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1. 下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（
A.$y^2 - 49x^2$
B.$-\dfrac{1}{49} - x^4$
C.$\dfrac{1}{4}(p+q)^2 - 9$
D.$-m^4 + n^2$
B
）A.$y^2 - 49x^2$
B.$-\dfrac{1}{49} - x^4$
C.$\dfrac{1}{4}(p+q)^2 - 9$
D.$-m^4 + n^2$
答案
1.B
解析
【分析】
首先明确平方差公式分解因式的两个必要条件：①多项式为二项式，且两项符号相反；②两项都可以分别写成某个整式的平方的形式，即满足$A^2-B^2$的结构。接下来我们只需逐一验证每个选项是否符合这两个条件，不符合的即为本题答案。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}$，即待分解的式子需是两个平方项的差，我们逐一分析选项：
A. $y^2 - 49x^2 = y^2 - (7x)^2$，符合$a^2-b^2$的结构，可用平方差公式分解，不符合题意；
B. $-\dfrac{1}{49} - x^4 = -(\dfrac{1}{49} + x^4)$，变形后为两个平方项的和，不存在差的结构，不能用平方差公式分解，符合题意；
C. $\dfrac{1}{4}(p+q)^2 -9 = [\dfrac{1}{2}(p+q)]^2 - 3^2$，符合$a^2-b^2$的结构，可用平方差公式分解，不符合题意；
D. $-m^4 + n^2 = n^2 - (m^2)^2$，符合$a^2-b^2$的结构，可用平方差公式分解，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 整式的乘方运算
【点评】
本题核心考查对平方差公式分解因式适用条件的掌握，解题关键是牢记平方差公式的结构特征，逐项排查即可快速得到答案，属于基础题型，熟练掌握公式结构是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
首先明确平方差公式分解因式的两个必要条件：①多项式为二项式，且两项符号相反；②两项都可以分别写成某个整式的平方的形式，即满足$A^2-B^2$的结构。接下来我们只需逐一验证每个选项是否符合这两个条件，不符合的即为本题答案。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}$，即待分解的式子需是两个平方项的差，我们逐一分析选项：
A. $y^2 - 49x^2 = y^2 - (7x)^2$，符合$a^2-b^2$的结构，可用平方差公式分解，不符合题意；
B. $-\dfrac{1}{49} - x^4 = -(\dfrac{1}{49} + x^4)$，变形后为两个平方项的和，不存在差的结构，不能用平方差公式分解，符合题意；
C. $\dfrac{1}{4}(p+q)^2 -9 = [\dfrac{1}{2}(p+q)]^2 - 3^2$，符合$a^2-b^2$的结构，可用平方差公式分解，不符合题意；
D. $-m^4 + n^2 = n^2 - (m^2)^2$，符合$a^2-b^2$的结构，可用平方差公式分解，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式分解因式 2. 整式的乘方运算
【点评】
本题核心考查对平方差公式分解因式适用条件的掌握，解题关键是牢记平方差公式的结构特征，逐项排查即可快速得到答案，属于基础题型，熟练掌握公式结构是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8
2. 将多项式$1-4x^2$分解因式，正确的是（
A.$(2x+1)(2x-1)$
B.$(1-2x)(1+2x)$
C.$(1+2x)(2x-1)$
D.$(1+4x)(1-4x)$
B
）A.$(2x+1)(2x-1)$
B.$(1-2x)(1+2x)$
C.$(1+2x)(2x-1)$
D.$(1+4x)(1-4x)$
答案
2.B
解析
【分析】
拿到题目首先明确任务是对多项式$1-4x^2$分解因式，首先回忆因式分解的常用方法，观察多项式结构：式子是两个平方项的差，符合平方差公式的特征。平方差公式分解因式的形式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，接下来我们先把原式转化为平方差的标准形式，确定公式里的$a$和$b$，代入公式得到结果后再和选项比对即可，也可以通过展开选项反向验证排除错误答案。
【解析】
解：平方差公式分解因式的形式为：$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}$
将原式变形为平方差形式：$1-4x^2=1^2-(2x)^2$，其中$a=1$，$b=2x$
代入公式可得：$1^2-(2x)^2=(1-2x)(1+2x)$
也可通过展开选项验证：
A选项：$(2x+1)(2x-1)=4x^2-1$，与原式不符，错误；
B选项：$(1-2x)(1+2x)=1-4x^2$，与原式一致，正确；
C选项：$(1+2x)(2x-1)=4x^2-1$，与原式不符，错误；
D选项：$(1+4x)(1-4x)=1-16x^2$，与原式不符，错误。
