1. 已知等腰三角形的两边长分别为8 cm和10 cm,求该三角形的周长.

解：分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的腰长为8 cm时，三边长分别为8 cm，8 cm，10 cm。
因为8+8＞10，满足三角形三边关系，此时三角形的周长为8+8+10=26(cm)。
② 当等腰三角形的腰长为10 cm时，三边长分别为10 cm，10 cm，8 cm。
因为10+8＞10，满足三角形三边关系，此时三角形的周长为10+10+8=28(cm)。
综上，该三角形的周长为26 cm或28 cm。

【分析】
首先，等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出两条边长，未明确哪条是腰、哪条是底，因此需要分两种情况讨论。其次，构成三角形必须满足三边关系（任意两边之和大于第三边），因此每种情况都要先验证三边长是否符合三边关系，符合的情况再计算周长即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的腰长为8 cm时，三边长分别为8 cm，8 cm，10 cm。
因为8+8＞10，满足三角形三边关系，此时三角形的周长为8+8+10=26(cm)。
② 当等腰三角形的腰长为10 cm时，三边长分别为10 cm，10 cm，8 cm。
因为10+8＞10，满足三角形三边关系，此时三角形的周长为10+10+8=28(cm)。
综上，该三角形的周长为26 cm或28 cm。
【答案】
26 cm或28 cm
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的典型基础题型，解题的关键是明确边长未明确腰和底时需分类讨论，同时要注意验证三边是否满足三角形的构成条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7

2. 等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把其周长分成差为3的两部分，求该等腰三角形的腰长.

解：设等腰三角形的腰长为$x$，腰上的中线将腰分为长度均为$\frac{x}{2}$的两段。
根据题意，分两种情况讨论：
1. 当含腰的部分周长比含底边的部分周长大3时：
$(x + \frac{x}{2}) - (5 + \frac{x}{2}) = 3$
化简得$x - 5 = 3$，解得$x=8$。
此时三角形三边长为8、8、5，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合要求。
2. 当含底边的部分周长比含腰的部分周长大3时：
$(5 + \frac{x}{2}) - (x + \frac{x}{2}) = 3$
化简得$5 - x = 3$，解得$x=2$。
此时三角形三边长为2、2、5，因为$2+2＜5$，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
综上，该等腰三角形的腰长为$\boldsymbol{8}$。

【分析】
本题是等腰三角形与周长结合的典型问题，解题思路可分为三步：第一步明确腰上的中线将周长分割成的两部分分别为“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”；第二步因题干未明确两部分周长的大小关系，需要分两种情况分类讨论计算腰长；第三步必须用三角形三边关系验证算出的边长能否构成三角形，舍去不符合条件的解。
【解析】
设等腰三角形的腰长为$x$，腰上的中线将腰分为长度均为$\frac{x}{2}$的两段。
根据题意分两种情况讨论：
1. 当含腰的部分周长比含底边的部分周长大3时：
$(x + \frac{x}{2}) - (5 + \frac{x}{2}) = 3$
化简得$x - 5 = 3$，解得$x=8$。
此时三角形三边长为8、8、5，满足任意两边之和大于第三边，符合要求。
2. 当含底边的部分周长比含腰的部分周长大3时：
$(5 + \frac{x}{2}) - (x + \frac{x}{2}) = 3$
化简得$5 - x = 3$，解得$x=2$。
此时三角形三边长为2、2、5，由于$2+2＜5$，不满足三角形三边关系，故舍去该情况。
综上，该等腰三角形的腰长为8。
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的高频考题，易错点为遗漏分类讨论的情况，或是求出边长后未验证是否满足三角形三边关系，导致出现多余的错误解，解题时要养成计算后检验的习惯。
【难度系数】
0.6

3.(2025昆明西山区期中)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$42°$,则这个等腰三角形的顶角是().

