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2. 在 1.5, -2, $-\dfrac{5}{2}$, -0.7, 6, 15%中,负分数有 （）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是准确掌握负分数的判定标准：负分数需同时满足两个条件，一是为负数（小于0的数），二是属于分数（包括有限小数、可化为分数的百分数，整数不属于分数范畴）。解题时可分两步走：第一步先从所有给定数中筛选出负数，第二步再从筛选出的负数中排除整数，剩下的就是负分数，统计个数后对应选项即可。
【解析】
首先明确负分数的定义：小于0的分数即为负分数，其中有限小数、能转化为分数的百分数都属于分数范畴。
逐个分析题干中的数：
1. 1.5是正数，不符合负数要求，排除；
2. -2是负数，但属于整数，不是分数，排除；
3. $-\dfrac{5}{2}$既是负数，又是分数，属于负分数；
4. -0.7是负数，且是有限小数，属于分数，是负分数；
5. 6是正整数，排除；
6. 15%是正数，排除。
综上，负分数共有2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的分类；负分数的识别
【点评】
本题是基础概念类考题，解题关键是牢记负分数的两个判定特征，避免误将负整数、正的分数类数计入统计，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题的核心是准确掌握负分数的判定标准：负分数需同时满足两个条件，一是为负数（小于0的数），二是属于分数（包括有限小数、可化为分数的百分数，整数不属于分数范畴）。解题时可分两步走：第一步先从所有给定数中筛选出负数，第二步再从筛选出的负数中排除整数，剩下的就是负分数，统计个数后对应选项即可。
【解析】
首先明确负分数的定义：小于0的分数即为负分数，其中有限小数、能转化为分数的百分数都属于分数范畴。
逐个分析题干中的数：
1. 1.5是正数，不符合负数要求，排除；
2. -2是负数，但属于整数，不是分数，排除；
3. $-\dfrac{5}{2}$既是负数，又是分数，属于负分数；
4. -0.7是负数，且是有限小数，属于分数，是负分数；
5. 6是正整数，排除；
6. 15%是正数，排除。
综上，负分数共有2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的分类；负分数的识别
【点评】
本题是基础概念类考题，解题关键是牢记负分数的两个判定特征，避免误将负整数、正的分数类数计入统计，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 党的二十大报告指出，“全方位夯实粮食安全根基”“确保中国人的饭碗牢牢端在自己手中”，饭碗主要装中国粮。2024年，农业生产保持稳中有进，粮食产量突破1.4万亿斤。将数据“1.4万亿”用科学记数法表示为 （）
A.$14000×10^{8}$
B.$0.14×10^{12}$
C.$1.4×10^{11}$
D.$1.4×10^{12}$
A.$14000×10^{8}$
B.$0.14×10^{12}$
C.$1.4×10^{11}$
D.$1.4×10^{12}$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a × 10^n$，要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，表示大于1的数时$n$为正整数，$n$的值等于原数的整数位数减1。我们可以先把“1.4万亿”对应的单位换算为10的幂次，再合并得到最终的科学记数法形式，最后对比选项选出正确答案即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
步骤1：换算单位对应的幂次：
1万$=10^4$，1亿$=10^8$，因此1万亿$=10^4 × 10^8 = 10^{12}$。
步骤2：表示1.4万亿：
1.4万亿$=1.4 × 1$万亿$=1.4 × 10^{12}$。
步骤3：逐一排除错误选项：
A选项中$a=14000$，不满足$1 ≤ a ＜10$，错误；
B选项中$a=0.14 ＜ 1$，不符合科学记数法的要求，错误；
C选项中$n=11$，换算错误，排除；
D选项符合计算结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；大数单位换算
