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(1)下列式子中，一定是二次根式的有（
①$\sqrt{8}$；②$\sqrt{-4}$；③$\sqrt{a^2+1}$；④$\sqrt{2a}$；
⑤$\sqrt{x^2+y^2}$；⑥$\sqrt{a+1}$；⑦$\sqrt{x^2-4}$.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
A
）①$\sqrt{8}$；②$\sqrt{-4}$；③$\sqrt{a^2+1}$；④$\sqrt{2a}$；
⑤$\sqrt{x^2+y^2}$；⑥$\sqrt{a+1}$；⑦$\sqrt{x^2-4}$.
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
(1) A
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次根式，需依据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，核心要求是被开方数必须是非负数。本题要求找出“一定是”二次根式的式子，即无论式中字母取任意实数，被开方数都要满足大于等于0的要求，我们逐个分析每个式子即可得出结果。
【解析】
我们结合二次根式的定义逐个判断：
①$\sqrt{8}$：被开方数是8，$8＞0$，满足二次根式的要求，是二次根式；
②$\sqrt{-4}$：被开方数是-4，$-4＜0$，式子无意义，不是二次根式；
③$\sqrt{a^2+1}$：由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$，无论$a$取何值，被开方数都是正数，是二次根式；
④$\sqrt{2a}$：当$a＜0$时，$2a＜0$，此时式子无意义，不一定是二次根式；
⑤$\sqrt{x^2+y^2}$：由平方的非负性可知$x^2≥0$、$y^2≥0$，因此$x^2+y^2≥0$，无论$x、y$取何值，被开方数都是非负数，是二次根式；
⑥$\sqrt{a+1}$：当$a＜-1$时，$a+1＜0$，此时式子无意义，不一定是二次根式；
⑦$\sqrt{x^2-4}$：当$-2＜x＜2$时，$x^2-4＜0$，此时式子无意义，不一定是二次根式。
综上，一定是二次根式的有①③⑤，共3个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式的定义 2. 平方的非负性
【点评】
本题考查二次根式的判定，易错点是忽略“一定是”的限制条件，仅关注是否带有二次根号，未考虑字母取部分值时被开方数可能为负的情况，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数。
【难度系数】
0.7
要判断一个式子是不是二次根式，需依据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，核心要求是被开方数必须是非负数。本题要求找出“一定是”二次根式的式子，即无论式中字母取任意实数，被开方数都要满足大于等于0的要求，我们逐个分析每个式子即可得出结果。
【解析】
我们结合二次根式的定义逐个判断：
①$\sqrt{8}$：被开方数是8，$8＞0$，满足二次根式的要求，是二次根式；
②$\sqrt{-4}$：被开方数是-4，$-4＜0$，式子无意义，不是二次根式；
③$\sqrt{a^2+1}$：由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$，无论$a$取何值，被开方数都是正数，是二次根式；
④$\sqrt{2a}$：当$a＜0$时，$2a＜0$，此时式子无意义，不一定是二次根式；
⑤$\sqrt{x^2+y^2}$：由平方的非负性可知$x^2≥0$、$y^2≥0$，因此$x^2+y^2≥0$，无论$x、y$取何值，被开方数都是非负数，是二次根式；
⑥$\sqrt{a+1}$：当$a＜-1$时，$a+1＜0$，此时式子无意义，不一定是二次根式；
⑦$\sqrt{x^2-4}$：当$-2＜x＜2$时，$x^2-4＜0$，此时式子无意义，不一定是二次根式。
综上，一定是二次根式的有①③⑤，共3个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式的定义 2. 平方的非负性
【点评】
本题考查二次根式的判定，易错点是忽略“一定是”的限制条件，仅关注是否带有二次根号，未考虑字母取部分值时被开方数可能为负的情况，解题的关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数。
【难度系数】
0.7
(2)若代数式$\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}$有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x＞-1$且$x≠1$
B.$x≥-1$
C.$x≠1$
D.$x≥-1$且$x≠1$
D
）A.$x＞-1$且$x≠1$
B.$x≥-1$
C.$x≠1$
D.$x≥-1$且$x≠1$
答案
(2) D
解析
【分析】
要确定代数式有意义时x的取值范围，需要先找出式子中隐含的所有限制条件：首先式子包含二次根式，二次根式的被开方数必须是非负数；其次式子是分式形式，分母不能为0。我们只需要分别根据这两个条件列出不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$x-1≠0$，解得$x≠1$。
综上，x的取值范围是$x≥-1$且$x≠1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是不要遗漏代数式中所有的限制条件，很多同学容易忽略分母不为0的要求而出错，求解时要把所有条件都考虑周全，最后取解集的公共部分即可。
