登录
1. 已知$|x|=5$，$|y|=3$. 若$xy＜0$，则$|x-y|$的值为
8
.答案
1. 8
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据绝对值的定义，求出x和y的所有可能取值；第二步，根据“xy＜0”即两数乘积为负，可知x和y符号相反（一正一负），筛选出符合条件的x、y的取值组合；第三步，把符合条件的组合分别代入|x-y|计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵|x|=5，
∴x=5或x=-5；
∵|y|=3，
∴y=3或y=-3；
∵xy＜0，
∴x与y异号，分两种情况讨论：
①当x=5时，y=-3，此时|x-y|=|5 - (-3)|=|5+3|=|8|=8；
②当x=-5时，y=3，此时|x-y|=|-5 - 3|=|-8|=8；
综上，|x-y|的值为8。
【答案】
8
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘法符号法则；有理数减法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是结合绝对值性质和有理数乘法的符号规则进行分类讨论，解题时注意不要漏算取值组合，本题两种取值组合的计算结果一致，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，根据绝对值的定义，求出x和y的所有可能取值；第二步，根据“xy＜0”即两数乘积为负，可知x和y符号相反（一正一负），筛选出符合条件的x、y的取值组合；第三步，把符合条件的组合分别代入|x-y|计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵|x|=5，
∴x=5或x=-5；
∵|y|=3，
∴y=3或y=-3；
∵xy＜0，
∴x与y异号，分两种情况讨论：
①当x=5时，y=-3，此时|x-y|=|5 - (-3)|=|5+3|=|8|=8；
②当x=-5时，y=3，此时|x-y|=|-5 - 3|=|-8|=8；
综上，|x-y|的值为8。
【答案】
8
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘法符号法则；有理数减法运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是结合绝对值性质和有理数乘法的符号规则进行分类讨论，解题时注意不要漏算取值组合，本题两种取值组合的计算结果一致，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 已知$|a|=1$，$|b|=2$，$|c|=3$，且$a＞b＞c$，那么$a+b-c=$
2或0
。答案
2. 2或0
解析
【分析】
解题时先根据绝对值的性质得到a、b、c所有可能的取值，再结合a＞b＞c的大小关系筛选出符合条件的取值组合，最后将每组取值代入a+b-c计算即可得到结果，注意不要漏算符合条件的组合。
【解析】
第一步：根据绝对值的性质确定各数的可能取值：
∵|a|=1，
∴a=1或a=-1；
∵|b|=2，
∴b=2或b=-2；
∵|c|=3，
∴c=3或c=-3。
第二步：根据a＞b＞c筛选符合条件的组合：
a的最大值为1，因此b必须小于1，故b只能取-2；c必须小于b=-2，故c只能取-3；a可取1或-1，共两种符合条件的组合：
①当a=1，b=-2，c=-3时，
a+b-c=1+(-2)-(-3)=1-2+3=2；
②当a=-1，b=-2，c=-3时，
a+b-c=-1+(-2)-(-3)=-1-2+3=0。
综上，a+b-c的值为2或0。
【答案】
2或0
【知识点】
绝对值的性质；有理数大小比较；有理数加减运算
【点评】
本题易错点是容易忽略绝对值等于正数的数有正负两种取值，解题时要先列出所有可能的取值，再结合大小关系筛选，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先根据绝对值的性质得到a、b、c所有可能的取值，再结合a＞b＞c的大小关系筛选出符合条件的取值组合，最后将每组取值代入a+b-c计算即可得到结果，注意不要漏算符合条件的组合。
【解析】
第一步：根据绝对值的性质确定各数的可能取值：
∵|a|=1，
∴a=1或a=-1；
∵|b|=2，
∴b=2或b=-2；
∵|c|=3，
∴c=3或c=-3。
第二步：根据a＞b＞c筛选符合条件的组合：
a的最大值为1，因此b必须小于1，故b只能取-2；c必须小于b=-2，故c只能取-3；a可取1或-1，共两种符合条件的组合：
①当a=1，b=-2，c=-3时，
a+b-c=1+(-2)-(-3)=1-2+3=2；
②当a=-1，b=-2，c=-3时，
a+b-c=-1+(-2)-(-3)=-1-2+3=0。
综上，a+b-c的值为2或0。
【答案】
2或0
【知识点】
绝对值的性质；有理数大小比较；有理数加减运算
【点评】
本题易错点是容易忽略绝对值等于正数的数有正负两种取值，解题时要先列出所有可能的取值，再结合大小关系筛选，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3. 已知非零实数 $ a $，$ b $，$ c $，求 $\frac{|a|}{a} + \frac{b}{|b|} + \frac{|c|}{c} + 3 × \frac{abc}{|abc|}$ 的值.
