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10. 已知整式$A=1+a+a^2+a^3+a^4+\dots+a^{n-1}+n$（$n$是正整数，$a≠0$）。
①当$n=2$时，则$A=a+3$；
②当$a=2$，$n=64$时，则$A=2^{64}+63$；
③当$a=-1$，$A=6$时，则$n=5$。
其中正确的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
①当$n=2$时，则$A=a+3$；
②当$a=2$，$n=64$时，则$A=2^{64}+63$；
③当$a=-1$，$A=6$时，则$n=5$。
其中正确的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
C
解析
逐个验证三个结论：
①当$n=2$时，代入整式$A$得：$A=1+a^{2-1}+2=1+a+2=a+3$，结论正确；
②当$a=2$，$n=64$时，$1+2+2^2+\dots+2^{63}=2^{64}-1$，因此$A=(2^{64}-1)+64=2^{64}+63$，结论正确；
③当$a=-1$时，前半部分$1+(-1)+(-1)^2+\dots+(-1)^{n-1}$：若$n$为奇数，和为$1$，此时$A=1+n=6$，得$n=5$；若$n$为偶数，和为$0$，此时$A=0+n=6$，得$n=6$。因此$A=6$时$n=5$或$6$，结论错误。
综上正确的结论共2个。
①当$n=2$时，代入整式$A$得：$A=1+a^{2-1}+2=1+a+2=a+3$，结论正确；
②当$a=2$，$n=64$时，$1+2+2^2+\dots+2^{63}=2^{64}-1$，因此$A=(2^{64}-1)+64=2^{64}+63$，结论正确；
③当$a=-1$时，前半部分$1+(-1)+(-1)^2+\dots+(-1)^{n-1}$：若$n$为奇数，和为$1$，此时$A=1+n=6$，得$n=5$；若$n$为偶数，和为$0$，此时$A=0+n=6$，得$n=6$。因此$A=6$时$n=5$或$6$，结论错误。
综上正确的结论共2个。
11. 已知$x=\sqrt{5}+1$，则$x^2 - 2x -4 =$。
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
解：
由$x=\sqrt{5}+1$，可得$x-1=\sqrt{5}$，
两边平方得：$(x-1)^2=(\sqrt{5})^2$，
展开得：$x^2-2x+1=5$，
整理得：$x^2-2x=4$，
将$x^2-2x=4$代入$x^2-2x-4$，得：
原式$=4-4=0$。
最终
由$x=\sqrt{5}+1$，可得$x-1=\sqrt{5}$，
两边平方得：$(x-1)^2=(\sqrt{5})^2$，
展开得：$x^2-2x+1=5$，
整理得：$x^2-2x=4$，
将$x^2-2x=4$代入$x^2-2x-4$，得：
原式$=4-4=0$。
最终
12. 已知关于$ x $的多项式$ 2x^2 - 5x + k $的一个因式是$ x + 3 $，则实数$ k $的值是。
答案
$\boldsymbol{-33}$
解析
解：设多项式$2x^2-5x+k$的另一个因式为$2x+a$，则
$2x^2 - 5x + k = (x+3)(2x+a)$
将等式右侧展开得：
$(x+3)(2x+a) = 2x^2 + (a+6)x + 3a$
对比左右两边多项式的对应项系数，可得：
$a + 6 = -5$
解得$a=-11$，
又$k=3a$，代入$a=-11$得：
$k=3×(-11) = -33$
最终
$2x^2 - 5x + k = (x+3)(2x+a)$
将等式右侧展开得：
$(x+3)(2x+a) = 2x^2 + (a+6)x + 3a$
对比左右两边多项式的对应项系数，可得：
$a + 6 = -5$
解得$a=-11$，
又$k=3a$，代入$a=-11$得：
$k=3×(-11) = -33$
最终
13. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：。
答案
解：
计算左侧四个图形的面积之和：
$x^2 + 2x + 4x + 4×2 = x^2 + 6x + 8$
拼接得到的大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，面积为$(x+2)(x+4)$
因此可得因式分解：
$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$
计算左侧四个图形的面积之和：
$x^2 + 2x + 4x + 4×2 = x^2 + 6x + 8$
拼接得到的大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，面积为$(x+2)(x+4)$
因此可得因式分解：
$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$