【点评】
本题考查科学记数法在实际大数表示中的应用，解题核心是熟练掌握科学记数法的格式要求，同时熟悉“万”“亿”等常见大数单位的换算规则，属于基础类题型，认真计算即可拿分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a × 10^n$，要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，表示大于1的数时$n$为正整数，$n$的值等于原数的整数位数减1。我们可以先把“1.4万亿”对应的单位换算为10的幂次，再合并得到最终的科学记数法形式，最后对比选项选出正确答案即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
步骤1：换算单位对应的幂次：
1万$=10^4$，1亿$=10^8$，因此1万亿$=10^4 × 10^8 = 10^{12}$。
步骤2：表示1.4万亿：
1.4万亿$=1.4 × 1$万亿$=1.4 × 10^{12}$。
步骤3：逐一排除错误选项：
A选项中$a=14000$，不满足$1 ≤ a ＜10$，错误；
B选项中$a=0.14 ＜ 1$，不符合科学记数法的要求，错误；
C选项中$n=11$，换算错误，排除；
D选项符合计算结果，正确。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；大数单位换算
【点评】
本题考查科学记数法在实际大数表示中的应用，解题核心是熟练掌握科学记数法的格式要求，同时熟悉“万”“亿”等常见大数单位的换算规则，属于基础类题型，认真计算即可拿分。
【难度系数】
0.8
4. 数轴是我们学习和研究有理数的重要工具，所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，体现的数学思想是 （）
A.整体
B.转化
C.分类讨论
D.数形结合
A.整体
B.转化
C.分类讨论
D.数形结合
答案
D
解析
【分析】
拿到这道题，首先提取题干核心信息：题目描述的是“有理数（属于‘数’的范畴）用数轴上的点（属于‘形’的范畴）来表示”，要求判断对应的数学思想。解题时先逐一明确四个选项对应的数学思想的核心内涵：①整体思想核心是将关联的多个对象视作一个统一整体处理；②转化思想核心是将未知、复杂的问题转化为已知、简单的问题求解；③分类讨论思想核心是当问题存在多种不同情况时，分情况逐一分析得出结论；④数形结合思想核心是将抽象的数量关系和直观的几何图形结合起来研究问题。最后将题干描述和各思想的内涵匹配，即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 整体思想一般用于将多个关联的量当作统一整体运算，与“用数轴点表示有理数”的描述不符，排除；
B. 转化思想侧重问题类型的转换，本题没有涉及未知转已知的过程，排除；
C. 分类讨论思想需要针对不同情况分别分析，本题不存在多种情况的讨论，排除；
D. 数形结合思想是把数的问题和图形结合起来研究，本题中把抽象的有理数用直观的数轴上的点来表示，正是数与形的对应，符合数形结合的思想，故该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用、数形结合思想
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对常见数学思想特征的辨识，需要大家理解各类数学思想的核心特点，能结合实际应用场景判断对应的思想，是对数学基本素养的基础考查。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，首先提取题干核心信息：题目描述的是“有理数（属于‘数’的范畴）用数轴上的点（属于‘形’的范畴）来表示”，要求判断对应的数学思想。解题时先逐一明确四个选项对应的数学思想的核心内涵：①整体思想核心是将关联的多个对象视作一个统一整体处理；②转化思想核心是将未知、复杂的问题转化为已知、简单的问题求解；③分类讨论思想核心是当问题存在多种不同情况时，分情况逐一分析得出结论；④数形结合思想核心是将抽象的数量关系和直观的几何图形结合起来研究问题。最后将题干描述和各思想的内涵匹配，即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 整体思想一般用于将多个关联的量当作统一整体运算，与“用数轴点表示有理数”的描述不符，排除；
B. 转化思想侧重问题类型的转换，本题没有涉及未知转已知的过程，排除；