综上本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题时要准确对应公式中的两项，注意符号问题，也可以通过整式乘法反向验证分解结果，避免出错。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先明确任务是对多项式$1-4x^2$分解因式，首先回忆因式分解的常用方法，观察多项式结构：式子是两个平方项的差，符合平方差公式的特征。平方差公式分解因式的形式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，接下来我们先把原式转化为平方差的标准形式，确定公式里的$a$和$b$，代入公式得到结果后再和选项比对即可，也可以通过展开选项反向验证排除错误答案。
【解析】
解：平方差公式分解因式的形式为：$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)}$
将原式变形为平方差形式：$1-4x^2=1^2-(2x)^2$，其中$a=1$，$b=2x$
代入公式可得：$1^2-(2x)^2=(1-2x)(1+2x)$
也可通过展开选项验证：
A选项：$(2x+1)(2x-1)=4x^2-1$，与原式不符，错误；
B选项：$(1-2x)(1+2x)=1-4x^2$，与原式一致，正确；
C选项：$(1+2x)(2x-1)=4x^2-1$，与原式不符，错误；
D选项：$(1+4x)(1-4x)=1-16x^2$，与原式不符，错误。
综上本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别能力，解题时要准确对应公式中的两项，注意符号问题，也可以通过整式乘法反向验证分解结果，避免出错。
【难度系数】
0.9
3.若$k$为任意整数，则$(2k+3)^2 -4k^2$的值总能（
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
B
）A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除
答案
3.B 【解析】$(2k+3)^2 -4k^2=(2k+3+2k)(2k+3-2k)=3(4k+3)$. 因为 $k$ 为任意整数,所以$(2k+3)^2 -4k^2$的值总能被3整除,故选B.
解析
【分析】
观察待求式子的结构，可知$(2k+3)^2 -4k^2$是两个整式的平方作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此可以先利用平方差公式对式子进行因式分解，再对分解后的结果化简，根据化简后式子中含有的固定整数因数，即可判断原式总能被哪个整数整除。
【解析】
利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(2k+3)^2 -4k^2&=(2k+3)^2-(2k)^2\\&=(2k+3+2k)(2k+3-2k)\\&=3(4k+3)\end{aligned}$
因为$k$是任意整数，所以$4k+3$也为整数，因此$3(4k+3)$是3的整数倍，即原式的值总能被3整除，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式化简，整除判断
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确识别式子的平方差结构，通过因式分解化简后即可快速判断整除性，属于因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
观察待求式子的结构，可知$(2k+3)^2 -4k^2$是两个整式的平方作差的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此可以先利用平方差公式对式子进行因式分解，再对分解后的结果化简，根据化简后式子中含有的固定整数因数，即可判断原式总能被哪个整数整除。
【解析】
利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(2k+3)^2 -4k^2&=(2k+3)^2-(2k)^2\\&=(2k+3+2k)(2k+3-2k)\\&=3(4k+3)\end{aligned}$
因为$k$是任意整数，所以$4k+3$也为整数，因此$3(4k+3)$是3的整数倍，即原式的值总能被3整除，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式化简，整除判断
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确识别式子的平方差结构，通过因式分解化简后即可快速判断整除性，属于因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
4.若多项式$4a^2 + M$能用平方差公式分解因式，则单项式$M=$
-4(答案不唯一)
（写一个即可）。答案
4.-4(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先回忆平方差公式分解因式的结构特征：能用平方差公式分解的多项式是两项的平方差，即形如$□^2 - △^2$，两项都可写成整式平方的形式，且符号相反。已知多项式中$4a^2=(2a)^2$是正的平方项，因此M需要是带负号的平方项，即可让整个多项式符合平方差的结构，任选一个符合要求的负平方项即可。
【解析】
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，能使用平方差公式分解的多项式需满足两项为异号的平方项。