【难度系数】
0.8
要确定代数式有意义时x的取值范围，需要先找出式子中隐含的所有限制条件：首先式子包含二次根式，二次根式的被开方数必须是非负数；其次式子是分式形式，分母不能为0。我们只需要分别根据这两个条件列出不等式，再取两个不等式解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 分式的分母不为0：$x-1≠0$，解得$x≠1$。
综上，x的取值范围是$x≥-1$且$x≠1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是不要遗漏代数式中所有的限制条件，很多同学容易忽略分母不为0的要求而出错，求解时要把所有条件都考虑周全，最后取解集的公共部分即可。
【难度系数】
0.8
(3)下列式子中，成立的是（
A.$\sqrt{2^2}=2$
B.$\sqrt{3^3}=3$
C.$\sqrt{-16}=-4$
D.$\sqrt{a^2}=a$
A
）A.$\sqrt{2^2}=2$
B.$\sqrt{3^3}=3$
C.$\sqrt{-16}=-4$
D.$\sqrt{a^2}=a$
答案
(3) A
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关性质，解题思路如下：首先明确二次根式的核心知识点：①二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；②算术平方根的计算结果是非负数；③性质$\sqrt{a^2}=|a|$。我们只需按照上述规则逐一验证每个选项是否成立即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先计算被开方数$2^2=4$，再计算算术平方根$\sqrt{4}=2$，该式成立。
B选项：计算被开方数$3^3=27$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}≠3$，该式不成立。
C选项：被开方数为$-16$，是负数，二次根式无意义，该式不成立。
D选项：根据二次根式性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，只有当$a≥0$时$\sqrt{a^2}=a$，当$a＜0$时$\sqrt{a^2}=-a$，因此该式不是恒成立。
综上，只有A选项的式子成立。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；算术平方根的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题型，核心是对二次根式的基本性质和有意义条件的掌握，做题时要注意不要忽略被开方数的非负性以及算术平方根结果的非负性，尤其是化简$\sqrt{a^2}$时要记得加绝对值符号。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关性质，解题思路如下：首先明确二次根式的核心知识点：①二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；②算术平方根的计算结果是非负数；③性质$\sqrt{a^2}=|a|$。我们只需按照上述规则逐一验证每个选项是否成立即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先计算被开方数$2^2=4$，再计算算术平方根$\sqrt{4}=2$，该式成立。
B选项：计算被开方数$3^3=27$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}≠3$，该式不成立。
C选项：被开方数为$-16$，是负数，二次根式无意义，该式不成立。
D选项：根据二次根式性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，只有当$a≥0$时$\sqrt{a^2}=a$，当$a＜0$时$\sqrt{a^2}=-a$，因此该式不是恒成立。
综上，只有A选项的式子成立。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；算术平方根的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于二次根式的基础考查题型，核心是对二次根式的基本性质和有意义条件的掌握，做题时要注意不要忽略被开方数的非负性以及算术平方根结果的非负性，尤其是化简$\sqrt{a^2}$时要记得加绝对值符号。
【难度系数】
0.8
(4)已知实数$a$在数轴上的位置如图所示，则化简$|a - 1| - \sqrt{a^2}$的结果是（
第1(4)题
A.$-1$
B.$1$
C.$2a - 1$
D.$1 - 2a$
D
）第1(4)题
A.$-1$
B.$1$
C.$2a - 1$
D.$1 - 2a$
答案
(4) D
解析
【分析】
首先观察数轴确定实数a的取值范围，再判断绝对值内表达式a-1的正负，结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，根据绝对值的性质分别去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知$0 ＜ a ＜ 1$，
因此$a-1 ＜ 0$，$a ＞ 0$。
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，可得：
$|a-1|=1-a$，
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{a^2}=|a|=a$，
代入原式计算：
$|a - 1| - \sqrt{a^2}=(1-a)-a=1-2a$。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用、绝对值的化简、二次根式的性质
