登录
1. 二次函数$y=-3x^2$的图象是一条
抛物线
，它关于y轴(或直线$x=0$)
对称，开口向下
，顶点坐标是$(0,0)$
，顶点是抛物线上的最高
（最高或低）点，抛物线在$x$轴的下
方（除顶点外）。答案
抛物线;y轴(或直线$x=0$);向下;$(0,0)$;最高;下
解析
【分析】
本题考查最简二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题时可按顺序结合性质逐一判断：首先明确所有二次函数的图象都是抛物线；再根据$y=ax^2$的结构特征判断对称轴；之后结合二次项系数$a$的正负判断开口方向，进而推导顶点坐标、顶点的最值属性，以及抛物线相对x轴的位置即可。
【解析】
1. 二次函数的图象统称为抛物线，因此第一个空填抛物线；
2. 二次函数$y=ax^2(a≠0)$无一次项和常数项，对称轴为y轴（即直线$x=0$），因此第二个空填y轴(或直线$x=0$)；
3. 本题中二次项系数$a=-3＜0$，因此抛物线开口向下，第三个空填向下；
4. $y=ax^2$的顶点为对称轴与抛物线的交点，代入$x=0$得$y=0$，因此顶点坐标为$(0,0)$，第四个空填$(0,0)$；
5. 抛物线开口向下时，顶点处函数值为最大值，因此顶点是抛物线上的最高点，第五个空填最高；
6. 开口向下且顶点在x轴上，因此除顶点外所有点的纵坐标均小于0，即抛物线在x轴的下方，第六个空填下。
【答案】
抛物线;y轴(或直线$x=0$);向下;$(0,0)$;最高;下
【知识点】
二次函数图象，$y=ax^2$的性质，开口方向判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，聚焦最简二次函数$y=ax^2$的核心特征，熟练掌握相关性质即可快速作答，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查最简二次函数$y=ax^2$的基础性质，解题时可按顺序结合性质逐一判断：首先明确所有二次函数的图象都是抛物线；再根据$y=ax^2$的结构特征判断对称轴；之后结合二次项系数$a$的正负判断开口方向，进而推导顶点坐标、顶点的最值属性，以及抛物线相对x轴的位置即可。
【解析】
1. 二次函数的图象统称为抛物线，因此第一个空填抛物线；
2. 二次函数$y=ax^2(a≠0)$无一次项和常数项，对称轴为y轴（即直线$x=0$），因此第二个空填y轴(或直线$x=0$)；
3. 本题中二次项系数$a=-3＜0$，因此抛物线开口向下，第三个空填向下；
4. $y=ax^2$的顶点为对称轴与抛物线的交点，代入$x=0$得$y=0$，因此顶点坐标为$(0,0)$，第四个空填$(0,0)$；
5. 抛物线开口向下时，顶点处函数值为最大值，因此顶点是抛物线上的最高点，第五个空填最高；
6. 开口向下且顶点在x轴上，因此除顶点外所有点的纵坐标均小于0，即抛物线在x轴的下方，第六个空填下。
【答案】
抛物线;y轴(或直线$x=0$);向下;$(0,0)$;最高;下
【知识点】
二次函数图象，$y=ax^2$的性质，开口方向判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，聚焦最简二次函数$y=ax^2$的核心特征，熟练掌握相关性质即可快速作答，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9
2. 在如图直角坐标系中，用描点法画出下列函数的图象。
①$y=\frac{3}{2}x^2$； ②$y=-\frac{3}{2}x^2$。
（1）列表：
（2）描点，并用光滑曲线顺次连结各点。
（3）观察这两个函数图象的特征，说明它们之间的关系。
①$y=\frac{3}{2}x^2$； ②$y=-\frac{3}{2}x^2$。
（1）列表：
（2）描点，并用光滑曲线顺次连结各点。
（3）观察这两个函数图象的特征，说明它们之间的关系。
答案
（1）$6,\frac{3}{2},\frac{3}{8},0,\frac{3}{8},\frac{3}{2},6;-6,-\frac{3}{2},-\frac{3}{8},0,-\frac{3}{8},-\frac{3}{2},-6$ （2）图略
（3）两者的图象关于$x$轴对称。答案不唯一，如关于原点成中心对称。
（3）两者的图象关于$x$轴对称。答案不唯一，如关于原点成中心对称。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 列表环节：要画出顶点在原点的抛物线类二次函数的图象，通常选取关于原点对称的x值（如-2、-1、-0.5、0、0.5、1、2），分别代入两个函数表达式计算对应的y值，填入表格即可；2. 描点连线环节：将计算得到的每组(x,y)对应到坐标系中的点，再用光滑曲线顺次连接各点，注意抛物线是平滑的曲线，不能画成折线；3. 分析图象关系环节：可以对比相同x对应的两个函数的y值的关系，或者观察两个图象的位置特征，推导它们的对称关系。
【解析】
（1）我们选取x=-2、-1、$-\frac{1}{2}$、0、$\frac{1}{2}$、1、2分别代入两个函数计算y值：
① 对于$y=\frac{3}{2}x^2$：
