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23. 已知某服装厂现有 A 种布料 70 m,B 种布料 52 m,现计划用这两种布料生产 M,N 两种型号的时装共 80 套.已知做一套 M 型号的时装需用 A 种布料 1.1 m,B 种布料 0.4 m,可获利 50 元;做一套 N 型号的时装需用 A 种布料 0.6 m,B 种布料 0.9 m,可获利 45 元.设生产 M 型号的时装套数为 x,用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为 y 元.
(1)求 y(元)与 x(套)之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围;
(2)当 M 型号的时装为多少套时,能使该厂所获利润最大?最大利润是多少?
(1)求 y(元)与 x(套)之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围;
(2)当 M 型号的时装为多少套时,能使该厂所获利润最大?最大利润是多少?
答案
(1)$y=5x+3600(x=40,41,42,43,44)$
(2)生产M型号的时装为44套时,该厂获利最大,最大利润是3820元
(2)生产M型号的时装为44套时,该厂获利最大,最大利润是3820元
【解决问题】
(1)①药物喷洒后空气中的含药量$ y $关于药物在空气中的持续时间$ x $的函数表达式为；
②当空气中的含药量首次达到$ 7.5\ \mathrm{mg/m}^3 $时，已经喷洒药物多长时间了？
(2)如果室内空气中的含药量不低于$ 5\ \mathrm{mg/m}^3 $且持续时间不少于$ 20\ \mathrm{min} $，才能达到有效消毒的效果，试说明此次消毒是否有效.
(3)若后续药物挥发的速率不变，则喷洒药物后经过多长时间，空气中无药物残留？
(1)①药物喷洒后空气中的含药量$ y $关于药物在空气中的持续时间$ x $的函数表达式为；
②当空气中的含药量首次达到$ 7.5\ \mathrm{mg/m}^3 $时，已经喷洒药物多长时间了？
(2)如果室内空气中的含药量不低于$ 5\ \mathrm{mg/m}^3 $且持续时间不少于$ 20\ \mathrm{min} $，才能达到有效消毒的效果，试说明此次消毒是否有效.
(3)若后续药物挥发的速率不变，则喷洒药物后经过多长时间，空气中无药物残留？
答案
(1)①$y=\begin{cases} 2x(0≤x≤5) \\ -0.2x+11(x＞5) \end{cases}$
②当空气中的含药量首次达到$7.5\ \mathrm{mg/m^3}$时,已经喷洒药物$3.75\ \mathrm{min}$.
(2)此次消毒有效;理由如下:当$0≤x≤5$时,令$y=5$,$2x=5$,解得$x=2.5$;
当$x＞5$时,令$y=5$,$-0.2x+11=5$,解得$x=30$,所以空气中药物含量不低于$5\ \mathrm{mg/m^3}$持续的时间为$30-2.5=27.5(\mathrm{min})$. 因为$27.5\ \mathrm{min}＞20\ \mathrm{min}$,所以此次消毒有效.
(3)当$y=0$时,$-0.2x+11=0$,解得$x=55$. 故喷洒药物$55\ \mathrm{min}$后,空气中无药物残留.
②当空气中的含药量首次达到$7.5\ \mathrm{mg/m^3}$时,已经喷洒药物$3.75\ \mathrm{min}$.
(2)此次消毒有效;理由如下:当$0≤x≤5$时,令$y=5$,$2x=5$,解得$x=2.5$;
当$x＞5$时,令$y=5$,$-0.2x+11=5$,解得$x=30$,所以空气中药物含量不低于$5\ \mathrm{mg/m^3}$持续的时间为$30-2.5=27.5(\mathrm{min})$. 因为$27.5\ \mathrm{min}＞20\ \mathrm{min}$,所以此次消毒有效.
(3)当$y=0$时,$-0.2x+11=0$,解得$x=55$. 故喷洒药物$55\ \mathrm{min}$后,空气中无药物残留.
