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1. 计算：$(-1)^{2026} + (-2)^3 × \left| -\dfrac{1}{4} \right| =$
-1
.答案
1. -1
解析
【分析】
本题是有理数的混合运算，解题时按照有理数混合运算的顺序逐步计算即可：第一步先分别计算乘方和绝对值，第二步计算乘法运算，最后计算加减运算。计算过程中要重点注意符号的判断：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，绝对值的结果是非负数。
【解析】
解：按照有理数混合运算顺序计算：
1. 计算乘方与绝对值：
$(-1)^{2026}$：2026是偶数，负数的偶次幂为正，因此$(-1)^{2026}=1$；
$(-2)^3$：3是奇数，负数的奇次幂为负，$(-2)^3=-2×(-2)×(-2)=-8$；
$\left| -\dfrac{1}{4} \right|$：负数的绝对值是它的相反数，因此$\left| -\dfrac{1}{4} \right|=\dfrac{1}{4}$。
2. 计算乘法运算：
$(-8) × \dfrac{1}{4} = -2$
3. 计算加减运算：
$1 + (-2) = -1$
【答案】
-1
【知识点】
有理数乘方运算；绝对值的性质；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查有理数混合运算的运算顺序以及乘方、绝对值的相关性质，计算时只要严格按照运算顺序逐步求解，注意符号的判断即可避免出错。
【难度系数】
0.8
本题是有理数的混合运算，解题时按照有理数混合运算的顺序逐步计算即可：第一步先分别计算乘方和绝对值，第二步计算乘法运算，最后计算加减运算。计算过程中要重点注意符号的判断：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，绝对值的结果是非负数。
【解析】
解：按照有理数混合运算顺序计算：
1. 计算乘方与绝对值：
$(-1)^{2026}$：2026是偶数，负数的偶次幂为正，因此$(-1)^{2026}=1$；
$(-2)^3$：3是奇数，负数的奇次幂为负，$(-2)^3=-2×(-2)×(-2)=-8$；
$\left| -\dfrac{1}{4} \right|$：负数的绝对值是它的相反数，因此$\left| -\dfrac{1}{4} \right|=\dfrac{1}{4}$。
2. 计算乘法运算：
$(-8) × \dfrac{1}{4} = -2$
3. 计算加减运算：
$1 + (-2) = -1$
【答案】
-1
【知识点】
有理数乘方运算；绝对值的性质；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查有理数混合运算的运算顺序以及乘方、绝对值的相关性质，计算时只要严格按照运算顺序逐步求解，注意符号的判断即可避免出错。
【难度系数】
0.8
2. 定义新运算：对于任意有理数$a$，$b$，都有$a\otimes b = a^2 - b$，例如，$3\otimes 2 = 3^2 - 2 = 7$，那么$\frac{1}{2}\otimes 1 =$
$-\dfrac{3}{4}$
。答案
2. $-\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
解决此类定义新运算的题目，首先要明确新运算的规则，本题中规则为“⊗”前面的数的平方减去“⊗”后面的数。计算$\frac{1}{2}\otimes 1$时，只需将对应位置的数值代入运算公式，再按照有理数的运算顺序计算即可，先算乘方，再算减法。
【解析】
根据题中给出的新运算规则$a\otimes b = a^2 - b$，可得$\frac{1}{2}\otimes 1$中$a=\frac{1}{2}$，$b=1$，代入公式得：
$\frac{1}{2}\otimes 1 = (\frac{1}{2})^2 - 1$
先计算乘方：$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
再计算减法：$\frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
定义新运算、有理数的乘方、有理数的减法
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解新运算的定义，准确代入对应数值，计算时注意有理数乘方的运算规则和减法的符号处理，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解决此类定义新运算的题目，首先要明确新运算的规则，本题中规则为“⊗”前面的数的平方减去“⊗”后面的数。计算$\frac{1}{2}\otimes 1$时，只需将对应位置的数值代入运算公式，再按照有理数的运算顺序计算即可，先算乘方，再算减法。