当x=-2时，$y=\frac{3}{2}×(-2)^2=6$；当x=-1时，$y=\frac{3}{2}×(-1)^2=\frac{3}{2}$；当x=$-\frac{1}{2}$时，$y=\frac{3}{2}×(-\frac{1}{2})^2=\frac{3}{8}$；当x=0时，y=0；x为正数时，计算结果和对应负数x的结果相同，依次为$\frac{3}{8}$、$\frac{3}{2}$、6。
② 对于$y=-\frac{3}{2}x^2$：
每个x对应的y值都是$y=\frac{3}{2}x^2$对应y值的相反数，所以依次为-6、$-\frac{3}{2}$、$-\frac{3}{8}$、0、$-\frac{3}{8}$、$-\frac{3}{2}$、-6。
（2）先在平面直角坐标系中分别描出两个函数的对应点，再用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到两个函数的图象，其中$y=\frac{3}{2}x^2$是开口向上的抛物线，$y=-\frac{3}{2}x^2$是开口向下的抛物线。
（3）观察图象可得，对于任意相同的x值，两个函数的y值互为相反数，说明两个图象上的对应点都关于x轴对称，因此两个函数的图象关于x轴对称；另外将其中一个图象绕原点旋转180°后可与另一个图象重合，因此二者也关于原点成中心对称。
【答案】
（1）$6,\frac{3}{2},\frac{3}{8},0,\frac{3}{8},\frac{3}{2},6;-6,-\frac{3}{2},-\frac{3}{8},0,-\frac{3}{8},-\frac{3}{2},-6$ （2）图略
（3）两者的图象关于$x$轴对称（答案不唯一，如关于原点成中心对称）
【知识点】
描点法画函数图象；二次函数$y=ax^2$的性质；图形对称判断
【点评】
本题考查二次函数图象的画法及图象关系的判断，核心是掌握描点法作图的步骤，理解二次项系数互为相反数的两个$y=ax^2$型二次函数的图象特征，主要考查学生的动手作图能力和观察分析能力。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 列表环节：要画出顶点在原点的抛物线类二次函数的图象，通常选取关于原点对称的x值（如-2、-1、-0.5、0、0.5、1、2），分别代入两个函数表达式计算对应的y值，填入表格即可；2. 描点连线环节：将计算得到的每组(x,y)对应到坐标系中的点，再用光滑曲线顺次连接各点，注意抛物线是平滑的曲线，不能画成折线；3. 分析图象关系环节：可以对比相同x对应的两个函数的y值的关系，或者观察两个图象的位置特征，推导它们的对称关系。
【解析】
（1）我们选取x=-2、-1、$-\frac{1}{2}$、0、$\frac{1}{2}$、1、2分别代入两个函数计算y值：
① 对于$y=\frac{3}{2}x^2$：
当x=-2时，$y=\frac{3}{2}×(-2)^2=6$；当x=-1时，$y=\frac{3}{2}×(-1)^2=\frac{3}{2}$；当x=$-\frac{1}{2}$时，$y=\frac{3}{2}×(-\frac{1}{2})^2=\frac{3}{8}$；当x=0时，y=0；x为正数时，计算结果和对应负数x的结果相同，依次为$\frac{3}{8}$、$\frac{3}{2}$、6。
② 对于$y=-\frac{3}{2}x^2$：
每个x对应的y值都是$y=\frac{3}{2}x^2$对应y值的相反数，所以依次为-6、$-\frac{3}{2}$、$-\frac{3}{8}$、0、$-\frac{3}{8}$、$-\frac{3}{2}$、-6。
（2）先在平面直角坐标系中分别描出两个函数的对应点，再用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到两个函数的图象，其中$y=\frac{3}{2}x^2$是开口向上的抛物线，$y=-\frac{3}{2}x^2$是开口向下的抛物线。
（3）观察图象可得，对于任意相同的x值，两个函数的y值互为相反数，说明两个图象上的对应点都关于x轴对称，因此两个函数的图象关于x轴对称；另外将其中一个图象绕原点旋转180°后可与另一个图象重合，因此二者也关于原点成中心对称。
【答案】
（1）$6,\frac{3}{2},\frac{3}{8},0,\frac{3}{8},\frac{3}{2},6;-6,-\frac{3}{2},-\frac{3}{8},0,-\frac{3}{8},-\frac{3}{2},-6$ （2）图略
（3）两者的图象关于$x$轴对称（答案不唯一，如关于原点成中心对称）
【知识点】
描点法画函数图象；二次函数$y=ax^2$的性质；图形对称判断
【点评】
本题考查二次函数图象的画法及图象关系的判断，核心是掌握描点法作图的步骤，理解二次项系数互为相反数的两个$y=ax^2$型二次函数的图象特征，主要考查学生的动手作图能力和观察分析能力。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数$y=ax^2$的图象经过点$(-1,2)$。
（1）求该函数的表达式，并判断点$(1,2)$是否在该函数的图象上。
（2）若点$P(m,6)$在该函数的图象上，求$m$的值。
（3）说出该函数的图象的顶点坐标、对称轴、开口方向以及图象的位置。
（1）求该函数的表达式，并判断点$(1,2)$是否在该函数的图象上。
（2）若点$P(m,6)$在该函数的图象上，求$m$的值。
