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1.若$a-b=1,ab=2$,则$(a+b)^2$的值为().
A.-9
B.9
C.$\pm9$
D.3
A.-9
B.9
C.$\pm9$
D.3
答案
B
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式，明确$(a+b)^2$与$(a-b)^2$之间的关系：二者相差$4ab$，因此不需要单独求解$a$、$b$的具体数值，只需将已知的$a-b$和$ab$的值代入变形后的公式即可算出结果，同时要注意平方数的非负性，可辅助排除错误选项。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将两个公式联立变形可得：
$(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$
已知$a-b=1$，$ab=2$，代入上式：
$(a+b)^2 = 1^2 + 4×2 = 1 + 8 = 9$
又因为任意数的平方为非负数，所以结果不可能为负，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.完全平方公式 2.代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式变形的典型基础题型，核心考查对完全平方公式不同形式间转换关系的掌握，利用整体代入的思想计算可大幅简化运算过程，是整式运算模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式，明确$(a+b)^2$与$(a-b)^2$之间的关系：二者相差$4ab$，因此不需要单独求解$a$、$b$的具体数值，只需将已知的$a-b$和$ab$的值代入变形后的公式即可算出结果，同时要注意平方数的非负性，可辅助排除错误选项。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
将两个公式联立变形可得：
$(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$
已知$a-b=1$，$ab=2$，代入上式：
$(a+b)^2 = 1^2 + 4×2 = 1 + 8 = 9$
又因为任意数的平方为非负数，所以结果不可能为负，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.完全平方公式 2.代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式变形的典型基础题型，核心考查对完全平方公式不同形式间转换关系的掌握，利用整体代入的思想计算可大幅简化运算过程，是整式运算模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
2.若$a+b=3$，$a^2+b^2=7$，则$ab$等于（）.
A.2
B.1
C.-2
D.-1
A.2
B.1
C.-2
D.-1
答案
B
解析
【分析】
本题已知a+b的和与a²+b²的值，要求ab的值，可利用完全平方和公式建立三个量之间的关系求解。首先回忆完全平方和的展开式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，公式中恰好包含题干给出的a+b、a²+b²以及所求的ab，因此只需将已知数值代入公式，整理即可求出ab的结果。
【解析】
根据完全平方和公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
将$a+b=3$，$a^2+b^2=7$代入上式：
左边：$(a+b)^2=3^2=9$
右边：$a^2+b^2+2ab=7+2ab$
因此可得等式：$9=7+2ab$
移项计算得：$2ab=9-7=2$，解得$ab=1$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，明确公式中各部分之间的转化关系，代入计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
本题已知a+b的和与a²+b²的值，要求ab的值，可利用完全平方和公式建立三个量之间的关系求解。首先回忆完全平方和的展开式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，公式中恰好包含题干给出的a+b、a²+b²以及所求的ab，因此只需将已知数值代入公式，整理即可求出ab的结果。
【解析】
根据完全平方和公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
将$a+b=3$，$a^2+b^2=7$代入上式：
左边：$(a+b)^2=3^2=9$
右边：$a^2+b^2+2ab=7+2ab$
因此可得等式：$9=7+2ab$
移项计算得：$2ab=9-7=2$，解得$ab=1$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式变形应用的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，明确公式中各部分之间的转化关系，代入计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
3. (1)已知$ab=4$，$a-b=3$，则$a+b=$；
(2)已知$a+\frac{1}{a}=6$，则$\frac{a^4+a^2+1}{a^2}=$；
(3)已知$(200+a)(198+a)=199$，则$(200+a)^2+(198+a)^2=$；
(4)已知$x$满足$(x-2025)^2+(2027-x)^2=12$，则$(x-2026)^2$的值为。
(2)已知$a+\frac{1}{a}=6$，则$\frac{a^4+a^2+1}{a^2}=$；
(3)已知$(200+a)(198+a)=199$，则$(200+a)^2+(198+a)^2=$；
(4)已知$x$满足$(x-2025)^2+(2027-x)^2=12$，则$(x-2026)^2$的值为。
答案
(1)$\boldsymbol{\pm5}$；(2)$\boldsymbol{35}$；(3)$\boldsymbol{402}$；(4)$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