答案
3. 6或2或−2或−6.
解析
【分析】
对于任意非零实数x，$\frac{|x|}{x}$的取值只有两种：当x＞0时，结果为1；当x＜0时，结果为-1，因此原式的取值由a、b、c的正负性决定。另外有理数乘积的符号规律为：几个非零数相乘，负因数的个数为偶数时乘积为正，负因数个数为奇数时乘积为负，因此我们可以按照a、b、c中负数的个数（0个、1个、2个、3个）分四种情况讨论，分别计算即可得到原式的所有可能值。
【解析】
已知a、b、c为非零实数，对任意非零x，有：
当$x＞0$时，$\frac{|x|}{x}=1$；当$x＜0$时，$\frac{|x|}{x}=-1$。
分以下四种情况计算：
1. 当a、b、c均为正数（负数个数为0）时：
$\frac{|a|}{a}=\frac{|b|}{b}=\frac{|c|}{c}=1$，且abc＞0，$\frac{abc}{|abc|}=1$
原式$=1+1+1 + 3×1 = 3+3=6$
2. 当a、b、c中有1个负数，2个正数时：
前三项中有1个值为-1，2个值为1，和为$-1+1+1=1$，且abc＜0，$\frac{abc}{|abc|}=-1$
原式$=1 + 3×(-1)=1-3=-2$
3. 当a、b、c中有2个负数，1个正数时：
前三项中有2个值为-1，1个值为1，和为$-1-1+1=-1$，且abc＞0，$\frac{abc}{|abc|}=1$
原式$=-1 + 3×1 = -1+3=2$
4. 当a、b、c均为负数（负数个数为3）时：
$\frac{|a|}{a}=\frac{|b|}{b}=\frac{|c|}{c}=-1$，和为$-1-1-1=-3$，且abc＜0，$\frac{abc}{|abc|}=-1$
原式$=-3 + 3×(-1) = -3-3=-6$
综上，原式的值为6或2或-2或-6。
【答案】
6或2或−2或−6
【知识点】
绝对值的化简，有理数乘法符号法则，分类讨论思想
【点评】
本题是绝对值化简的常考题型，解题核心是利用绝对值的性质确定$\frac{|x|}{x}$的取值规律，再结合负因数个数对乘积符号的影响分类计算，注意分类时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
对于任意非零实数x，$\frac{|x|}{x}$的取值只有两种：当x＞0时，结果为1；当x＜0时，结果为-1，因此原式的取值由a、b、c的正负性决定。另外有理数乘积的符号规律为：几个非零数相乘，负因数的个数为偶数时乘积为正，负因数个数为奇数时乘积为负，因此我们可以按照a、b、c中负数的个数（0个、1个、2个、3个）分四种情况讨论，分别计算即可得到原式的所有可能值。
【解析】
已知a、b、c为非零实数，对任意非零x，有：
当$x＞0$时，$\frac{|x|}{x}=1$；当$x＜0$时，$\frac{|x|}{x}=-1$。
分以下四种情况计算：
1. 当a、b、c均为正数（负数个数为0）时：
$\frac{|a|}{a}=\frac{|b|}{b}=\frac{|c|}{c}=1$，且abc＞0，$\frac{abc}{|abc|}=1$
原式$=1+1+1 + 3×1 = 3+3=6$
2. 当a、b、c中有1个负数，2个正数时：
前三项中有1个值为-1，2个值为1，和为$-1+1+1=1$，且abc＜0，$\frac{abc}{|abc|}=-1$
原式$=1 + 3×(-1)=1-3=-2$
3. 当a、b、c中有2个负数，1个正数时：
前三项中有2个值为-1，1个值为1，和为$-1-1+1=-1$，且abc＞0，$\frac{abc}{|abc|}=1$
原式$=-1 + 3×1 = -1+3=2$
4. 当a、b、c均为负数（负数个数为3）时：
$\frac{|a|}{a}=\frac{|b|}{b}=\frac{|c|}{c}=-1$，和为$-1-1-1=-3$，且abc＜0，$\frac{abc}{|abc|}=-1$
原式$=-3 + 3×(-1) = -3-3=-6$
综上，原式的值为6或2或-2或-6。
【答案】
6或2或−2或−6
【知识点】
绝对值的化简，有理数乘法符号法则，分类讨论思想
【点评】
本题是绝对值化简的常考题型，解题核心是利用绝对值的性质确定$\frac{|x|}{x}$的取值规律，再结合负因数个数对乘积符号的影响分类计算，注意分类时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