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是先通过数轴准确判断待化简部分的正负性，再结合绝对值和二次根式的性质正确去符号计算，注意避免符号判断错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴确定实数a的取值范围，再判断绝对值内表达式a-1的正负，结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，根据绝对值的性质分别去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知$0 ＜ a ＜ 1$，
因此$a-1 ＜ 0$，$a ＞ 0$。
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，可得：
$|a-1|=1-a$，
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{a^2}=|a|=a$，
代入原式计算：
$|a - 1| - \sqrt{a^2}=(1-a)-a=1-2a$。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用、绝对值的化简、二次根式的性质
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是先通过数轴准确判断待化简部分的正负性，再结合绝对值和二次根式的性质正确去符号计算，注意避免符号判断错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
(5)若$\sqrt{x+y-1}+(y+3)^2=0$，则$x-y$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-7$
D.$7$
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$-7$
D.$7$
答案
(5) D
解析
【分析】
首先回忆非负数的相关性质：二次根式的运算结果、任意实数的平方都是非负数，即它们的取值都≥0。如果两个非负数的和为0，说明这两个非负数各自都等于0。按照这个思路，我们可以先列出关于x、y的两个方程，求解得到x、y的具体值后，再代入计算x-y的结果即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x+y-1}≥0$，$(y+3)^2≥0$，且$\sqrt{x+y-1}+(y+3)^2=0$
∴根据非负数的性质可列方程组：
$\begin{cases}x+y-1=0 \\y+3=0\end{cases}$
先解第二个方程：$y+3=0$，得$y=-3$
将$y=-3$代入第一个方程：$x+(-3)-1=0$，解得$x=4$
∴$x-y=4-(-3)=4+3=7$
因此本题选D
【答案】
D
【知识点】
1.非负数的性质 2.二次根式的非负性 3.代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查非负数性质的应用，解题关键是牢记“几个非负数的和为0时，每个非负数的取值都为0”的规律，计算时注意符号处理即可。
【难度系数】
0.8
首先回忆非负数的相关性质：二次根式的运算结果、任意实数的平方都是非负数，即它们的取值都≥0。如果两个非负数的和为0，说明这两个非负数各自都等于0。按照这个思路，我们可以先列出关于x、y的两个方程，求解得到x、y的具体值后，再代入计算x-y的结果即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x+y-1}≥0$，$(y+3)^2≥0$，且$\sqrt{x+y-1}+(y+3)^2=0$
∴根据非负数的性质可列方程组：
$\begin{cases}x+y-1=0 \\y+3=0\end{cases}$
先解第二个方程：$y+3=0$，得$y=-3$
将$y=-3$代入第一个方程：$x+(-3)-1=0$，解得$x=4$
∴$x-y=4-(-3)=4+3=7$
因此本题选D
【答案】
D
【知识点】
1.非负数的性质 2.二次根式的非负性 3.代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查非负数性质的应用，解题关键是牢记“几个非负数的和为0时，每个非负数的取值都为0”的规律，计算时注意符号处理即可。
【难度系数】
0.8
(1)若式子$\sqrt{2-x}+\sqrt{x-2}$有意义，则$x$的取值范围是
$x=2$
。答案
(1) $x=2$
解析
【分析】
要使包含二次根式的式子有意义，需满足每个二次根式的被开方数为非负数。本题中有两个二次根式，因此需要分别令两个被开方数大于等于0，列出不等式组，再求解不等式组的公共解集，即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可列不等式组：
$\begin{cases}2-x≥0 \quad \mathrm{①} \\x-2≥0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①得：$x≤2$
解不等式②得：$x≥2$
两个不等式的公共解为$x=2$，即x的取值范围是$x=2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式的基础考察题，解题核心是牢记二次根式的被开方数必须是非负数，当式子中存在多个二次根式时，要分别列出所有被开方数的非负限制条件，最终取各解集的公共部分即可。
【难度系数】
0.9