已知多项式$4a^2+M$中，$4a^2=(2a)^2$为正的平方项，因此M为负的平方项即可。
例如取$M=-4$，此时多项式为$4a^2-4=(2a)^2-2^2$，可分解为$(2a+2)(2a-2)$，符合要求。
（注：$-b^2$、$-9$等均为正确答案，写出一个即可）
【答案】
$-4$（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式因式分解、整式的乘方
【点评】
本题是对平方差公式分解因式适用条件的基础考查，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，答案具有开放性，只要符合负平方项的要求均正确。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方差公式分解因式的结构特征：能用平方差公式分解的多项式是两项的平方差，即形如$□^2 - △^2$，两项都可写成整式平方的形式，且符号相反。已知多项式中$4a^2=(2a)^2$是正的平方项，因此M需要是带负号的平方项，即可让整个多项式符合平方差的结构，任选一个符合要求的负平方项即可。
【解析】
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，能使用平方差公式分解的多项式需满足两项为异号的平方项。
已知多项式$4a^2+M$中，$4a^2=(2a)^2$为正的平方项，因此M为负的平方项即可。
例如取$M=-4$，此时多项式为$4a^2-4=(2a)^2-2^2$，可分解为$(2a+2)(2a-2)$，符合要求。
（注：$-b^2$、$-9$等均为正确答案，写出一个即可）
【答案】
$-4$（答案不唯一）
【知识点】
平方差公式因式分解、整式的乘方
【点评】
本题是对平方差公式分解因式适用条件的基础考查，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，答案具有开放性，只要符合负平方项的要求均正确。
【难度系数】
0.8
5.(2024·甘肃临夏州中考)分解因式：$x^2 - \frac{1}{4} = \_\_\_\_\_\_$
答案
5.$(x+\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2})$
解析
【分析】
分解因式时首先观察式子结构，本题原式共两项，两项符号相反，且均可写成平方形式：$x^2$是$x$的平方，$\frac{1}{4}$是$\frac{1}{2}$的平方，完全符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，只需确定公式中对应的$a=x$、$b=\frac{1}{2}$，直接套用公式分解即可。
【解析】
解：原式可变形为$x^2 - (\frac{1}{2})^2$，
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，将$a=x$，$b=\frac{1}{2}$代入公式，
得$x^2 - \frac{1}{4} = (x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})$。
【答案】
$(x+\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2})$
【知识点】
平方差公式分解因式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别能力，解题核心是准确判断式子是否符合平方差形式、找准公式对应的$a$和$b$，熟练掌握公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
分解因式时首先观察式子结构，本题原式共两项，两项符号相反，且均可写成平方形式：$x^2$是$x$的平方，$\frac{1}{4}$是$\frac{1}{2}$的平方，完全符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，只需确定公式中对应的$a=x$、$b=\frac{1}{2}$，直接套用公式分解即可。
【解析】
解：原式可变形为$x^2 - (\frac{1}{2})^2$，
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，将$a=x$，$b=\frac{1}{2}$代入公式，
得$x^2 - \frac{1}{4} = (x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})$。
【答案】
$(x+\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2})$
【知识点】
平方差公式分解因式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别能力，解题核心是准确判断式子是否符合平方差形式、找准公式对应的$a$和$b$，熟练掌握公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
6.若$a+b=2$，则$a^2 - b^2 + 4b$的值是
4
.答案
6.4 【解析】因为 $a+b=2$,
所以 $a^2 - b^2 +4b=(a+b)(a-b)+4b=2(a-b)+4b=2a-2b+4b=2a+2b=2(a+b)=4$.
所以 $a^2 - b^2 +4b=(a+b)(a-b)+4b=2(a-b)+4b=2a-2b+4b=2a+2b=2(a+b)=4$.
