + 2)^2 - 25$
A.$a^2 + 4a - 21 = a(a + 4) - 21$
B.$a^2 + 4a - 21 = (a - 3)(a + 7)$
C.$(a - 3)(a + 7) = a^2 + 4a - 21$
D.$a^2 + 4a - 21 = (a + 2)^2 - 25$
答案
B
解析
根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项：
选项A：右边不是整式乘积的形式，不属于因式分解；
选项B：将多项式$a^2+4a-21$转化为两个整式$(a-3)$和$(a+7)$的乘积，符合因式分解的定义；
选项C：是从整式乘积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
选项D：右边不是整式乘积的形式，不属于因式分解。
综上，符合要求的是选项B。
选项A：右边不是整式乘积的形式，不属于因式分解；
选项B：将多项式$a^2+4a-21$转化为两个整式$(a-3)$和$(a+7)$的乘积，符合因式分解的定义；
选项C：是从整式乘积展开为多项式，属于整式乘法，不是因式分解；
选项D：右边不是整式乘积的形式，不属于因式分解。
综上，符合要求的是选项B。
2. 下列整式不是多项式$2x^2 - 8$分解后的因式的是 （）
A.$x - 4$
B.$x - 2$
C.$x + 2$
D.$2$
A.$x - 4$
B.$x - 2$
C.$x + 2$
D.$2$
答案
A
解析
对多项式$2x^2-8$进行因式分解：
1. 先提取公因式2，可得$2x^2-8=2(x^2-4)$；
2. 再利用平方差公式分解$x^2-4$，得$x^2-4=(x+2)(x-2)$；
因此$2x^2-8=2(x+2)(x-2)$，其分解后的因式为2、$x+2$、$x-2$，不含整式$x-4$。
1. 先提取公因式2，可得$2x^2-8=2(x^2-4)$；
2. 再利用平方差公式分解$x^2-4$，得$x^2-4=(x+2)(x-2)$；
因此$2x^2-8=2(x+2)(x-2)$，其分解后的因式为2、$x+2$、$x-2$，不含整式$x-4$。
3. 下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是 （）
A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + 2x$
C.$x^2 + y^2$
D.$x^2 - xy + y^2$
A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + 2x$
C.$x^2 + y^2$
D.$x^2 - xy + y^2$
答案
B
解析
分别分析各选项：A选项$x^2-y^2$没有公因式，可用平方差公式分解，不能用提取公因式法分解；B选项$x^2+2x$的两项存在公因式$x$，提取公因式后可得$x(x+2)$，能用提取公因式法分解；C选项$x^2+y^2$没有公因式，不能用提取公因式法分解；D选项$x^2-xy+y^2$没有公因式，不能用提取公因式法分解。
4.化简$(-2)^{2025}+(-2)^{2026}$，结果为（）
A.$-2$
B.$0$
C.$-2^{2025}$
D.$2^{2025}$
A.$-2$
B.$0$
C.$-2^{2025}$
D.$2^{2025}$
答案
D
解析
利用提公因式法对式子变形：
1. 将$(-2)^{2026}$改写为$(-2)^{2025} × (-2)$，原式可化为：
$(-2)^{2025} + (-2)^{2025} × (-2)$
2. 提取公因式$(-2)^{2025}$：
$=(-2)^{2025} × [1 + (-2)]$
$=(-2)^{2025} × (-1)$
3. 因为2025是奇数，$(-2)^{2025}=-2^{2025}$，代入计算得：
$=-2^{2025} × (-1)=2^{2025}$
1. 将$(-2)^{2026}$改写为$(-2)^{2025} × (-2)$，原式可化为：
$(-2)^{2025} + (-2)^{2025} × (-2)$
2. 提取公因式$(-2)^{2025}$：
$=(-2)^{2025} × [1 + (-2)]$
$=(-2)^{2025} × (-1)$
3. 因为2025是奇数，$(-2)^{2025}=-2^{2025}$，代入计算得：
$=-2^{2025} × (-1)=2^{2025}$