要使包含二次根式的式子有意义，需满足每个二次根式的被开方数为非负数。本题中有两个二次根式，因此需要分别令两个被开方数大于等于0，列出不等式组，再求解不等式组的公共解集，即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可列不等式组：
$\begin{cases}2-x≥0 \quad \mathrm{①} \\x-2≥0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①得：$x≤2$
解不等式②得：$x≥2$
两个不等式的公共解为$x=2$，即x的取值范围是$x=2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式的基础考察题，解题核心是牢记二次根式的被开方数必须是非负数，当式子中存在多个二次根式时，要分别列出所有被开方数的非负限制条件，最终取各解集的公共部分即可。
【难度系数】
0.9
(2)化简$|a - 3| + (\sqrt{1 - a})^2$的结果是
$4-2a$
答案
(2) $4-2a$
解析
【分析】
解题时首先要明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数，由此先求出a的取值范围；再根据a的取值范围判断绝对值内代数式的正负，依据绝对值的性质去掉绝对值符号；最后结合二次根式的性质化简平方项，合并同类项即可得到结果。
【解析】
1. 确定a的取值范围：
要使$\sqrt{1-a}$有意义，则被开方数$1-a≥0$，解得$a≤1$。
2. 化简绝对值：
由$a≤1$可得$a-3≤1-3=-2＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|a-3|=3-a$。
3. 化简二次根式的平方项：
根据二次根式的性质$(\sqrt{x})^2=x \ (x≥0)$，可得$(\sqrt{1-a})^2=1-a$。
4. 合并同类项：
$|a - 3| + (\sqrt{1 - a})^2=(3-a)+(1-a)=3-a+1-a=4-2a$。
【答案】
$4-2a$
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的化简；二次根式的性质
【点评】
本题的易错点是忽略先确定字母的取值范围直接去绝对值，解题核心是先通过二次根式的被开方数非负得到a的范围，再依次化简绝对值和二次根式，属于基础的综合运算题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数，由此先求出a的取值范围；再根据a的取值范围判断绝对值内代数式的正负，依据绝对值的性质去掉绝对值符号；最后结合二次根式的性质化简平方项，合并同类项即可得到结果。
【解析】
1. 确定a的取值范围：
要使$\sqrt{1-a}$有意义，则被开方数$1-a≥0$，解得$a≤1$。
2. 化简绝对值：
由$a≤1$可得$a-3≤1-3=-2＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，得$|a-3|=3-a$。
3. 化简二次根式的平方项：
根据二次根式的性质$(\sqrt{x})^2=x \ (x≥0)$，可得$(\sqrt{1-a})^2=1-a$。
4. 合并同类项：
$|a - 3| + (\sqrt{1 - a})^2=(3-a)+(1-a)=3-a+1-a=4-2a$。
【答案】
$4-2a$
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的化简；二次根式的性质
【点评】
本题的易错点是忽略先确定字母的取值范围直接去绝对值，解题核心是先通过二次根式的被开方数非负得到a的范围，再依次化简绝对值和二次根式，属于基础的综合运算题。
【难度系数】
0.7
(3)$\sqrt{25}$的结果是
$5$
，$\sqrt{25}$的平方根是$\pm\sqrt{5}$
答案
(3) $5$，$\pm\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先要明确算术平方根和平方根的定义区别：①$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，结果为非负数；②求一个数的平方根时，正数的平方根有两个，互为相反数。第一步先计算$\sqrt{25}$的数值，它是求25的算术平方根；第二步再对第一步得到的结果求平方根，注意不要直接把$\sqrt{25}$等同于25求平方根，避免出错。
【解析】
1. 计算$\sqrt{25}$的结果：
根据算术平方根的定义，若非负数$x$满足$x^2=a$，则$x$是$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。
因为$5^2=25$，且$5$是非负数，所以$\sqrt{25}=5$。
2. 求$\sqrt{25}$的平方根：
由上一步得$\sqrt{25}=5$，即本题是求$5$的平方根。根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。
因为$(\pm\sqrt{5})^2=5$，所以$5$的平方根是$\pm\sqrt{5}$，即$\sqrt{25}$的平方根是$\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$5$，$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念
【点评】
本题主要考查算术平方根与平方根的概念辨析，易错点是求解第二空时，容易忽略先化简$\sqrt{25}$，直接求25的平方根得到错误答案$\pm5$，解题时要先明确所求对象，注意正数的平方根有两个，不要漏写正负号。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确算术平方根和平方根的定义区别：①$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，结果为非负数；②求一个数的平方根时，正数的平方根有两个，互为相反数。第一步先计算$\sqrt{25}$的数值，它是求25的算术平方根；第二步再对第一步得到的结果求平方根，注意不要直接把$\sqrt{25}$等同于25求平方根，避免出错。