解析
【分析】
首先观察所求代数式中含有$a^2 - b^2$，符合平方差公式的结构特征，因此优先考虑用平方差公式对其因式分解；已知条件给出了$a+b$的值，分解后可以直接将$a+b=2$整体代入，再对后续的式子进行化简，化简后可再次凑出$a+b$的整体形式，再次代入即可求出结果，无需单独计算$a$、$b$的具体数值。
【解析】
解：已知$a + b = 2$，
对待求式变形可得：
$a^2 - b^2 + 4b$
$=(a + b)(a - b) + 4b$（平方差公式分解因式）
将$a + b = 2$代入上式：
$=2(a - b) + 4b$
去括号得：
$=2a - 2b + 4b$
合并同类项得：
$=2a + 2b$
提取公因式得：
$=2(a + b)$
再次将$a + b = 2$代入计算：
$=2×2 = 4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式分解因式；代数式化简；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查因式分解的应用和整体代入的数学思想，解题时不需要求解单个未知数的值，通过因式分解将待求式变形为含有已知条件的结构，代入计算即可，能有效简化运算过程。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式中含有$a^2 - b^2$，符合平方差公式的结构特征，因此优先考虑用平方差公式对其因式分解；已知条件给出了$a+b$的值，分解后可以直接将$a+b=2$整体代入，再对后续的式子进行化简，化简后可再次凑出$a+b$的整体形式，再次代入即可求出结果，无需单独计算$a$、$b$的具体数值。
【解析】
解：已知$a + b = 2$，
对待求式变形可得：
$a^2 - b^2 + 4b$
$=(a + b)(a - b) + 4b$（平方差公式分解因式）
将$a + b = 2$代入上式：
$=2(a - b) + 4b$
去括号得：
$=2a - 2b + 4b$
合并同类项得：
$=2a + 2b$
提取公因式得：
$=2(a + b)$
再次将$a + b = 2$代入计算：
$=2×2 = 4$
【答案】
4
【知识点】
平方差公式分解因式；代数式化简；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查因式分解的应用和整体代入的数学思想，解题时不需要求解单个未知数的值，通过因式分解将待求式变形为含有已知条件的结构，代入计算即可，能有效简化运算过程。
【难度系数】
0.8
7. 利用因式分解简便运算：
(1)$1001^2 - 999^2$；(2)$999^2 - 1$.
(1)$1001^2 - 999^2$；(2)$999^2 - 1$.
答案
7.【解】(1)原式$=(1\ 001-999)×(1\ 001+999)=2×2\ 000=4\ 000$.
(2)原式$=(999+1)×(999-1)=1\ 000×998=998\ 000$.
(2)原式$=(999+1)×(999-1)=1\ 000×998=998\ 000$.
解析
【分析】
这两道题均符合平方差的结构形式，可借助平方差公式因式分解简化计算。解题思路为：首先识别算式是否满足$a^2-b^2$的平方差结构，再套用平方差因式分解公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将高次的平方运算转化为低次的加减、乘法运算，避免直接计算大数平方，大幅简化计算过程。
(1)中$1001^2-999^2$直接符合平方差形式，对应$a=1001$，$b=999$；(2)中$999^2-1$可变形为$999^2-1^2$，对应$a=999$，$b=1$，分别代入公式计算即可。
【解析】
(1) 原式为平方差结构，套用平方差因式分解公式：
$\begin{aligned}1001^2 - 999^2&=(1001 - 999)×(1001 + 999)\\&=2×2000\\&=4000\end{aligned}$
(2) 先将$1$改写为$1^2$，得到平方差结构，再套用公式计算：
$\begin{aligned}999^2 - 1&=999^2 - 1^2\\&=(999 + 1)×(999 - 1)\\&=1000×998\\&=998000\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4000}$；(2) $\boxed{998000}$
【知识点】
平方差公式分解因式；因式分解简便运算
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的实际应用，解题核心是快速识别算式的平方差结构特征，通过因式分解将复杂的大数平方运算转化为简单的整数乘法，有效降低计算量，减少运算失误。
【难度系数】
0.85
这两道题均符合平方差的结构形式，可借助平方差公式因式分解简化计算。解题思路为：首先识别算式是否满足$a^2-b^2$的平方差结构，再套用平方差因式分解公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将高次的平方运算转化为低次的加减、乘法运算，避免直接计算大数平方，大幅简化计算过程。