14. 因式定理:对于多项式$f(x)$,若$f(a)=0$,则$(x-a)$是$f(x)$的一个因式,并且可以通过添减单项式从$f(x)$中分离出来。例如,$f(x)=2x^3 - 3x + 1$,由于$f(1)=0$,所以$(x-1)$是$f(x)$的一个因式,于是$f(x)=2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 2x - x + 1=(x-1)× g(x)$,则$g(x)=$。
答案
$\boldsymbol{2x^2+2x-1}$
解析
解：
对多项式分组提取公因式：
$\begin{aligned}f(x)&=2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 2x - x + 1\\&=2x^2(x-1) + 2x(x-1) - (x-1)\\&=(x-1)(2x^2 + 2x - 1)\end{aligned}$
由$f(x)=(x-1)× g(x)$，可得$g(x)=2x^2+2x-1$。
最终
对多项式分组提取公因式：
$\begin{aligned}f(x)&=2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 2x - x + 1\\&=2x^2(x-1) + 2x(x-1) - (x-1)\\&=(x-1)(2x^2 + 2x - 1)\end{aligned}$
由$f(x)=(x-1)× g(x)$，可得$g(x)=2x^2+2x-1$。
最终
15. 把下列各式因式分解：
(1)$3(a+b)^2 + 6(a+b)$；
(2)$(x+1)(x+2) + \frac{1}{4}$。
(1)$3(a+b)^2 + 6(a+b)$；
(2)$(x+1)(x+2) + \frac{1}{4}$。
答案
解：
(1) 对$3(a+b)^2 + 6(a+b)$提取公因式$3(a+b)$：
$\begin{aligned}3(a+b)^2 + 6(a+b)&=3(a+b)·(a+b) + 3(a+b)·2\\&=3(a+b)(a+b+2)\end{aligned}$
(2) 先展开原式再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}(x+1)(x+2) + \frac{1}{4}&=x^2 + 3x + 2 + \frac{1}{4}\\&=x^2 + 3x + \frac{9}{4}\\&=(x+\frac{3}{2})^2\end{aligned}$
(1) 对$3(a+b)^2 + 6(a+b)$提取公因式$3(a+b)$：
$\begin{aligned}3(a+b)^2 + 6(a+b)&=3(a+b)·(a+b) + 3(a+b)·2\\&=3(a+b)(a+b+2)\end{aligned}$
(2) 先展开原式再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}(x+1)(x+2) + \frac{1}{4}&=x^2 + 3x + 2 + \frac{1}{4}\\&=x^2 + 3x + \frac{9}{4}\\&=(x+\frac{3}{2})^2\end{aligned}$
16. 已知实数 $a,b,c,m,n$ 满足 $2m+n=\dfrac{b}{a},mn=\dfrac{c}{a}$。求证：$b^2 -8ac$ 为非负数。
答案
证明：
由题意可知$a≠0$，将已知等式两边同乘$a$，得：
$2am + an = b$，$amn = c$
将$b$、$c$代入$b^2 - 8ac$，得：
$\begin{aligned}b^2 - 8ac&=[a(2m+n)]^2 - 8a· (amn)\\&=a^2(2m+n)^2 - 8a^2 mn\\&=a^2[(2m+n)^2 - 8mn]\\&=a^2(4m^2 +4mn +n^2 -8mn)\\&=a^2(4m^2 -4mn +n^2)\\&=a^2(2m -n)^2\end{aligned}$
因为$a,m,n$均为实数，所以$a^2≥0$，$(2m-n)^2≥0$，
因此$a^2(2m-n)^2≥0$，即$b^2 -8ac≥0$，
故$b^2 -8ac$为非负数。
由题意可知$a≠0$，将已知等式两边同乘$a$，得：
$2am + an = b$，$amn = c$
将$b$、$c$代入$b^2 - 8ac$，得：
$\begin{aligned}b^2 - 8ac&=[a(2m+n)]^2 - 8a· (amn)\\&=a^2(2m+n)^2 - 8a^2 mn\\&=a^2[(2m+n)^2 - 8mn]\\&=a^2(4m^2 +4mn +n^2 -8mn)\\&=a^2(4m^2 -4mn +n^2)\\&=a^2(2m -n)^2\end{aligned}$
因为$a,m,n$均为实数，所以$a^2≥0$，$(2m-n)^2≥0$，
因此$a^2(2m-n)^2≥0$，即$b^2 -8ac≥0$，
故$b^2 -8ac$为非负数。