【解析】
根据题中给出的新运算规则$a\otimes b = a^2 - b$，可得$\frac{1}{2}\otimes 1$中$a=\frac{1}{2}$，$b=1$，代入公式得：
$\frac{1}{2}\otimes 1 = (\frac{1}{2})^2 - 1$
先计算乘方：$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
再计算减法：$\frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
定义新运算、有理数的乘方、有理数的减法
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解新运算的定义，准确代入对应数值，计算时注意有理数乘方的运算规则和减法的符号处理，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
3. 计算:
(1) $(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}) ÷ (-\frac{1}{12});$
(2) $-1^4 - (1 - 0.5) × 2 ÷ (-3)^2.$
(1) $(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}) ÷ (-\frac{1}{12});$
(2) $-1^4 - (1 - 0.5) × 2 ÷ (-3)^2.$
答案
(1) 5 (2) $-\dfrac{10}{9}$
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题思路如下：
(1) 第一小题中除数是$-\frac{1}{12}$，它的倒数是整数$-12$，因此先把除法转化为乘法，再用乘法分配律展开计算，比先算括号内的加减法更简便，计算时注意每一项的符号不要出错。
(2) 第二小题遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算。注意区分$-1^4$和$(-1)^4$的差异，避免把$-1^4$误算为1，每一步计算都要留意符号变化。
【解析】
(1) 计算$(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}) ÷ (-\frac{1}{12})$：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}) × (-12) \quad \mathrm{（除以非零数等于乘它的倒数）}\\&=\frac{1}{3}×(-12) + (-\frac{1}{4})×(-12) + (-\frac{1}{2})×(-12) \quad \mathrm{（乘法分配律）}\\&=-4 + 3 + 6\\&=5\end{aligned}$
(2) 计算$-1^4 - (1 - 0.5) × 2 ÷ (-3)^2$：
$\begin{aligned}原式&=-1 - 0.5×2÷9 \quad \mathrm{（先算乘方和括号内运算：$-1^4=-1$，$(-3)^2=9$，$1-0.5=0.5$）}\\&=-1 - 1÷9 \quad \mathrm{（先算乘法：$0.5×2=1$）}\\&=-1 - \frac{1}{9}\\&=-\frac{10}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{-\dfrac{10}{9}}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考察运算顺序的掌握和运算律的灵活运用，计算时需注意特殊形式乘方的符号判断，合理运用分配律可减少通分步骤，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数的混合运算，解题思路如下：
(1) 第一小题中除数是$-\frac{1}{12}$，它的倒数是整数$-12$，因此先把除法转化为乘法，再用乘法分配律展开计算，比先算括号内的加减法更简便，计算时注意每一项的符号不要出错。
(2) 第二小题遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算。注意区分$-1^4$和$(-1)^4$的差异，避免把$-1^4$误算为1，每一步计算都要留意符号变化。
【解析】