这组题均考查完全平方公式的变形应用，解题核心是熟记完全平方公式的常见变形：①$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$；②$a^2+b^2=(a\pm b)^2\mp 2ab$，对于结构相似的代数式可通过换元法简化运算，降低计算难度。
(1) 已知$a-b$和$ab$的值，求$a+b$，直接用变形公式$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$计算后开平方即可，注意平方根有正负两个解；
(2) 先将所求分式拆分变形，转化为含$a+\frac{1}{a}$的代数式，再用完全平方公式变形$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$代入计算；
(3) 可设$m=200+a$，$n=198+a$，易得$m-n=2$，$mn=199$，求$m^2+n^2$用变形公式$m^2+n^2=(m-n)^2+2mn$代入即可；
(4) 设$y=x-2026$，将原式中两个平方项转化为含$y$的代数式，展开化简后直接求出$y^2$即为所求。
【解析】
(1) 根据完全平方公式变形可得：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，
将$ab=4$，$a-b=3$代入得：
$(a+b)^2=3^2+4×4=9+16=25$，
开平方得$a+b=\pm5$；
(2) 先化简所求代数式：
$\frac{a^4+a^2+1}{a^2}=a^2+1+\frac{1}{a^2}$，
根据完全平方公式变形：$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$，
将$a+\frac{1}{a}=6$代入得：
原式$=(6^2-2)+1=36-2+1=35$；
(3) 设$m=200+a$，$n=198+a$，则$m-n=2$，$mn=199$，
根据完全平方公式变形：$m^2+n^2=(m-n)^2+2mn$，
代入得：
$m^2+n^2=2^2+2×199=4+398=402$，
即$(200+a)^2+(198+a)^2=402$；
(4) 设$y=x-2026$，则$x-2025=y+1$，$2027-x=2027-(y+2026)=1-y$，
将其代入已知等式得：
$(y+1)^2+(1-y)^2=12$，
展开得：$y^2+2y+1 + y^2-2y+1=12$，
合并同类项得：$2y^2+2=12$，
化简得：$2y^2=10$，即$y^2=5$，
所以$(x-2026)^2=y^2=5$。
【答案】
(1)$\pm5$；(2)$35$；(3)$402$；(4)$5$
【知识点】
完全平方公式、完全平方公式变形、换元法求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，通过公式变形和换元法可以大幅简化计算过程，解题时要注意观察代数式的结构特征，选择合适的变形公式，避免直接展开计算带来的繁琐，同时要注意平方运算开方时正负号的取舍。
【难度系数】
0.65
这组题均考查完全平方公式的变形应用，解题核心是熟记完全平方公式的常见变形：①$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$；②$a^2+b^2=(a\pm b)^2\mp 2ab$，对于结构相似的代数式可通过换元法简化运算，降低计算难度。
(1) 已知$a-b$和$ab$的值，求$a+b$，直接用变形公式$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$计算后开平方即可，注意平方根有正负两个解；
(2) 先将所求分式拆分变形，转化为含$a+\frac{1}{a}$的代数式，再用完全平方公式变形$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$代入计算；
(3) 可设$m=200+a$，$n=198+a$，易得$m-n=2$，$mn=199$，求$m^2+n^2$用变形公式$m^2+n^2=(m-n)^2+2mn$代入即可；
(4) 设$y=x-2026$，将原式中两个平方项转化为含$y$的代数式，展开化简后直接求出$y^2$即为所求。
【解析】
(1) 根据完全平方公式变形可得：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，
将$ab=4$，$a-b=3$代入得：
$(a+b)^2=3^2+4×4=9+16=25$，
开平方得$a+b=\pm5$；
(2) 先化简所求代数式：
$\frac{a^4+a^2+1}{a^2}=a^2+1+\frac{1}{a^2}$，
根据完全平方公式变形：$a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2$，
将$a+\frac{1}{a}=6$代入得：
原式$=(6^2-2)+1=36-2+1=35$；
(3) 设$m=200+a$，$n=198+a$，则$m-n=2$，$mn=199$，
根据完全平方公式变形：$m^2+n^2=(m-n)^2+2mn$，
代入得：
$m^2+n^2=2^2+2×199=4+398=402$，
即$(200+a)^2+(198+a)^2=402$；
(4) 设$y=x-2026$，则$x-2025=y+1$，$2027-x=2027-(y+2026)=1-y$，
将其代入已知等式得：
$(y+1)^2+(1-y)^2=12$，
展开得：$y^2+2y+1 + y^2-2y+1=12$，
合并同类项得：$2y^2+2=12$，
化简得：$2y^2=10$，即$y^2=5$，
所以$(x-2026)^2=y^2=5$。
【答案】
(1)$\pm5$；(2)$35$；(3)$402$；(4)$5$
【知识点】
完全平方公式、完全平方公式变形、换元法求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用，通过公式变形和换元法可以大幅简化计算过程，解题时要注意观察代数式的结构特征，选择合适的变形公式，避免直接展开计算带来的繁琐，同时要注意平方运算开方时正负号的取舍。
【难度系数】
0.65
4. 已知$a+b=3$，$ab=-12$，求下列各式的值.