【解析】
1. 计算$\sqrt{25}$的结果：
根据算术平方根的定义，若非负数$x$满足$x^2=a$，则$x$是$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$。
因为$5^2=25$，且$5$是非负数，所以$\sqrt{25}=5$。
2. 求$\sqrt{25}$的平方根：
由上一步得$\sqrt{25}=5$，即本题是求$5$的平方根。根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。
因为$(\pm\sqrt{5})^2=5$，所以$5$的平方根是$\pm\sqrt{5}$，即$\sqrt{25}$的平方根是$\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$5$，$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念
【点评】
本题主要考查算术平方根与平方根的概念辨析，易错点是求解第二空时，容易忽略先化简$\sqrt{25}$，直接求25的平方根得到错误答案$\pm5$，解题时要先明确所求对象，注意正数的平方根有两个，不要漏写正负号。
【难度系数】
0.7
(4)将多项式$5x^2 -4$在实数范围内分解因式的结果是
$(\sqrt{5}x+2)(\sqrt{5}x-2)$
答案
(4) $(\sqrt{5}x+2)(\sqrt{5}x-2)$
解析
【分析】
解题时首先观察待分解的多项式特征：该式为两项，两项符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征；因为要求在实数范围内分解，结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可将$5x^2$转化为$(\sqrt{5}x)^2$，$4$本身是$2^2$，之后直接套用平方差公式即可得到分解结果。
【解析】
解：$5x^2 -4$
$=(\sqrt{5}x)^2 - 2^2$
$=(\sqrt{5}x + 2)(\sqrt{5}x - 2)$
【答案】
$(\sqrt{5}x+2)(\sqrt{5}x-2)$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 二次根式的性质
3. 实数范围内因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对因式分解公式的灵活运用，解题核心是准确识别式子的结构，结合二次根式的性质将原式转化为平方差的标准形式再套用公式即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察待分解的多项式特征：该式为两项，两项符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征；因为要求在实数范围内分解，结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可将$5x^2$转化为$(\sqrt{5}x)^2$，$4$本身是$2^2$，之后直接套用平方差公式即可得到分解结果。
【解析】
解：$5x^2 -4$
$=(\sqrt{5}x)^2 - 2^2$
$=(\sqrt{5}x + 2)(\sqrt{5}x - 2)$
【答案】
$(\sqrt{5}x+2)(\sqrt{5}x-2)$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 二次根式的性质
3. 实数范围内因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对因式分解公式的灵活运用，解题核心是准确识别式子的结构，结合二次根式的性质将原式转化为平方差的标准形式再套用公式即可。
【难度系数】
0.8
(5)已知$a^2=3$，$\sqrt{b}=2$，且$a· b＜0$，则$a+b+\sqrt{3}=$
$4$
.答案
(5) $4$
解析
【分析】
解题时需分三步推导：①根据平方根的定义，由$a^2=3$可得到$a$的两个可能取值；②根据二次根式的性质，对$\sqrt{b}=2$两边同时平方求出$b$的值，且可知$b$为正数；③结合$a· b＜0$的符号限制，判断出$a$的正负，确定$a$的最终取值，最后代入代数式计算结果即可，计算时注意同类二次根式可以抵消。
【解析】
1. 求$a$的取值范围：
由$a^2=3$，根据平方根的定义可得$a=\pm\sqrt{3}$；
2. 求$b$的值：
由$\sqrt{b}=2$，等式两边同时平方得$b=2^2=4$，显然$b=4＞0$；
3. 确定$a$的最终取值：
因为$a· b＜0$，即$a$和$b$异号，$b$为正数，因此$a＜0$，故$a=-\sqrt{3}$；
4. 代入代数式计算：
将$a=-\sqrt{3}$、$b=4$代入$a+b+\sqrt{3}$得：
$a+b+\sqrt{3}=-\sqrt{3}+4+\sqrt{3}=4$
【答案】
4
【知识点】
平方根的定义；二次根式的性质；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，解题的易错点是容易忽略平方等于正数的数有正负两个取值，需结合题目给出的符号条件筛选出正确的参数值，再代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时需分三步推导：①根据平方根的定义，由$a^2=3$可得到$a$的两个可能取值；②根据二次根式的性质，对$\sqrt{b}=2$两边同时平方求出$b$的值，且可知$b$为正数；③结合$a· b＜0$的符号限制，判断出$a$的正负，确定$a$的最终取值，最后代入代数式计算结果即可，计算时注意同类二次根式可以抵消。
