18. 如图,在长方形ABCD中,E为边BC上的一点,将长方形沿AE折叠(AE为折痕),使点B与点F重合,EG平分∠CEF交CD于点G,过点G作HG ⊥ EG交AD于点H.
(1) 试说明: $HG // AE$;
(2) 若$∠ CEG = 20°$, 求$∠ DHG$的度数.

(1) 由折叠知, $∠AEB=∠AEF.\because EG$ 平分 $∠CEF,\therefore ∠FEG=∠CEG.\because ∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG=180°,\therefore ∠AEG=∠AEF+∠FEG=90°.\therefore AE ⊥ EG.\because HG ⊥ EG,\therefore HG // AE$ (2) $\because ∠CEG=20°,∠AEG=90°,\therefore ∠AEB=70°.\because$ 四边形ABCD是长方形, $\therefore AD // BC.\therefore ∠AEB=∠DAE=70°.\because HG // AE,\therefore ∠DHG=∠DAE=70°$

【分析】
(1) 要证$HG// AE$，已知$HG⊥ EG$，只需证明$AE⊥ EG$即可。首先根据折叠性质可得$∠ AEB=∠ AEF$，结合EG平分$∠ CEF$得$∠ FEG=∠ CEG$，四个角组成平角和为$180°$，可推出$∠ AEG=90°$得到$AE⊥ EG$，最后根据平行线判定定理即可证得平行。
(2) 已知$∠ CEG=20°$，先结合(1)的结论求出$∠ AEB$的度数，再利用长方形对边$AD// BC$的性质得到$∠ DAE=∠ AEB$，最后根据$HG// AE$，利用平行线的性质即可求出$∠ DHG$的度数。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知：$∠ AEB=∠ AEF$。
$\because$ EG平分$∠ CEF$，$\therefore ∠ FEG=∠ CEG$。
$\because ∠ AEB+∠ AEF+∠ FEG+∠ CEG=180°$（平角的定义），
$\therefore 2(∠ AEF+∠ FEG)=180°$，即$∠ AEG=∠ AEF+∠ FEG=90°$，
$\therefore AE⊥ EG$。
又$\because HG⊥ EG$，
$\therefore HG// AE$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
(2) $\because ∠ CEG=20°$，$∠ AEG=90°$，
$\therefore ∠ AEB=180°-∠ AEG-∠ CEG=180°-90°-20°=70°$。
$\because$ 四边形ABCD是长方形，$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ DAE=∠ AEB=70°$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because HG// AE$，
$\therefore ∠ DHG=∠ DAE=70°$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
(1) $HG// AE$，证明成立；
(2) $\boldsymbol{70°}$
【知识点】
折叠的性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础综合题，融合了折叠变换、角平分线性质和平行线的相关知识，解题核心是先通过折叠和角平分线的性质推出垂直关系，再结合平行线的性质推导角度，需注意几何证明步骤的逻辑性和严谨性。
【难度系数】
0.7

19. 已知:如图,AB // CD,分别探讨如图所示的四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD之间的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以说明.(温馨提示:可添加适当的辅助线)
(1) 在图①中,∠APC与∠PAB、∠PCD之间的关系是:;
(2) 在图②中,∠APC与∠PAB、∠PCD之间的关系是:;
(3) 在图③中,∠APC与∠PAB、∠PCD之间的关系是:;
(4) 在图④中,∠APC与∠PAB、∠PCD之间的关系是:;
(5) 在图中,试说明:.

19. (1) $∠APC+∠PAB+∠PCD=360°$ (2) $∠APC=∠PAB+∠PCD$ (3) $∠PAB=∠APC+∠PCD$ (4) $∠PCD=∠APC+∠PAB$ (5) (答案不唯一)② $∠APC=∠PAB+∠PCD$ 说明:如图,过点 P 作 $PE // AB,\therefore ∠1=∠PAB$. 又 $\because AB // CD,\therefore PE // CD.\therefore ∠2=∠PCD.\therefore ∠1+∠2=∠PAB+∠PCD.\because ∠APC=∠1+∠2,\therefore ∠APC=∠PAB+∠PCD$

【分析】
这是平行线间的拐点类角度探究问题，解题通用思路是：过拐点P作AB的平行线，利用平行公理的推论可得所作辅助线也与CD平行，再结合平行线的内错角相等、同旁内角互补的性质，将∠APC、∠PAB、∠PCD转化为有和差关联的角，即可推导出三个角的数量关系。证明时按照“作辅助线→利用平行线性质得角的关系→等量代换推导结论”的步骤书写即可。
【解析】
(1) 图①：过点P作PE//AB，
∵AB//CD，
∴PE//CD，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，两式相加得∠PAB+∠APE+∠CPE+∠PCD=360°，即∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
(2) 图②：过点P作PE//AB，根据两直线平行，内错角相等，得∠1=∠PAB，
∵AB//CD，
∴PE//CD，同理得∠2=∠PCD，
∴∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，又
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD；
(3) 图③：过点P作PE//AB，根据两直线平行，同旁内角互补，得∠PAB+∠APE=180°，
∵AB//CD，
∴PE//CD，同理得∠PCD+∠APC+∠APE=180°，等量代换得∠PAB=∠APC+∠PCD；
(4) 图④：过点P作PE//AB，根据两直线平行，内错角相等，得∠PAB=∠APE，
∵AB//CD，
∴PE//CD，同理得∠PCD=∠CPE，又
∵∠CPE=∠APC+∠APE，等量代换得∠PCD=∠APC+∠PAB；
(5) 任选一个图形证明即可，以选图②为例，证明过程同上述(2)的推导。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠APC+∠PAB+∠PCD=360°}$
(2) $\boldsymbol{∠APC=∠PAB+∠PCD}$
(3) $\boldsymbol{∠PAB=∠APC+∠PCD}$
(4) $\boldsymbol{∠PCD=∠APC+∠PAB}$
(5) (答案不唯一)② $\boldsymbol{∠APC=∠PAB+∠PCD}$ 说明:如图,过点 P 作 $PE // AB,\therefore ∠1=∠PAB$. 又 $\because AB // CD,\therefore PE // CD.\therefore ∠2=∠PCD.\therefore ∠1+∠2=∠PAB+∠PCD.\because ∠APC=∠1+∠2,\therefore ∠APC=∠PAB+∠PCD$

【知识点】
平行线的性质；平行公理推论；角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质应用的典型题型，主要考查拐点类角度关系的探究方法，核心解题技巧是过拐点作平行线构造相关角，掌握该方法后这类问题便可迎刃而解。
【难度系数】
0.7