(1)$a^2+b^2$；
(2)$a^2-ab+b^2$；
(3)$(a-b)^2$；
(4)$a-b$.
(1)$a^2+b^2$；
(2)$a^2-ab+b^2$；
(3)$(a-b)^2$；
(4)$a-b$.
答案
解：
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=3$，$ab=-12$代入得：
原式$=3^2 - 2×(-12)=9+24=33$
(2) 对式子变形可得：
$a^2-ab+b^2=(a^2+b^2)-ab$
将$a^2+b^2=33$，$ab=-12$代入得：
原式$=33 - (-12)=45$
(3) 由完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=3$，$ab=-12$代入得：
原式$=3^2 - 4×(-12)=9+48=57$
(4) 由$(a-b)^2=57$，开平方得：
$a-b=\pm\sqrt{57}$
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=3$，$ab=-12$代入得：
原式$=3^2 - 2×(-12)=9+24=33$
(2) 对式子变形可得：
$a^2-ab+b^2=(a^2+b^2)-ab$
将$a^2+b^2=33$，$ab=-12$代入得：
原式$=33 - (-12)=45$
(3) 由完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=3$，$ab=-12$代入得：
原式$=3^2 - 4×(-12)=9+48=57$
(4) 由$(a-b)^2=57$，开平方得：
$a-b=\pm\sqrt{57}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题时无需直接求出a、b的具体值，利用整体代入思想即可简化计算。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，我们可以将要求的四个代数式分别变形为含有$a+b$和$ab$的形式，再代入已知数值计算即可：(1)将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$；(2)直接利用(1)的结果，将式子变形为$(a^2+b^2)-ab$；(3)将$(a-b)^2$变形为$(a+b)^2-4ab$；(4)利用(3)的结果开平方，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=3$，$ab=-12$代入得：
原式$=3^2 - 2×(-12)=9+24=33$
(2) 对式子变形可得：
$a^2-ab+b^2=(a^2+b^2)-ab$
将$a^2+b^2=33$，$ab=-12$代入得：
原式$=33 - (-12)=45$
(3) 由完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=3$，$ab=-12$代入得：
原式$=3^2 - 4×(-12)=9+48=57$
(4) 由$(a-b)^2=57$，开平方得：
$a-b=\pm\sqrt{57}$
【答案】
(1)$33$；(2)$45$；(3)$57$；(4)$\pm\sqrt{57}$
【知识点】
完全平方公式变形，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题是完全平方公式变形的典型习题，核心是掌握完全平方公式的常见变形技巧，运用整体代入的思路简化运算，求解$a-b$时要注意正数的平方根有两个，不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方公式的变形应用，解题时无需直接求出a、b的具体值，利用整体代入思想即可简化计算。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，我们可以将要求的四个代数式分别变形为含有$a+b$和$ab$的形式，再代入已知数值计算即可：(1)将$a^2+b^2$变形为$(a+b)^2-2ab$；(2)直接利用(1)的结果，将式子变形为$(a^2+b^2)-ab$；(3)将$(a-b)^2$变形为$(a+b)^2-4ab$；(4)利用(3)的结果开平方，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
(1) 由完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=3$，$ab=-12$代入得：
原式$=3^2 - 2×(-12)=9+24=33$
(2) 对式子变形可得：
$a^2-ab+b^2=(a^2+b^2)-ab$
将$a^2+b^2=33$，$ab=-12$代入得：
原式$=33 - (-12)=45$
(3) 由完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$a+b=3$，$ab=-12$代入得：
原式$=3^2 - 4×(-12)=9+48=57$
(4) 由$(a-b)^2=57$，开平方得：
$a-b=\pm\sqrt{57}$
【答案】
(1)$33$；(2)$45$；(3)$57$；(4)$\pm\sqrt{57}$
【知识点】
完全平方公式变形，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题是完全平方公式变形的典型习题，核心是掌握完全平方公式的常见变形技巧，运用整体代入的思路简化运算，求解$a-b$时要注意正数的平方根有两个，不要遗漏负根。
【难度系数】
0.7
5. 如图(1)是一个长为$2m$,宽为$2n$的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图(2)的形状拼成正方形$ABCD$.
