15. 探究:有一长9 cm,宽6 cm的长方形纸板,现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转180°,得到一个圆柱。现可按照两种方案进行操作,方案一:以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转,如图①;方案二:以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转,如图②。

(1)请通过计算说明哪种方案构造的圆柱的体积大。
(2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°,则得到的圆柱的体积为多少？

解：
(1) 圆柱体积公式为 $ V = π r^2 h $。
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，
底面半径 $ r_1 = \frac{9}{2} \, \mathrm{cm} $，高 $ h_1 = 6 \, \mathrm{cm} $，
体积 $ V_1 = π × (\frac{9}{2})^2 × 6 = 121.5π \, \mathrm{cm}^3 $。
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，
底面半径 $ r_2 = \frac{6}{2} = 3 \, \mathrm{cm} $，高 $ h_2 = 9 \, \mathrm{cm} $，
体积 $ V_2 = π × 3^2 × 9 = 81π \, \mathrm{cm}^3 $。
因为 $ 121.5π ＞ 81π $，所以方案一构造的圆柱的体积更大。
(2) 分两种情况计算：
① 绕长为9 cm的边所在直线为轴旋转时，底面半径为6 cm，高为9 cm，
体积 $ V_3 = π × 6^2 × 9 = 324π \, \mathrm{cm}^3 $；
② 绕长为6 cm的边所在直线为轴旋转时，底面半径为9 cm，高为6 cm，
体积 $ V_4 = π × 9^2 × 6 = 486π \, \mathrm{cm}^3 $。
答：(1) 方案一构造的圆柱体积更大；(2) 得到的圆柱体积为 $ 324π \, \mathrm{cm}^3 $ 或 $ 486π \, \mathrm{cm}^3 $。

【分析】
本题考查圆柱体积的计算，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，首先回忆圆柱体积公式$V=π r^2 h$，再分别确定两种旋转方案对应的底面半径和高：方案一以较长对边（长9cm的边）中点连线为轴，旋转半径是长的一半，高为长方形的宽；方案二以较短对边（宽6cm的边）中点连线为轴，旋转半径是宽的一半，高为长方形的长，分别代入公式计算后比较体积大小即可。
2. 解决第(2)问时，需分类讨论：绕长方形的长旋转、绕长方形的宽旋转，分别确定两种情况的底面半径和高，代入体积公式计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 圆柱体积公式为 $ V = π r^2 h $。
方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，
底面半径 $ r_1 = \frac{9}{2} \, \mathrm{cm} $，高 $ h_1 = 6 \, \mathrm{cm} $，
体积 $ V_1 = π × (\frac{9}{2})^2 × 6 = 121.5π \, \mathrm{cm}^3 $。
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，
底面半径 $ r_2 = \frac{6}{2} = 3 \, \mathrm{cm} $，高 $ h_2 = 9 \, \mathrm{cm} $，
体积 $ V_2 = π × 3^2 × 9 = 81π \, \mathrm{cm}^3 $。
因为 $ 121.5π ＞ 81π $，所以方案一构造的圆柱的体积更大。
(2) 分两种情况计算：
① 绕长为9 cm的边所在直线为轴旋转时，底面半径为6 cm，高为9 cm，
体积 $ V_3 = π × 6^2 × 9 = 324π \, \mathrm{cm}^3 $；
② 绕长为6 cm的边所在直线为轴旋转时，底面半径为9 cm，高为6 cm，
体积 $ V_4 = π × 9^2 × 6 = 486π \, \mathrm{cm}^3 $。
【答案】
(1) 方案一构造的圆柱体积更大；
(2) 得到的圆柱体积为 $ 324π \, \mathrm{cm}^3 $ 或 $ 486π \, \mathrm{cm}^3 $。
【知识点】
1. 圆柱体积计算
2. 面动成体
3. 分类讨论思想
【点评】
本题结合平面图形的旋转考查圆柱体积的计算，解题的核心是准确判断不同旋转方式下圆柱的底面半径和高，注意第(2)问要对旋转轴进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7