4. 小明利用某程序设计了一辆小车，最初在数轴上的原点处，第一次向右运动了1个单位长度，紧接着又向左运动了2个单位长度，第三次向右运动了3个单位长度，第四次向左运动了4个单位长度……按以上规律，小车共运动了101次，由此可以判断小车在数轴上的最后落点表示的数是（
A.50
B.51
C.52
D.－50
B
）A.50
B.51
C.52
D.－50
答案
4. B
解析
【分析】
要确定小车最后落点表示的数，首先明确数轴上向右运动记为正，向左运动记为负，将每次运动的位移转化为正负数后求和即可。观察运动规律：奇数次向右（对应正数），偶数次向左（对应负数），总运动次数101是奇数，可先将前100次运动两两分组计算，再加上第101次的位移，简化运算过程。
【解析】
规定数轴上向右运动为正，向左运动为负，则小车101次运动的位移依次为：+1，-2，+3，-4，……，+99，-100，+101。
对位移求和：
$\begin{aligned}&1-2+3-4+\dots+99-100+101\\=&(1-2)+(3-4)+\dots+(99-100)+101\\=&\underbrace{(-1)+(-1)+\dots+(-1)}_{50个}+101\\=&50×(-1)+101\\=&-50+101\\=&51\end{aligned}$
因此小车最后落点表示的数是51。
【答案】
B
【知识点】
正负数的意义，有理数加减混合运算，规律探究
【点评】
本题结合数轴运动场景考查有理数运算和规律归纳能力，解题核心是通过分组简化大量数的加减运算，掌握运动次数奇偶性和运动方向的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要确定小车最后落点表示的数，首先明确数轴上向右运动记为正，向左运动记为负，将每次运动的位移转化为正负数后求和即可。观察运动规律：奇数次向右（对应正数），偶数次向左（对应负数），总运动次数101是奇数，可先将前100次运动两两分组计算，再加上第101次的位移，简化运算过程。
【解析】
规定数轴上向右运动为正，向左运动为负，则小车101次运动的位移依次为：+1，-2，+3，-4，……，+99，-100，+101。
对位移求和：
$\begin{aligned}&1-2+3-4+\dots+99-100+101\\=&(1-2)+(3-4)+\dots+(99-100)+101\\=&\underbrace{(-1)+(-1)+\dots+(-1)}_{50个}+101\\=&50×(-1)+101\\=&-50+101\\=&51\end{aligned}$
因此小车最后落点表示的数是51。
【答案】
B
【知识点】
正负数的意义，有理数加减混合运算，规律探究
【点评】
本题结合数轴运动场景考查有理数运算和规律归纳能力，解题核心是通过分组简化大量数的加减运算，掌握运动次数奇偶性和运动方向的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 观察下列依次排列的一列数：－2，4，－6，8，－10，….按它的排列规律，第10个数为
20
.答案
5. 20
解析
【分析】
解决这类数列找规律的题目，可分别从符号、数值两部分拆分观察：第一步先判断符号规律，观察数列可知奇数位置的数为负，偶数位置的数为正；第二步判断数值规律，各数的绝对值都是对应序号的2倍，即第n个数的绝对值为2n。要求第10个数，先判断10是偶数，符号为正，再代入计算数值即可。
【解析】
1. 分析符号规律：观察数列，第1、3、5…奇数位的数为负，第2、4、6…偶数位的数为正，第10个数是偶数位，符号为正。
2. 分析绝对值规律：第1个数绝对值为2×1=2，第2个数绝对值为2×2=4，第3个数绝对值为2×3=6，可推出第n个数的绝对值为2n。
3. 计算第10个数：当n=10时，绝对值为2×10=20，结合符号为正，可得第10个数是20。
【答案】
20
【知识点】
数列规律探究，有理数的性质
【点评】
本题是规律探究类基础题型，解题核心是将数列拆分为符号和数值两部分分别分析规律，掌握拆分观察的方法就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
解决这类数列找规律的题目，可分别从符号、数值两部分拆分观察：第一步先判断符号规律，观察数列可知奇数位置的数为负，偶数位置的数为正；第二步判断数值规律，各数的绝对值都是对应序号的2倍，即第n个数的绝对值为2n。要求第10个数，先判断10是偶数，符号为正，再代入计算数值即可。