(1)观察图(2),试猜想式子$(m+n)^2,(m-n)^2,mn$之间的数量关系,并证明你的结论.
(2)根据(1)中的数量关系,解答下列问题:
①已知$x-y=5,xy=-6$,求$x+y$的值;
②已知$a＞0,a-\frac{2}{a}=1$,求$a+\frac{2}{a}$的值.
(1)观察图(2),试猜想式子$(m+n)^2,(m-n)^2,mn$之间的数量关系,并证明你的结论.
(2)根据(1)中的数量关系,解答下列问题:
①已知$x-y=5,xy=-6$,求$x+y$的值;
②已知$a＞0,a-\frac{2}{a}=1$,求$a+\frac{2}{a}$的值.
答案
解：
(1) 猜想数量关系：$\boldsymbol{(m+n)^2=(m-n)^2+4mn}$
证明：
方法1（面积法）：图(2)中大正方形$ABCD$的边长为$m+n$，其面积为$(m+n)^2$。
同时大正方形的面积等于4个长为$m$、宽为$n$的小长方形面积与中间边长为$m-n$的小正方形面积之和，即总面积为$4mn+(m-n)^2$。
因此可得$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn$。
代数展开验证：
左边$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，
右边$(m-n)^2+4mn=m^2-2mn+n^2+4mn=m^2+2mn+n^2$，
左边=右边，等式成立。
(2) ① 由(1)的结论变形得：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$
将$x-y=5$，$xy=-6$代入：
$(x+y)^2=5^2 + 4×(-6)=25-24=1$
因此$x+y=\pm1$。
② 由(1)的结论变形得：$(a+\frac{2}{a})^2=(a-\frac{2}{a})^2 + 4· a· \frac{2}{a}$
将$a-\frac{2}{a}=1$代入：
$(a+\frac{2}{a})^2=1^2 + 8=9$
因为$a＞0$，所以$a+\frac{2}{a}＞0$，因此$a+\frac{2}{a}=3$。
(1) 猜想数量关系：$\boldsymbol{(m+n)^2=(m-n)^2+4mn}$
证明：
方法1（面积法）：图(2)中大正方形$ABCD$的边长为$m+n$，其面积为$(m+n)^2$。
同时大正方形的面积等于4个长为$m$、宽为$n$的小长方形面积与中间边长为$m-n$的小正方形面积之和，即总面积为$4mn+(m-n)^2$。
因此可得$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn$。
代数展开验证：
左边$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，
右边$(m-n)^2+4mn=m^2-2mn+n^2+4mn=m^2+2mn+n^2$，
左边=右边，等式成立。
(2) ① 由(1)的结论变形得：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$
将$x-y=5$，$xy=-6$代入：
$(x+y)^2=5^2 + 4×(-6)=25-24=1$
因此$x+y=\pm1$。
② 由(1)的结论变形得：$(a+\frac{2}{a})^2=(a-\frac{2}{a})^2 + 4· a· \frac{2}{a}$
将$a-\frac{2}{a}=1$代入：
$(a+\frac{2}{a})^2=1^2 + 8=9$
因为$a＞0$，所以$a+\frac{2}{a}＞0$，因此$a+\frac{2}{a}=3$。
解析
【分析】
(1) 要推导三个式子的数量关系，可从面积角度分析图(2)：大正方形ABCD的边长为$m+n$，面积可直接表示为$(m+n)^2$；同时大正方形由4个长为$m$、宽为$n$的小长方形和1个边长为$m-n$的中间小正方形组成，面积也可表示为$(m-n)^2+4mn$，两种方式表示的面积相等即可得到关系，也可通过代数展开左右两边验证等式成立。
(2) ① 直接套用(1)得到的变形公式：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，代入已知的$x-y$和$xy$的值，求出$(x+y)^2$后开平方即可得$x+y$的值；② 同样套用变形公式，把$a-\frac{2}{a}$看作公式中的差，代入求出$(a+\frac{2}{a})^2$，再根据$a＞0$的条件舍去负根得到结果。
【解析】
(1) 猜想数量关系：$\boldsymbol{(m+n)^2=(m-n)^2+4mn}$
证明：
方法1（面积法）：图(2)中大正方形ABCD的边长为$m+n$，其面积为$(m+n)^2$。