（3）说出该函数的图象的顶点坐标、对称轴、开口方向以及图象的位置。
答案
（1）$y=2x^2$，点$(1,2)$在函数图象上。
（2）$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$。
（3）该函数图象的顶点坐标是$(0,0)$，对称轴是$y$轴，开口方向向上，图象位于$x$轴的上方(除顶点外)。
（2）$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$。
（3）该函数图象的顶点坐标是$(0,0)$，对称轴是$y$轴，开口方向向上，图象位于$x$轴的上方(除顶点外)。
解析
【分析】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的性质及应用展开，解题思路如下：
1. 第（1）问：利用“函数图象上的点坐标满足函数解析式”，将已知点$(-1,2)$代入解析式求出参数$a$，即可得到函数表达式；判断点是否在图象上时，只需将点的横坐标代入表达式，验证计算得到的纵坐标是否和点的纵坐标一致即可。
2. 第（2）问：点在函数图象上说明其坐标满足函数解析式，将$P(m,6)$代入表达式解方程即可求出$m$的值。
3. 第（3）问：结合求出的$a$的正负，直接套用二次函数$y=ax^2$的基本性质，即可得到对应的图象特征。
【解析】
（1）将点$(-1,2)$代入$y=ax^2$，得：
$2=a×(-1)^2$
解得$a=2$，因此函数表达式为$y=2x^2$。
把$x=1$代入$y=2x^2$，得$y=2×1^2=2$，和点$(1,2)$的纵坐标相等，因此点$(1,2)$在该函数的图象上。
（2）
∵点$P(m,6)$在函数$y=2x^2$的图象上，
∴代入坐标得$6=2m^2$，
整理得$m^2=3$，解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$。
（3）对于$y=2x^2$，其中$a=2＞0$：
顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），开口方向向上；
由于$x^2≥0$，因此$2x^2≥0$，仅当$x=0$时$y=0$，故图象位于$x$轴的上方（除顶点外）。
【答案】
（1）$y=2x^2$，点$(1,2)$在该函数的图象上；
（2）$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$；
（3）该函数图象的顶点坐标是$(0,0)$，对称轴是$y$轴，开口方向向上，图象位于$x$轴的上方(除顶点外)。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数点坐标特征；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察二次函数$y=ax^2$的性质及简单应用，只要熟练掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
本题围绕二次函数$y=ax^2$的性质及应用展开，解题思路如下：
1. 第（1）问：利用“函数图象上的点坐标满足函数解析式”，将已知点$(-1,2)$代入解析式求出参数$a$，即可得到函数表达式；判断点是否在图象上时，只需将点的横坐标代入表达式，验证计算得到的纵坐标是否和点的纵坐标一致即可。
2. 第（2）问：点在函数图象上说明其坐标满足函数解析式，将$P(m,6)$代入表达式解方程即可求出$m$的值。
3. 第（3）问：结合求出的$a$的正负，直接套用二次函数$y=ax^2$的基本性质，即可得到对应的图象特征。
【解析】
（1）将点$(-1,2)$代入$y=ax^2$，得：
$2=a×(-1)^2$
解得$a=2$，因此函数表达式为$y=2x^2$。
把$x=1$代入$y=2x^2$，得$y=2×1^2=2$，和点$(1,2)$的纵坐标相等，因此点$(1,2)$在该函数的图象上。
（2）
∵点$P(m,6)$在函数$y=2x^2$的图象上，
∴代入坐标得$6=2m^2$，
整理得$m^2=3$，解得$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$。
（3）对于$y=2x^2$，其中$a=2＞0$：
顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），开口方向向上；
由于$x^2≥0$，因此$2x^2≥0$，仅当$x=0$时$y=0$，故图象位于$x$轴的上方（除顶点外）。
【答案】
（1）$y=2x^2$，点$(1,2)$在该函数的图象上；
（2）$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$；
（3）该函数图象的顶点坐标是$(0,0)$，对称轴是$y$轴，开口方向向上，图象位于$x$轴的上方(除顶点外)。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数点坐标特征；二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察二次函数$y=ax^2$的性质及简单应用，只要熟练掌握相关基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