C. 分类讨论思想需要针对不同情况分别分析，本题不存在多种情况的讨论，排除；
D. 数形结合思想是把数的问题和图形结合起来研究，本题中把抽象的有理数用直观的数轴上的点来表示，正是数与形的对应，符合数形结合的思想，故该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用、数形结合思想
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对常见数学思想特征的辨识，需要大家理解各类数学思想的核心特点，能结合实际应用场景判断对应的思想，是对数学基本素养的基础考查。
【难度系数】
0.9
5. 下列四组数中,互为相反数的是 （）
A.$(-1)^{2024}$和$(-1)^{2023}$
B.$2^3$和$-3^2$
C.$-(-5)$和$|-5|$
D.$(-3)^3$和$-3^3$
A.$(-1)^{2024}$和$(-1)^{2023}$
B.$2^3$和$-3^2$
C.$-(-5)$和$|-5|$
D.$(-3)^3$和$-3^3$
答案
A
解析
【分析】
要判断两个数是否互为相反数，首先要明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数相加得0。解题时先分别计算每个选项中两个数的结果，再对照定义判断是否符合即可。计算时要注意负数乘方的符号规律、去括号法则和绝对值的化简规则，避免计算错误。
【解析】
先根据运算法则计算每个选项中两个数的值，再结合相反数定义判断：
1. 计算A选项：
负数的偶次幂为正，奇次幂为负，因此$(-1)^{2024}=1$，$(-1)^{2023}=-1$，1和-1只有符号不同，互为相反数，符合要求。
2. 计算B选项：
$2^3=2×2×2=8$，$-3^2=-(3×3)=-9$，8和-9符号不同、数值也不同，不是相反数，不符合要求。
3. 计算C选项：
去括号得$-(-5)=5$，绝对值化简得$|-5|=5$，两数相等，不是相反数，不符合要求。
4. 计算D选项：
$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$，$-3^3=-(3×3×3)=-27$，两数相等，不是相反数，不符合要求。
综上，只有A选项的两个数互为相反数。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义；有理数的乘方运算；绝对值的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确计算各类有理数运算的结果，尤其要注意区分乘方运算中底数带括号和不带括号的符号差异，熟练掌握负数乘方的符号规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断两个数是否互为相反数，首先要明确相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数相加得0。解题时先分别计算每个选项中两个数的结果，再对照定义判断是否符合即可。计算时要注意负数乘方的符号规律、去括号法则和绝对值的化简规则，避免计算错误。
【解析】
先根据运算法则计算每个选项中两个数的值，再结合相反数定义判断：
1. 计算A选项：
负数的偶次幂为正，奇次幂为负，因此$(-1)^{2024}=1$，$(-1)^{2023}=-1$，1和-1只有符号不同，互为相反数，符合要求。
2. 计算B选项：
$2^3=2×2×2=8$，$-3^2=-(3×3)=-9$，8和-9符号不同、数值也不同，不是相反数，不符合要求。
3. 计算C选项：
去括号得$-(-5)=5$，绝对值化简得$|-5|=5$，两数相等，不是相反数，不符合要求。
4. 计算D选项：
$(-3)^3=(-3)×(-3)×(-3)=-27$，$-3^3=-(3×3×3)=-27$，两数相等，不是相反数，不符合要求。
综上，只有A选项的两个数互为相反数。
【答案】
A
【知识点】
相反数的定义；有理数的乘方运算；绝对值的化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确计算各类有理数运算的结果，尤其要注意区分乘方运算中底数带括号和不带括号的符号差异，熟练掌握负数乘方的符号规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
6.如图,数轴上点A和点B分别表示数a和b,则下列式子不正确的是 ()