(1)中$1001^2-999^2$直接符合平方差形式，对应$a=1001$，$b=999$；(2)中$999^2-1$可变形为$999^2-1^2$，对应$a=999$，$b=1$，分别代入公式计算即可。
【解析】
(1) 原式为平方差结构，套用平方差因式分解公式：
$\begin{aligned}1001^2 - 999^2&=(1001 - 999)×(1001 + 999)\\&=2×2000\\&=4000\end{aligned}$
(2) 先将$1$改写为$1^2$，得到平方差结构，再套用公式计算：
$\begin{aligned}999^2 - 1&=999^2 - 1^2\\&=(999 + 1)×(999 - 1)\\&=1000×998\\&=998000\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4000}$；(2) $\boxed{998000}$
【知识点】
平方差公式分解因式；因式分解简便运算
【点评】
本题考查平方差公式因式分解的实际应用，解题核心是快速识别算式的平方差结构特征，通过因式分解将复杂的大数平方运算转化为简单的整数乘法，有效降低计算量，减少运算失误。
【难度系数】
0.85
8.若$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，则$a^2 - (b - c)^2$的结果 （
A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不确定
A
）A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不确定
答案
8.A 【解析】由三角形三边的关系,得 $a+b-c＞0$,$a+c-b＞0$,所以 $a^2-(b-c)^2=(a+b-c)[a-(b-c)]=(a+b-c)(a-b+c)＞0$.
解析
【分析】
首先观察待判断的式子$a^2 - (b - c)^2$，其结构符合平方差公式的形式，因此第一步优先考虑用平方差公式对原式进行因式分解；其次结合$a,b,c$是三角形三边长的条件，联想三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，用该性质判断分解后两个因式的正负性；最后根据乘法符号规则，即可判断原式结果的正负。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式：
$a^2 - (b - c)^2 = [a + (b - c)][a - (b - c)] = (a + b - c)(a + c - b)$
因为$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得$a + b ＞ c$，$a + c ＞ b$，
所以$a + b - c ＞ 0$，$a + c - b ＞ 0$，
两个正数相乘结果为正，因此$(a + b - c)(a + c - b) ＞ 0$，即原式结果大于零。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式；三角形三边关系
【点评】
本题属于因式分解与三角形性质结合的基础常考题，解题关键是先对原式正确因式分解，再结合三边关系判断因式的符号，进而得到原式的正负。
【难度系数】
0.8
首先观察待判断的式子$a^2 - (b - c)^2$，其结构符合平方差公式的形式，因此第一步优先考虑用平方差公式对原式进行因式分解；其次结合$a,b,c$是三角形三边长的条件，联想三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，用该性质判断分解后两个因式的正负性；最后根据乘法符号规则，即可判断原式结果的正负。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式：
$a^2 - (b - c)^2 = [a + (b - c)][a - (b - c)] = (a + b - c)(a + c - b)$
因为$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得$a + b ＞ c$，$a + c ＞ b$，
所以$a + b - c ＞ 0$，$a + c - b ＞ 0$，
两个正数相乘结果为正，因此$(a + b - c)(a + c - b) ＞ 0$，即原式结果大于零。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式；三角形三边关系
【点评】
本题属于因式分解与三角形性质结合的基础常考题，解题关键是先对原式正确因式分解，再结合三边关系判断因式的符号，进而得到原式的正负。
【难度系数】
0.8
9. 利用平方差公式分解因式：
(1)$-\dfrac{25}{9}x^2 + \dfrac{81}{4}y^2$；
(2)$(a+b)^2 - (a-4b)^2$。
(1)$-\dfrac{25}{9}x^2 + \dfrac{81}{4}y^2$；
(2)$(a+b)^2 - (a-4b)^2$。
答案
9.【解】(1)原式$=-(\dfrac{25}{9}x^2-\dfrac{81}{4}y^2)=-(\dfrac{5}{3}x+\dfrac{9}{2}y)(\dfrac{5}{3}x-\dfrac{9}{2}y)$.