(1) 计算$(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}) ÷ (-\frac{1}{12})$：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}) × (-12) \quad \mathrm{（除以非零数等于乘它的倒数）}\\&=\frac{1}{3}×(-12) + (-\frac{1}{4})×(-12) + (-\frac{1}{2})×(-12) \quad \mathrm{（乘法分配律）}\\&=-4 + 3 + 6\\&=5\end{aligned}$
(2) 计算$-1^4 - (1 - 0.5) × 2 ÷ (-3)^2$：
$\begin{aligned}原式&=-1 - 0.5×2÷9 \quad \mathrm{（先算乘方和括号内运算：$-1^4=-1$，$(-3)^2=9$，$1-0.5=0.5$）}\\&=-1 - 1÷9 \quad \mathrm{（先算乘法：$0.5×2=1$）}\\&=-1 - \frac{1}{9}\\&=-\frac{10}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{-\dfrac{10}{9}}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，乘方运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，重点考察运算顺序的掌握和运算律的灵活运用，计算时需注意特殊形式乘方的符号判断，合理运用分配律可减少通分步骤，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.7
4. 如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1 cm），刻度尺上“0 cm”和“3 cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“6.6 cm”对应数轴上的数为
（
A.$-2.4$
B.$-2.6$
C.$2.6$
D.$-3.6$
（
D
）A.$-2.4$
B.$-2.6$
C.$2.6$
D.$-3.6$
答案
4. D
解析
【分析】
解决本题的核心是先明确刻度尺刻度与数轴数值的对应关系：①先梳理已知对应条件：刻度尺上“0cm”对应数轴上的3，“3cm”对应数轴上的0；②分析变化规律：刻度尺刻度每增加1cm，对应的数轴数值就减少1，因此可总结出换算关系：数轴上的数 = 3 - 刻度尺的刻度值；③最后将刻度尺的6.6cm代入关系计算即可，计算时注意有理数减法的符号不要出错。
【解析】
解：由题意可得刻度尺刻度与数轴数值的换算关系：
数轴上对应的数 = 刻度尺“0cm”对应的数轴数值 - 刻度尺的刻度值
已知刻度尺“0cm”对应数轴上的3，当刻度尺刻度为6.6cm时：
对应的数轴上的数 = 3 - 6.6 = -3.6
故选：D
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；有理数的减法运算
【点评】
本题是数轴与有理数运算结合的基础题，解题的关键是先根据已知的两组对应值推导两者的换算关系，再代入计算，需要注意负数运算的符号问题，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先明确刻度尺刻度与数轴数值的对应关系：①先梳理已知对应条件：刻度尺上“0cm”对应数轴上的3，“3cm”对应数轴上的0；②分析变化规律：刻度尺刻度每增加1cm，对应的数轴数值就减少1，因此可总结出换算关系：数轴上的数 = 3 - 刻度尺的刻度值；③最后将刻度尺的6.6cm代入关系计算即可，计算时注意有理数减法的符号不要出错。
【解析】
解：由题意可得刻度尺刻度与数轴数值的换算关系：
数轴上对应的数 = 刻度尺“0cm”对应的数轴数值 - 刻度尺的刻度值
已知刻度尺“0cm”对应数轴上的3，当刻度尺刻度为6.6cm时：
对应的数轴上的数 = 3 - 6.6 = -3.6
故选：D
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用；有理数的减法运算
【点评】
本题是数轴与有理数运算结合的基础题，解题的关键是先根据已知的两组对应值推导两者的换算关系，再代入计算，需要注意负数运算的符号问题，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
5.已知在纸面上有一数轴，如图，根据给出的数轴，解答下面的问题：
(1)根据图中A，B两点的位置，点A表示数