【解析】
1. 分析符号规律：观察数列，第1、3、5…奇数位的数为负，第2、4、6…偶数位的数为正，第10个数是偶数位，符号为正。
2. 分析绝对值规律：第1个数绝对值为2×1=2，第2个数绝对值为2×2=4，第3个数绝对值为2×3=6，可推出第n个数的绝对值为2n。
3. 计算第10个数：当n=10时，绝对值为2×10=20，结合符号为正，可得第10个数是20。
【答案】
20
【知识点】
数列规律探究，有理数的性质
【点评】
本题是规律探究类基础题型，解题核心是将数列拆分为符号和数值两部分分别分析规律，掌握拆分观察的方法就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
6. 已知一列数：1，－2，3，－4，5，－6，7，…. 将这列数排成下列形式.
第1行 1
第2行 －2，3
第3行 －4，5，－6
第4行 7，－8，9，－10
第5行 11，－12，13，－14，15
……
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于
第1行 1
第2行 －2，3
第3行 －4，5，－6
第4行 7，－8，9，－10
第5行 11，－12，13，－14，15
……
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于
−50
，前100个数的和为−50
.答案
6. −50 −50
解析
【分析】解题时首先明确两个核心规律：①原数列的规律：数的绝对值是从1开始的连续正整数，绝对值为奇数时符号为正，绝对值为偶数时符号为负；②排列规律：第n行有n个数，前n行的数字总个数为1+2+3+…+n。求第10行第5个数时，先计算前9行的总数字个数，即可得到第10行第5个数对应原数列的序号，再根据符号规律确定最终数值；求前100个数的和时，可将相邻两个数分为一组，先算每组的和，再乘总组数即可快速得到结果。
【解析】
1. 求第10行从左边数第5个数：
前n行的数字总个数为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，
则前9行的总数字个数为$\frac{9×(9+1)}{2}=45$，
因此第10行第5个数是原数列的第$45+5=50$个数，
50是偶数，对应符号为负，故这个数为$-50$。
2. 求前100个数的和：
前100个数可两两分组：$(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(99-100)$，
共$100÷2=50$组，每组的和为$-1$，
因此总和为$50×(-1)=-50$。
【答案】
$-50$；$-50$
【知识点】
数字规律探究；有理数加减运算；分组求和
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察归纳能力，解题的关键是先梳理清楚数列本身的符号、数值规律以及排列时每行的数字个数规律，求和时采用分组法可大幅降低计算量，是数列规律类的典型题型。
【难度系数】
0.7
【解析】
1. 求第10行从左边数第5个数：
前n行的数字总个数为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，
则前9行的总数字个数为$\frac{9×(9+1)}{2}=45$，
因此第10行第5个数是原数列的第$45+5=50$个数，
50是偶数，对应符号为负，故这个数为$-50$。
2. 求前100个数的和：
前100个数可两两分组：$(1-2)+(3-4)+(5-6)+\dots+(99-100)$，
共$100÷2=50$组，每组的和为$-1$，
因此总和为$50×(-1)=-50$。
【答案】
$-50$；$-50$
【知识点】
数字规律探究；有理数加减运算；分组求和
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察归纳能力，解题的关键是先梳理清楚数列本身的符号、数值规律以及排列时每行的数字个数规律，求和时采用分组法可大幅降低计算量，是数列规律类的典型题型。
【难度系数】
0.7
7. 观察下列等式：
$3^2 - 1^2 = 8×1$；
$5^2 - 3^2 = 8×2$；
$7^2 - 5^2 = 8×3$；
$9^2 - 7^2 = 8×4$；
……