(2)原式$=(a+b+a-4b)(a+b-a+4b)=5b(2a-3b)$.
(2)原式$=(a+b+a-4b)(a+b-a+4b)=5b(2a-3b)$.
解析
【分析】
要运用平方差公式分解因式，首先牢记平方差公式形式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，解题时先将原式转化为两个数（或式子）的平方差结构，找准对应的$a$和$b$后代入公式，最后化简结果即可。
(1) 第一题可先提取负号，将原式变形为$-(\frac{25}{9}x^2 - \frac{81}{4}y^2)$，其中$\frac{25}{9}x^2=(\frac{5}{3}x)^2$、$\frac{81}{4}y^2=(\frac{9}{2}y)^2$，对应公式的$a=\frac{5}{3}x$、$b=\frac{9}{2}y$，代入公式即可分解。
(2) 第二题将$(a+b)$和$(a-4b)$分别看作整体，对应平方差公式的$a$和$b$，代入公式后再去括号、合并同类项得到最简结果。
【解析】
(1) 先调整式子为平方差形式：
原式$=-(\dfrac{25}{9}x^2 - \dfrac{81}{4}y^2)$
识别平方项后代入平方差公式：
$=-(\dfrac{5}{3}x+\dfrac{9}{2}y)(\dfrac{5}{3}x-\dfrac{9}{2}y)$
(2) 把$(a+b)$和$(a-4b)$看作整体代入平方差公式：
原式$=[(a+b)+(a-4b)][(a+b)-(a-4b)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$a+b+a-4b=2a-3b$
第二个括号：$a+b-a+4b=5b$
整理得：$=5b(2a-3b)$
【答案】
(1) $-(\dfrac{5}{3}x+\dfrac{9}{2}y)(\dfrac{5}{3}x-\dfrac{9}{2}y)$
(2) $5b(2a-3b)$
【知识点】
平方差公式分解因式，整体代换，合并同类项
【点评】
本题是平方差公式分解因式的基础题型，解题核心是准确识别平方差的结构特征，注意公式中的$a$、$b$既可以是单项式也可以是多项式，分解后要化简到没有同类项可合并的最简形式。
【难度系数】
0.8
要运用平方差公式分解因式，首先牢记平方差公式形式：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，解题时先将原式转化为两个数（或式子）的平方差结构，找准对应的$a$和$b$后代入公式，最后化简结果即可。
(1) 第一题可先提取负号，将原式变形为$-(\frac{25}{9}x^2 - \frac{81}{4}y^2)$，其中$\frac{25}{9}x^2=(\frac{5}{3}x)^2$、$\frac{81}{4}y^2=(\frac{9}{2}y)^2$，对应公式的$a=\frac{5}{3}x$、$b=\frac{9}{2}y$，代入公式即可分解。
(2) 第二题将$(a+b)$和$(a-4b)$分别看作整体，对应平方差公式的$a$和$b$，代入公式后再去括号、合并同类项得到最简结果。
【解析】
(1) 先调整式子为平方差形式：
原式$=-(\dfrac{25}{9}x^2 - \dfrac{81}{4}y^2)$
识别平方项后代入平方差公式：
$=-(\dfrac{5}{3}x+\dfrac{9}{2}y)(\dfrac{5}{3}x-\dfrac{9}{2}y)$
(2) 把$(a+b)$和$(a-4b)$看作整体代入平方差公式：
原式$=[(a+b)+(a-4b)][(a+b)-(a-4b)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$a+b+a-4b=2a-3b$
第二个括号：$a+b-a+4b=5b$
整理得：$=5b(2a-3b)$
【答案】
(1) $-(\dfrac{5}{3}x+\dfrac{9}{2}y)(\dfrac{5}{3}x-\dfrac{9}{2}y)$
(2) $5b(2a-3b)$
【知识点】
平方差公式分解因式，整体代换，合并同类项
【点评】
本题是平方差公式分解因式的基础题型，解题核心是准确识别平方差的结构特征，注意公式中的$a$、$b$既可以是单项式也可以是多项式，分解后要化简到没有同类项可合并的最简形式。
【难度系数】
0.8
10. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆. 原理:如对于多项式$x^4 - y^4$，因式分解的结果是$(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$，若取$x=9,y=9$，则各个因式的值是$x - y=0$，$x + y=18$，$x^2 + y^2=162$，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 对于多项式$4x^3 - xy^2$，取$x=10,y=10$时，用上述方法产生的密码可以是
103010(答案不唯一)
.（填一个即可）答案
10.答案不唯一,例如:103010 【解析】$4x^3-xy^2=x(2x+y)(2x-y)$[或 $x(2x-y)(2x+y)$,或$(2x+y)(2x-y)x$ 等],把 $x=10,y=10$ 代入,可得密码103010(或 101030,或 301010).