同时大正方形的面积等于4个长为$m$、宽为$n$的小长方形面积与中间边长为$m-n$的小正方形面积之和，即总面积为$4mn+(m-n)^2$。
因此可得$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn$。
代数展开验证：
左边$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，
右边$(m-n)^2+4mn=m^2-2mn+n^2+4mn=m^2+2mn+n^2$，
左边=右边，等式成立。
(2) ① 由(1)的结论变形得：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$
将$x-y=5$，$xy=-6$代入：
$(x+y)^2=5^2 + 4×(-6)=25-24=1$
因此$x+y=\pm1$。
② 由(1)的结论变形得：$(a+\frac{2}{a})^2=(a-\frac{2}{a})^2 + 4· a· \frac{2}{a}$
将$a-\frac{2}{a}=1$代入：
$(a+\frac{2}{a})^2=1^2 + 8=9$
因为$a＞0$，所以$a+\frac{2}{a}＞0$，因此$a+\frac{2}{a}=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(m+n)^2=(m-n)^2+4mn}$，证明见解析；
(2) ① $\boldsymbol{x+y=\pm1}$；② $\boldsymbol{a+\frac{2}{a}=3}$
【知识点】
完全平方公式变形，代数式求值，平方根运算
【点评】
本题结合几何图形拼接推导完全平方公式的变形，再利用变形公式求解代数式的值，考查了数形结合思想，以及对完全平方公式变形的灵活运用能力，解题时注意开平方后要根据给定条件判断结果的符号。
【难度系数】
0.7
(1) 要推导三个式子的数量关系，可从面积角度分析图(2)：大正方形ABCD的边长为$m+n$，面积可直接表示为$(m+n)^2$；同时大正方形由4个长为$m$、宽为$n$的小长方形和1个边长为$m-n$的中间小正方形组成，面积也可表示为$(m-n)^2+4mn$，两种方式表示的面积相等即可得到关系，也可通过代数展开左右两边验证等式成立。
(2) ① 直接套用(1)得到的变形公式：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，代入已知的$x-y$和$xy$的值，求出$(x+y)^2$后开平方即可得$x+y$的值；② 同样套用变形公式，把$a-\frac{2}{a}$看作公式中的差，代入求出$(a+\frac{2}{a})^2$，再根据$a＞0$的条件舍去负根得到结果。
【解析】
(1) 猜想数量关系：$\boldsymbol{(m+n)^2=(m-n)^2+4mn}$
证明：
方法1（面积法）：图(2)中大正方形ABCD的边长为$m+n$，其面积为$(m+n)^2$。
同时大正方形的面积等于4个长为$m$、宽为$n$的小长方形面积与中间边长为$m-n$的小正方形面积之和，即总面积为$4mn+(m-n)^2$。
因此可得$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn$。
代数展开验证：
左边$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，
右边$(m-n)^2+4mn=m^2-2mn+n^2+4mn=m^2+2mn+n^2$，
左边=右边，等式成立。
(2) ① 由(1)的结论变形得：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$
将$x-y=5$，$xy=-6$代入：
$(x+y)^2=5^2 + 4×(-6)=25-24=1$
因此$x+y=\pm1$。
② 由(1)的结论变形得：$(a+\frac{2}{a})^2=(a-\frac{2}{a})^2 + 4· a· \frac{2}{a}$
将$a-\frac{2}{a}=1$代入：
$(a+\frac{2}{a})^2=1^2 + 8=9$
因为$a＞0$，所以$a+\frac{2}{a}＞0$，因此$a+\frac{2}{a}=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(m+n)^2=(m-n)^2+4mn}$，证明见解析；
(2) ① $\boldsymbol{x+y=\pm1}$；② $\boldsymbol{a+\frac{2}{a}=3}$
【知识点】
完全平方公式变形，代数式求值，平方根运算
【点评】
本题结合几何图形拼接推导完全平方公式的变形，再利用变形公式求解代数式的值，考查了数形结合思想，以及对完全平方公式变形的灵活运用能力，解题时注意开平方后要根据给定条件判断结果的符号。
【难度系数】
0.7