(1)根据上面的规律，若$a^2 - 9^2 = 8×5$，$17^2 - b^2 = 8×8$，则$a=$
(2)尝试用含有自然数$n$的式子表示上述规律。
$3^2 - 1^2 = 8×1$；
$5^2 - 3^2 = 8×2$；
$7^2 - 5^2 = 8×3$；
$9^2 - 7^2 = 8×4$；
……
(1)根据上面的规律，若$a^2 - 9^2 = 8×5$，$17^2 - b^2 = 8×8$，则$a=$
11
，$b=$15
；(2)尝试用含有自然数$n$的式子表示上述规律。
答案
7. (1)11 15
(2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$.
(2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$.
解析
【分析】
首先观察已知等式，可发现等式左边是两个连续奇数的平方差，较大奇数在前，较小奇数在后；等式右边是8与正整数的乘积，该正整数等于等式的序号。先总结出规律的通用特征，再对应(1)中给出的条件求解a、b的值，最后用含自然数n的式子将规律表示出来即可。
【解析】
观察给出的等式：
第1个等式：$3^2 -1^2=8×1$，其中$3=2×1+1$，$1=2×1-1$；
第2个等式：$5^2 -3^2=8×2$，其中$5=2×2+1$，$3=2×2-1$；
第3个等式：$7^2 -5^2=8×3$，其中$7=2×3+1$，$5=2×3-1$；
……
由此可得通用规律：第n个等式为$\boldsymbol{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 =8n}$（n为正整数）。
(1) 对于$a^2 -9^2=8×5$，对应n=5的情况，此时被减数的底数$a=2×5+1=11$；
对于$17^2 -b^2=8×8$，对应n=8的情况，此时减数的底数$b=2×8-1=15$。
(2) 根据上述推导，用自然数n表示的规律即为$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$（n为正整数）。
【答案】
(1)11；15
(2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$
【知识点】
数字类规律探究、整式的运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是通过观察已知等式找到底数的变化特征和右侧乘数的对应关系，也可通过展开整式验证规律的正确性，掌握从特殊到一般的归纳思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式，可发现等式左边是两个连续奇数的平方差，较大奇数在前，较小奇数在后；等式右边是8与正整数的乘积，该正整数等于等式的序号。先总结出规律的通用特征，再对应(1)中给出的条件求解a、b的值，最后用含自然数n的式子将规律表示出来即可。
【解析】
观察给出的等式：
第1个等式：$3^2 -1^2=8×1$，其中$3=2×1+1$，$1=2×1-1$；
第2个等式：$5^2 -3^2=8×2$，其中$5=2×2+1$，$3=2×2-1$；
第3个等式：$7^2 -5^2=8×3$，其中$7=2×3+1$，$5=2×3-1$；
……
由此可得通用规律：第n个等式为$\boldsymbol{(2n+1)^2 - (2n-1)^2 =8n}$（n为正整数）。
(1) 对于$a^2 -9^2=8×5$，对应n=5的情况，此时被减数的底数$a=2×5+1=11$；
对于$17^2 -b^2=8×8$，对应n=8的情况，此时减数的底数$b=2×8-1=15$。
(2) 根据上述推导，用自然数n表示的规律即为$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$（n为正整数）。
【答案】
(1)11；15
(2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$
【知识点】
数字类规律探究、整式的运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是通过观察已知等式找到底数的变化特征和右侧乘数的对应关系，也可通过展开整式验证规律的正确性，掌握从特殊到一般的归纳思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