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确“因式分解法产生密码”的规则：先将多项式因式分解为若干个因式的乘积，再代入给定的x、y值计算每个因式的结果，最后将各因式的结果按任意顺序拼接，即可得到密码。解题时先对多项式$4x^3 - xy^2$因式分解，先提取公因式，再用平方差公式分解彻底，随后代入数值计算各因式的值，任意拼接即可得到答案。
【解析】
1. 对多项式$4x^3 - xy^2$进行因式分解：
先提取公因式$x$，可得：
$4x^3 - xy^2 = x(4x^2 - y^2)$
再根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，对$4x^2 - y^2$分解，其中$a=2x$，$b=y$，可得：
$4x^2 - y^2=(2x-y)(2x+y)$
因此$4x^3 - xy^2 = x(2x-y)(2x+y)$
2. 代入$x=10,y=10$，计算各因式的值：
$x=10$，
$2x-y=2×10-10=10$，
$2x+y=2×10+10=30$
3. 拼接密码：将三个因式的结果按任意顺序拼接，比如按$x、2x+y、2x-y$的顺序拼接，即可得到密码103010（换其他顺序拼接的结果也正确）。
【答案】
103010（答案不唯一）
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；代数式求值
【点评】
本题以生活中的密码设置为背景，考查因式分解的实际应用，题型新颖灵活，解题的关键是掌握因式分解的基本方法，准确计算各因式的值，因式排列顺序不同可得到不同的密码，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先要明确“因式分解法产生密码”的规则：先将多项式因式分解为若干个因式的乘积，再代入给定的x、y值计算每个因式的结果，最后将各因式的结果按任意顺序拼接，即可得到密码。解题时先对多项式$4x^3 - xy^2$因式分解，先提取公因式，再用平方差公式分解彻底，随后代入数值计算各因式的值，任意拼接即可得到答案。
【解析】
1. 对多项式$4x^3 - xy^2$进行因式分解：
先提取公因式$x$，可得：
$4x^3 - xy^2 = x(4x^2 - y^2)$
再根据平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，对$4x^2 - y^2$分解，其中$a=2x$，$b=y$，可得：
$4x^2 - y^2=(2x-y)(2x+y)$
因此$4x^3 - xy^2 = x(2x-y)(2x+y)$
2. 代入$x=10,y=10$，计算各因式的值：
$x=10$，
$2x-y=2×10-10=10$，
$2x+y=2×10+10=30$
3. 拼接密码：将三个因式的结果按任意顺序拼接，比如按$x、2x+y、2x-y$的顺序拼接，即可得到密码103010（换其他顺序拼接的结果也正确）。
【答案】
103010（答案不唯一）
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；代数式求值
【点评】
本题以生活中的密码设置为背景，考查因式分解的实际应用，题型新颖灵活，解题的关键是掌握因式分解的基本方法，准确计算各因式的值，因式排列顺序不同可得到不同的密码，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
