13. 如图,用一个平面去截一个正方体,如果截去的几何体是一个三棱锥,请回答下列问题:
(1)截面一定是什么图形?
(2)剩下的几何体可能有几个顶点?

解：
(1) 由于截去的几何体是三棱锥，三棱锥有4个面，其中3个面是原正方体的局部表面，剩余的1个面就是截面，因此截面一定是三角形。
(2) 按截去的三棱锥的顶点与原正方体顶点的重合情况分类：
- 当截去的三棱锥的4个顶点中，有3个是原正方体的顶点时，剩下的几何体有$8-1=7$个顶点；
- 当截去的三棱锥的4个顶点中，有2个是原正方体的顶点时，剩下的几何体有$8-2+1=8$个顶点；
- 当截去的三棱锥的4个顶点中，有1个是原正方体的顶点时，剩下的几何体有$8-3+2=9$个顶点；
因此剩下的几何体可能有7个、8个或9个顶点。

 

14. 用相同的小立方体搭一个几何体,从正面、上面看到的形状图如图所示,从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方体的个数。请回答下列问题：
(1)填空:$a=$,$b=$;
(2)这个几何体最多由个小立方体搭成；
(3)当$d=f=1,e=2$时,画出这个几何体从左面看得到的形状图。

解：
(1) 由从正面看到的形状图可知，几何体最右侧列的最大层数为3，因此$a=3$；几何体中间列的最大层数为1，因此$b=1$。
$a=\boldsymbol{3}$，$b=\boldsymbol{1}$；
(2) 要使小立方体总数最多，$d、e、f$的最大取值为2，$c$的最大取值为1，总个数为$3+1+1+2+2+2=11$，即这个几何体最多由$\boldsymbol{11}$个小立方体搭成；
(3) 从左面看到的形状图共3列，从左到右小正方形的个数依次为3、2、1，所有正方形底部对齐，图形如下：
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【分析】
解题时先明确三视图的对应规则：主视图（正面看）的列数和俯视图（上面看）的列数一致，主视图每列的最大层数对应俯视图同列各位置小立方体个数的最大值。
(1) 先看主视图最右侧列最高有3层，对应俯视图最右侧只有位置a，因此a就是该列的最大层数3；主视图中间列最高只有1层，对应俯视图中间列的位置b和c，因此这两个位置的小立方体个数最多为1，即b=1。
(2) 要使小立方体总数最多，需让每个位置的小立方体个数取允许的最大值：主视图左列最高为2层，因此俯视图左列的d、e、f最大都可取2；中间列b、c最大都可取1；最右列a固定为3，相加即可得到最多的总个数。
(3) 画左视图时，左视图的列数等于俯视图的行数，左视图每列的层数等于俯视图对应行各位置小立方体个数的最大值，据此确定各列层数即可画出图形。
【解析】
(1) 由主视图可知，几何体最右侧列的最大层数为3，俯视图最右侧仅位置a，因此$a=3$；主视图中间列的最大层数为1，俯视图中间列的位置b层数不超过1，因此$b=1$。
(2) 要使小立方体总数最多，各位置取最大允许值：a=3，b=1，c最大为1，d、e、f最大均为2（主视图左列最大层数为2），总个数为$3+1+1+2+2+2=11$。
(3) 当$d=f=1,e=2$时，俯视图共3行：第一行（d、b、a）的最大层数为3，第二行（e、c）的最大层数为2，第三行（f）的最大层数为1，因此左视图共3列，从左到右小正方形的个数依次为3、2、1，所有正方形底部对齐。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{1}$；
(2) $\boldsymbol{11}$；
(3) 左视图有3列，从左到右小正方形个数依次为3、2、1，底部对齐，图形如下：
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【知识点】
三视图的对应关系，由三视图确定小立方体个数，画三视图
【点评】
本题考查三视图的综合应用，核心是理解主视图、俯视图之间的层数对应关系，以及左视图和俯视图的行列对应关系，能够锻炼学生的空间想象能力，是三视图部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7