(2)折叠纸面，若在数轴上表示－1的点与表示5的点重合，回答以下问题：
①数轴上表示10的点与表示
②若数轴上M，N两点之间的距离为2026(点M在点N的左侧)，且M，N两点经折叠后重合，则点M表示数
(1)根据图中A，B两点的位置，点A表示数
1
，点B表示数-3
.(2)折叠纸面，若在数轴上表示－1的点与表示5的点重合，回答以下问题：
①数轴上表示10的点与表示
-6
的点重合；②若数轴上M，N两点之间的距离为2026(点M在点N的左侧)，且M，N两点经折叠后重合，则点M表示数
-1 011
，点N表示数1 015
.答案
5. (1) 1 -3 (2) ① -6 ② -1 011 1 015
解析
【分析】
(1) 第一问直接观察数轴上A、B两点对应的刻度即可得出答案。
(2) 折叠问题的核心是找到折叠的对称中心：折叠后重合的两个点关于折痕所在的点对称，该点是两个重合点的中点，即两点所表示数的平均数。找到对称中心后，①中与10重合的点和10的中点等于对称中心，列算式计算即可；②中M、N两点距离为2026，折叠后重合说明两点到对称中心的距离相等，先算出一半距离，再结合M在N左侧分别计算两点表示的数。
【解析】
(1) 观察数轴可得，点A对应刻度1，点B对应刻度-3，因此点A表示数1，点B表示数-3。
(2) 首先计算折叠的对称中心：已知表示-1的点和表示5的点重合，因此对称中心表示的数为$\frac{-1+5}{2}=2$。
① 设与表示10的点重合的点表示的数为$x$，根据对称点的中点为对称中心，可得$\frac{10+x}{2}=2$，解得$x=2×2 -10=-6$。
② 因为M、N两点折叠后重合，所以两点到对称中心2的距离相等。已知M、N距离为2026，因此两点到2的距离均为$2026÷2=1013$。又因为点M在点N左侧，所以点M表示的数为$2-1013=-1011$，点N表示的数为$2+1013=1015$。
【答案】
(1) 1，-3；(2)① -6；② -1011，1015
【知识点】
数轴的认识，中点计算，折叠对称性质
【点评】
本题结合数轴考查对称的性质，解题的突破口是先根据已知重合的两点求出对称中心，再利用对称点到对称中心距离相等的规律计算待求点表示的数，整体解题思路清晰，属于数轴的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问直接观察数轴上A、B两点对应的刻度即可得出答案。
(2) 折叠问题的核心是找到折叠的对称中心：折叠后重合的两个点关于折痕所在的点对称，该点是两个重合点的中点，即两点所表示数的平均数。找到对称中心后，①中与10重合的点和10的中点等于对称中心，列算式计算即可；②中M、N两点距离为2026，折叠后重合说明两点到对称中心的距离相等，先算出一半距离，再结合M在N左侧分别计算两点表示的数。
【解析】
(1) 观察数轴可得，点A对应刻度1，点B对应刻度-3，因此点A表示数1，点B表示数-3。
(2) 首先计算折叠的对称中心：已知表示-1的点和表示5的点重合，因此对称中心表示的数为$\frac{-1+5}{2}=2$。
① 设与表示10的点重合的点表示的数为$x$，根据对称点的中点为对称中心，可得$\frac{10+x}{2}=2$，解得$x=2×2 -10=-6$。
② 因为M、N两点折叠后重合，所以两点到对称中心2的距离相等。已知M、N距离为2026，因此两点到2的距离均为$2026÷2=1013$。又因为点M在点N左侧，所以点M表示的数为$2-1013=-1011$，点N表示的数为$2+1013=1015$。
【答案】
(1) 1，-3；(2)① -6；② -1011，1015
【知识点】
数轴的认识，中点计算，折叠对称性质
【点评】
本题结合数轴考查对称的性质，解题的突破口是先根据已知重合的两点求出对称中心，再利用对称点到对称中心距离相等的规律计算待求点表示的数，整体解题思路清晰，属于数轴的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
6. 一辆新能源电动出租车充满一次电需要40元. 一天，这辆充满电的出租车以家为出发点，在一条东西走向的道路上载客行驶，规定向东为正，向西为负，载客行驶里程如下(单位：km)：+5，-8，-6，+7，+5，-7. 已知该车每千米耗电成本为0.2元，则剩余电量还能行驶
162
km.答案
6. 162
解析
【分析】
要计算剩余电量还能行驶的里程，我们可以按以下思路解题：首先，先求出出租车充满电后总共能行驶的总里程，用总充电费用除以每千米的耗电成本即可得到；其次，计算出租车已经行驶的总路程，注意行驶方向不影响耗电量，所以需要把每次载客行驶里程的绝对值相加，得到实际消耗电量对应的行驶路程；最后用总可行驶里程减去已经行驶的路程，就能得到剩余电量可行驶的里程。
【解析】
步骤1：计算充满电后总共可行驶的里程