【解析】
1. 求$a$的取值范围：
由$a^2=3$，根据平方根的定义可得$a=\pm\sqrt{3}$；
2. 求$b$的值：
由$\sqrt{b}=2$，等式两边同时平方得$b=2^2=4$，显然$b=4＞0$；
3. 确定$a$的最终取值：
因为$a· b＜0$，即$a$和$b$异号，$b$为正数，因此$a＜0$，故$a=-\sqrt{3}$；
4. 代入代数式计算：
将$a=-\sqrt{3}$、$b=4$代入$a+b+\sqrt{3}$得：
$a+b+\sqrt{3}=-\sqrt{3}+4+\sqrt{3}=4$
【答案】
4
【知识点】
平方根的定义；二次根式的性质；代数式求值
【点评】
本题属于二次根式的基础运算题，解题的易错点是容易忽略平方等于正数的数有正负两个取值，需结合题目给出的符号条件筛选出正确的参数值，再代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
3. 已知$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{8}}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\frac{\sqrt{24}}{4}$，…是按一定规律排列的一列数，那么其中第5个数是
$\frac{\sqrt{35}}{5}$
，第n个数是$\frac{\sqrt{(n+1)^2-1}}{n}$
。答案
3. $\frac{\sqrt{35}}{5}$，$\frac{\sqrt{(n+1)^2-1}}{n}$
解析
【分析】
要解决这道找规律的题目，我们可以先把已知的数统一为相同的结构，分别观察分母、分子中根号内的数与数的序号的对应关系：首先将第1个数$\sqrt{3}$改写为$\frac{\sqrt{3}}{1}$，可见前4个数的分母依次为1、2、3、4，恰好和数的序号相同；再看根号内的部分：3、8、15、24，可转化为$2^2-1$、$3^2-1$、$4^2-1$、$5^2-1$，即根号内的数等于“序号+1”的平方减1，按照该规律即可推出第5个数和第n个数的表达式。
【解析】
先将已知数列整理为统一的分数形式：
第1个数：$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{1}$，分母为1，根号内的数为$(1+1)^2-1=3$；
第2个数：$\frac{\sqrt{8}}{2}$，分母为2，根号内的数为$(2+1)^2-1=8$；
第3个数：$\frac{\sqrt{15}}{3}$，分母为3，根号内的数为$(3+1)^2-1=15$；
第4个数：$\frac{\sqrt{24}}{4}$，分母为4，根号内的数为$(4+1)^2-1=24$。
根据上述规律推导：
1. 第5个数：分母为5，根号内的数为$(5+1)^2-1=36-1=35$，因此第5个数为$\frac{\sqrt{35}}{5}$；
2. 第n个数：分母为n，根号内的数为$(n+1)^2-1$，因此第n个数为$\frac{\sqrt{(n+1)^2-1}}{n}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{35}}{5}$，$\frac{\sqrt{(n+1)^2-1}}{n}$
【知识点】
二次根式的概念，数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是将所给数统一为相同结构，拆分各部分分别寻找与序号的对应关系，即可快速得出规律求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道找规律的题目，我们可以先把已知的数统一为相同的结构，分别观察分母、分子中根号内的数与数的序号的对应关系：首先将第1个数$\sqrt{3}$改写为$\frac{\sqrt{3}}{1}$，可见前4个数的分母依次为1、2、3、4，恰好和数的序号相同；再看根号内的部分：3、8、15、24，可转化为$2^2-1$、$3^2-1$、$4^2-1$、$5^2-1$，即根号内的数等于“序号+1”的平方减1，按照该规律即可推出第5个数和第n个数的表达式。
【解析】
先将已知数列整理为统一的分数形式：
第1个数：$\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{1}$，分母为1，根号内的数为$(1+1)^2-1=3$；
第2个数：$\frac{\sqrt{8}}{2}$，分母为2，根号内的数为$(2+1)^2-1=8$；
第3个数：$\frac{\sqrt{15}}{3}$，分母为3，根号内的数为$(3+1)^2-1=15$；
第4个数：$\frac{\sqrt{24}}{4}$，分母为4，根号内的数为$(4+1)^2-1=24$。
根据上述规律推导：
1. 第5个数：分母为5，根号内的数为$(5+1)^2-1=36-1=35$，因此第5个数为$\frac{\sqrt{35}}{5}$；
2. 第n个数：分母为n，根号内的数为$(n+1)^2-1$，因此第n个数为$\frac{\sqrt{(n+1)^2-1}}{n}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{35}}{5}$，$\frac{\sqrt{(n+1)^2-1}}{n}$
【知识点】
二次根式的概念，数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是将所给数统一为相同结构，拆分各部分分别寻找与序号的对应关系，即可快速得出规律求解。
【难度系数】
0.7