5. 若$a,b,c$分别是$△ ABC$的三边长，且满足$a^2 - 2ab + b^2 = 0$，$b^2 - c^2 = 0$，则$△ ABC$的形状是（）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
答案
D
解析
对已知等式分别因式分解：
1. 由$a^2 - 2ab + b^2 = 0$，得$(a-b)^2=0$，因此$a=b$；
2. 由$b^2 - c^2 = 0$，因式分解得$(b-c)(b+c)=0$，因为$a,b,c$是三角形边长，均为正，故$b+c≠0$，因此$b=c$；
3. 综上可得$a=b=c$，所以$△ ABC$是等边三角形。
1. 由$a^2 - 2ab + b^2 = 0$，得$(a-b)^2=0$，因此$a=b$；
2. 由$b^2 - c^2 = 0$，因式分解得$(b-c)(b+c)=0$，因为$a,b,c$是三角形边长，均为正，故$b+c≠0$，因此$b=c$；
3. 综上可得$a=b=c$，所以$△ ABC$是等边三角形。
6.已知$a,b,c,d$都是正数，如果$M=(a+b+c)(b+c+d)$，$N=(a+b+c+d)(b+c)$，那么$M,N$的大小关系是（）
A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不确定
A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M＜N$
D.不确定
答案
A
解析
用作差法比较大小，设$x = b + c$，则：
$M=(a+x)(x+d)=x^2+(a+d)x+ad$
$N=(a+x+d)· x=x^2+(a+d)x$
计算$M-N$：
$M-N=[x^2+(a+d)x+ad]-[x^2+(a+d)x]=ad$
因为$a,d$都是正数，所以$ad＞0$，即$M-N＞0$，可得$M＞N$。
$M=(a+x)(x+d)=x^2+(a+d)x+ad$
$N=(a+x+d)· x=x^2+(a+d)x$
计算$M-N$：
$M-N=[x^2+(a+d)x+ad]-[x^2+(a+d)x]=ad$
因为$a,d$都是正数，所以$ad＞0$，即$M-N＞0$，可得$M＞N$。
7.如图，小明准备设计一个长方形的手工作品。已知长方形的边长分别为$a,b(a＞b)$，周长为20，面积为16，则$a^2b - ab^2$的值为（）
A.96
B.480
C.320
D.160
A.96
B.480
C.320
D.160
答案
A
解析
由长方形周长为20，可得$2(a+b)=20$，即$a+b=10$；由面积为16，可得$ab=16$。对所求式子因式分解：$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$。根据完全平方公式推导：$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=10^2-4×16=36$，结合$a＞b$可得$a-b=6$。代入计算得原式$=16×6=96$。
8.已知$m^2=3n+a$，$n^2=3m+a$，$m≠n$，则$m^2+2mn+n^2$的值为（）
A.9
B.6
C.4
D.无法确定
A.9
B.6
C.4
D.无法确定
答案
A
解析
将已知两式相减，得$m^2 - n^2 = 3n - 3m$，对左边用平方差公式因式分解，得$(m-n)(m+n) = -3(m-n)$。由$m≠n$可知$m-n≠0$，等式两边同时除以$m-n$，得$m+n=-3$。对所求式子因式分解，得$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2=(-3)^2=9$。
9. 小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了$x$的指数，他抄在作业本上的式子是$x^{□} - 4y^2$（“$□$”表示漏抄的指数），他只知道该指数为不大于10的正整数，并且该题能利用平方差公式因式分解，则这个指数的取值的可能情况最多有（）
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
答案
D
解析
根据平方差公式因式分解的特征，参与运算的两项都必须是平方项，因此x的指数必须为偶数。已知该指数是不大于10的正整数，满足条件的偶数为2、4、6、8、10，共5种可能。