已知充满电需要40元，每千米耗电成本0.2元，总可行驶里程为：
$ 40 ÷ 0.2 = 200 \, \mathrm{km} $
步骤2：计算已经行驶的总路程
行驶路程与方向无关，取各段里程的绝对值相加：
$ |+5| + |-8| + |-6| + |+7| + |+5| + |-7| $
$ = 5 + 8 + 6 + 7 + 5 + 7 = 38 \, \mathrm{km} $
步骤3：计算剩余电量可行驶的里程
用总可行驶里程减去已行驶路程：
$ 200 - 38 = 162 \, \mathrm{km} $
【答案】
162
【知识点】
绝对值的实际应用，有理数的运算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题的关键是明确实际行驶路程为各段里程的绝对值之和，不要被表示方向的正负号干扰，理清数量关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
要计算剩余电量还能行驶的里程，我们可以按以下思路解题：首先，先求出出租车充满电后总共能行驶的总里程，用总充电费用除以每千米的耗电成本即可得到；其次，计算出租车已经行驶的总路程，注意行驶方向不影响耗电量，所以需要把每次载客行驶里程的绝对值相加，得到实际消耗电量对应的行驶路程；最后用总可行驶里程减去已经行驶的路程，就能得到剩余电量可行驶的里程。
【解析】
步骤1：计算充满电后总共可行驶的里程
已知充满电需要40元，每千米耗电成本0.2元，总可行驶里程为：
$ 40 ÷ 0.2 = 200 \, \mathrm{km} $
步骤2：计算已经行驶的总路程
行驶路程与方向无关，取各段里程的绝对值相加：
$ |+5| + |-8| + |-6| + |+7| + |+5| + |-7| $
$ = 5 + 8 + 6 + 7 + 5 + 7 = 38 \, \mathrm{km} $
步骤3：计算剩余电量可行驶的里程
用总可行驶里程减去已行驶路程：
$ 200 - 38 = 162 \, \mathrm{km} $
【答案】
162
【知识点】
绝对值的实际应用，有理数的运算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题的关键是明确实际行驶路程为各段里程的绝对值之和，不要被表示方向的正负号干扰，理清数量关系即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
7. 一辆巡逻车从A地出发，在东西向笔直的马路上巡视，中午到达B地.若规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下表(单位：km)，则B地在A地的
西
边.(填“东”或“西”)答案
7. 西
解析
【分析】
要判断B地在A地的哪一侧，首先明确正负数的含义：本题规定向东为正，向西为负，七次行驶记录的代数和就是巡逻车从A地出发后最终相对于A地的位置。如果代数和为正，说明最终在A地东边；如果代数和为负，说明最终在A地西边。所以解题步骤为：先计算所有行驶记录的和，再根据结果的正负判断方向。
【解析】
解：将七次行驶记录相加，可得：
$\begin{aligned}&(+5)+(-2)+(+4)+(+2)+(-11)+(+3)+(-2)\\=&5-2+4+2-11+3-2\\=&14-15\\=&-1(\mathrm{km})\end{aligned}$
因为规定向东行驶为正，计算结果为负，说明最终位置在A地的西边，即B地在A地的西边。
【答案】
西
【知识点】
正负数的意义；有理数的加减运算
【点评】
本题结合实际行程场景考查正负数的应用，解题的核心是正确理解正负数的实际含义，准确完成有理数的加减混合运算，即可快速判断位置关系。
【难度系数】
0.9
要判断B地在A地的哪一侧，首先明确正负数的含义：本题规定向东为正，向西为负，七次行驶记录的代数和就是巡逻车从A地出发后最终相对于A地的位置。如果代数和为正，说明最终在A地东边；如果代数和为负，说明最终在A地西边。所以解题步骤为：先计算所有行驶记录的和，再根据结果的正负判断方向。
【解析】
解：将七次行驶记录相加，可得：
$\begin{aligned}&(+5)+(-2)+(+4)+(+2)+(-11)+(+3)+(-2)\\=&5-2+4+2-11+3-2\\=&14-15\\=&-1(\mathrm{km})\end{aligned}$
因为规定向东行驶为正，计算结果为负，说明最终位置在A地的西边，即B地在A地的西边。
【答案】
西
【知识点】
正负数的意义；有理数的加减运算
【点评】
本题结合实际行程场景考查正负数的应用，解题的核心是正确理解正负数的实际含义，准确完成有理数的加减混合运算，即可快速判断位置关系。
【难度系数】
0.9