A.$ b＞0 $
B.$ a＜-1 $
C.$ a-b＞0 $
D.$ a+b＜0 $
A.$ b＞0 $
B.$ a＜-1 $
C.$ a-b＞0 $
D.$ a+b＜0 $
答案
C
解析
【分析】
首先根据数轴“右大左小”的基本性质，确定点A、B对应数a、b的取值范围：点A在-1左侧，因此a＜-1；点B在0和1之间，因此0＜b＜1。再将得到的取值范围代入四个选项逐一判断，即可选出不正确的式子。
【解析】
根据数轴的性质：数轴上右侧的数始终大于左侧的数，可得：$\boldsymbol{a ＜ -1 ＜ 0 ＜ b ＜ 1}$
对各选项逐一分析：
A. 点B在0的右侧，因此$b＞0$，选项正确，不符合题意；
B. 点A在-1的左侧，因此$a＜-1$，选项正确，不符合题意；
C. $a$是负数，$b$是正数，负数减正数结果仍为负数，即$a-b＜0$，选项错误，符合题意；
D. 因为$a＜-1$，$b＜1$，所以$a+b ＜ -1 + 1 = 0$，即$a+b＜0$，选项正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，有理数大小比较，有理数加减法
【点评】
本题核心是利用数轴读取数的范围，结合有理数运算的性质判断式子正误，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质和有理数加减的符号规律。
【难度系数】
0.8
首先根据数轴“右大左小”的基本性质，确定点A、B对应数a、b的取值范围：点A在-1左侧，因此a＜-1；点B在0和1之间，因此0＜b＜1。再将得到的取值范围代入四个选项逐一判断，即可选出不正确的式子。
【解析】
根据数轴的性质：数轴上右侧的数始终大于左侧的数，可得：$\boldsymbol{a ＜ -1 ＜ 0 ＜ b ＜ 1}$
对各选项逐一分析：
A. 点B在0的右侧，因此$b＞0$，选项正确，不符合题意；
B. 点A在-1的左侧，因此$a＜-1$，选项正确，不符合题意；
C. $a$是负数，$b$是正数，负数减正数结果仍为负数，即$a-b＜0$，选项错误，符合题意；
D. 因为$a＜-1$，$b＜1$，所以$a+b ＜ -1 + 1 = 0$，即$a+b＜0$，选项正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用，有理数大小比较，有理数加减法
【点评】
本题核心是利用数轴读取数的范围，结合有理数运算的性质判断式子正误，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质和有理数加减的符号规律。
【难度系数】
0.8
7. $a,b$为有理数,它们表示的点在数轴上的位置如图所示。
(1)把$-a,-b$表示的点分别在数轴上表示出来；
(2)将$a,b,-a,-b$按从小到大的顺序排列；
(3)$|a|$$|b|$,$|-a|$$|-b|$,$|-a|=$,$|b|=$。
(1)把$-a,-b$表示的点分别在数轴上表示出来；
(2)将$a,b,-a,-b$按从小到大的顺序排列；
(3)$|a|$$|b|$,$|-a|$$|-b|$,$|-a|=$,$|b|=$。
答案
解：
(1) 在数轴上原点的左侧，取与点a到原点距离相等的点，标记为$-a$；在数轴上原点的右侧，取与点b到原点距离相等的点，标记为$-b$，可得$-b$位于点a的右侧。
(2) 按从小到大的顺序排列为：$b ＜ -a ＜ a ＜ -b$
(3) $|a| \underline{＜} |b|$，$|-a| \underline{＜} |-b|$，$|-a| = \underline{a}$，$|b| = \underline{-b}$
(1) 在数轴上原点的左侧，取与点a到原点距离相等的点，标记为$-a$；在数轴上原点的右侧，取与点b到原点距离相等的点，标记为$-b$，可得$-b$位于点a的右侧。
(2) 按从小到大的顺序排列为：$b ＜ -a ＜ a ＜ -b$
(3) $|a| \underline{＜} |b|$，$|-a| \underline{＜} |-b|$，$|-a| = \underline{a}$，$|b| = \underline{-b}$
解析
【分析】
解题前先观察数轴特征：数轴上右边的数总比左边的数大，可得$b＜0＜a$，且点$b$到原点的距离大于点$a$到原点的距离，即$|b|＞|a|$。
(1) 依据相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称，到原点的距离相等，据此可找到$-a$、$-b$对应的位置；