A.$42°$或$138°$
B.$48°$或$132°$
C.$48°$或$138°$
D.$42°$或$132°$

B

【分析】
本题需要结合等腰三角形的特点分类讨论求解，首先思考：等腰三角形按顶角大小可分为锐角等腰三角形、直角等腰三角形、钝角等腰三角形，其中顶角为直角时，一腰上的高与另一腰重合，夹角为0°，不符合题意，因此仅需分两类讨论：①当顶角为锐角时，腰上的高落在三角形内部，高、另一腰与顶角构成直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出顶角；②当顶角为钝角时，腰上的高落在三角形外部，高、另一腰的延长线与顶角的邻补角构成直角三角形，先求出邻补角的度数，再利用邻补角和为180°求出顶角。
【解析】
分两种符合题意的情况计算：
1. 当等腰三角形的顶角为锐角时：
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$BD$是腰$AC$上的高，由题意得高$BD$与另一腰$AB$的夹角$∠ ABD=42°$。
$\because BD$是高，$\therefore ∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，两锐角互余，
$\therefore$顶角$∠ A=90° - ∠ ABD=90° - 42°=48°$。
2. 当等腰三角形的顶角为钝角时：
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，顶角$∠ BAC$为钝角，$BD$是腰$AC$上的高，交$CA$的延长线于点$D$，由题意得高$BD$与另一腰$AB$的夹角$∠ ABD=42°$。
$\because BD$是高，$\therefore ∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=90° - ∠ ABD=90° - 42°=48°$，
$\because ∠ BAC$与$∠ BAD$是邻补角，
$\therefore$顶角$∠ BAC=180° - ∠ BAD=180° - 48°=132°$。
综上，这个等腰三角形的顶角为$48°$或$132°$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见易错题，解题的核心是避免思维定式，不能默认等腰三角形为锐角三角形，要根据高的位置不同分类讨论，防止漏解。
【难度系数】
0.6

4. 在三角形ABC中，AB=AC，边AB上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,求∠B的度数.

解：分两种情况讨论：
① 当AB的垂直平分线与线段AC相交时：
设AB的垂直平分线为DE，垂足为D，DE交AC于点E，
则∠ADE=90°，由题意得∠AED=40°，
∴ ∠A = 90° - 40° = 50°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C = $\frac{180° - ∠A}{2}$ = $\frac{180° - 50°}{2}$ = 65°。
② 当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时：
设AB的垂直平分线为DE，垂足为D，DE交CA的延长线于点E，
则∠ADE=90°，由题意得∠AED=40°，
∴ ∠EAD = 90° - 40° = 50°，
∴ ∠BAC = 180° - 50° = 130°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C = $\frac{180° - ∠BAC}{2}$ = $\frac{180° - 130°}{2}$ = 25°。
综上，∠B的度数为65°或25°。

【分析】
解题时首先关注题目中“AB的垂直平分线与AC所在的直线相交”的表述，“所在直线”说明交点可能在线段AC上，也可能在CA的延长线上，需分两种情况讨论。第一步利用垂直平分线的垂直属性得到90°角，结合已知的40°锐角求出△ABC的顶角∠BAC的度数；第二步根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，即可计算出底角∠B的度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当AB的垂直平分线与线段AC相交时：
设AB的垂直平分线为DE，垂足为D，DE交AC于点E，
则∠ADE=90°，由题意得∠AED=40°，
∴ ∠A = 90° - 40° = 50°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C = $\frac{180° - ∠A}{2}$ = $\frac{180° - 50°}{2}$ = 65°。
② 当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时：
设AB的垂直平分线为DE，垂足为D，DE交CA的延长线于点E，
则∠ADE=90°，由题意得∠AED=40°，
∴ ∠EAD = 90° - 40° = 50°，
∴ ∠BAC = 180° - 50° = 130°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C = $\frac{180° - ∠BAC}{2}$ = $\frac{180° - 130°}{2}$ = 25°。
综上，∠B的度数为65°或25°。
【答案】
65°或25°
【知识点】
等腰三角形性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理
【点评】
本题易错点是忽略“AC所在直线”的表述，仅考虑交点在线段AC上的情况导致漏解，解题时遇到线与直线相交的描述时，要全面考虑交点位置，运用分类讨论思想避免漏解。
【难度系数】
0.6