(2) 排序时遵循数轴上数的大小规律：左边的数始终小于右边的数，把四个数对应的点按从左到右排列，即可得到从小到大的顺序；
(3) 绝对值的几何意义是数轴上点到原点的距离，据此可比较$|a|$和$|b|$的大小；再结合绝对值的代数性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，且互为相反数的两个数绝对值相等，就能完成剩余填空。
【解析】
首先由数轴可知：$b＜0＜a$，且点$b$到原点的距离大于点$a$到原点的距离。
(1) 根据相反数的几何意义，互为相反数的两个数对应的点关于原点对称：在原点左侧，找到与点$a$到原点距离相等的点，标记为$-a$；在原点右侧，找到与点$b$到原点距离相等的点，标记为$-b$，可得$-b$位于点$a$的右侧。
(2) 数轴上左边的数小于右边的数，四个点从左到右的顺序为$b$、$-a$、$a$、$-b$，因此从小到大排列为$b ＜ -a ＜ a ＜ -b$。
(3) ①$|a|$是点$a$到原点的距离，$|b|$是点$b$到原点的距离，因此$|a| ＜ |b|$；
②互为相反数的两个数绝对值相等，即$|-a|=|a|$，$|-b|=|b|$，因此$|-a| ＜ |-b|$；
③$a$是正数，正数的绝对值是它本身，因此$|-a|=a$；
④$b$是负数，负数的绝对值是它的相反数，因此$|b|=-b$。
【答案】
(1) 数轴标注见解析；
(2) $\boldsymbol{b ＜ -a ＜ a ＜ -b}$；
(3) $\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{a}$；$\boldsymbol{-b}$
【知识点】
数轴的应用；相反数；绝对值的性质
【点评】
本题是数轴、相反数、绝对值的综合基础题，解题核心是通过数轴判断数的正负和绝对值的大小关系，熟练掌握相关概念的几何意义和代数性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题前先观察数轴特征：数轴上右边的数总比左边的数大，可得$b＜0＜a$，且点$b$到原点的距离大于点$a$到原点的距离，即$|b|＞|a|$。
(1) 依据相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点关于原点对称，到原点的距离相等，据此可找到$-a$、$-b$对应的位置；
(2) 排序时遵循数轴上数的大小规律：左边的数始终小于右边的数，把四个数对应的点按从左到右排列，即可得到从小到大的顺序；
(3) 绝对值的几何意义是数轴上点到原点的距离，据此可比较$|a|$和$|b|$的大小；再结合绝对值的代数性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，且互为相反数的两个数绝对值相等，就能完成剩余填空。
【解析】
首先由数轴可知：$b＜0＜a$，且点$b$到原点的距离大于点$a$到原点的距离。
(1) 根据相反数的几何意义，互为相反数的两个数对应的点关于原点对称：在原点左侧，找到与点$a$到原点距离相等的点，标记为$-a$；在原点右侧，找到与点$b$到原点距离相等的点，标记为$-b$，可得$-b$位于点$a$的右侧。
(2) 数轴上左边的数小于右边的数，四个点从左到右的顺序为$b$、$-a$、$a$、$-b$，因此从小到大排列为$b ＜ -a ＜ a ＜ -b$。
(3) ①$|a|$是点$a$到原点的距离，$|b|$是点$b$到原点的距离，因此$|a| ＜ |b|$；
②互为相反数的两个数绝对值相等，即$|-a|=|a|$，$|-b|=|b|$，因此$|-a| ＜ |-b|$；
③$a$是正数，正数的绝对值是它本身，因此$|-a|=a$；
④$b$是负数，负数的绝对值是它的相反数，因此$|b|=-b$。
【答案】
(1) 数轴标注见解析；
(2) $\boldsymbol{b ＜ -a ＜ a ＜ -b}$；
(3) $\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{a}$；$\boldsymbol{-b}$
【知识点】
数轴的应用；相反数；绝对值的性质
【点评】
本题是数轴、相反数、绝对值的综合基础题，解题核心是通过数轴判断数的正负和绝对值的大小关系，熟练掌握相关概念的几何意义和代数性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
