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5. 如图，
，∠1+∠2+∠3+∠4=
，∠1+∠2+∠3+∠4=280°
。答案
5. 280°
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°。观察图形可知，图中有两个独立的三角形，两个三角形都包含一个40°的内角，我们可以先分别在两个三角形中求出∠1+∠2的和、∠3+∠4的和，再把两个和相加即可得到最终结果。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形的内角和等于180°：
1. 在左侧的三角形中，三个内角为40°、∠1、∠2，因此：
$∠1 + ∠2 + 40° = 180°$
计算得：$∠1 + ∠2 = 180° - 40° = 140°$
2. 在右侧的三角形中，三个内角为40°、∠3、∠4，因此：
$∠3 + ∠4 + 40° = 180°$
计算得：$∠3 + ∠4 = 180° - 40° = 140°$
3. 求和得：$∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 140° + 140° = 280°$
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题的关键是准确找到两个三角形中的已知固定角，分别计算未知角的和再合并，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°。观察图形可知，图中有两个独立的三角形，两个三角形都包含一个40°的内角，我们可以先分别在两个三角形中求出∠1+∠2的和、∠3+∠4的和，再把两个和相加即可得到最终结果。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形的内角和等于180°：
1. 在左侧的三角形中，三个内角为40°、∠1、∠2，因此：
$∠1 + ∠2 + 40° = 180°$
计算得：$∠1 + ∠2 = 180° - 40° = 140°$
2. 在右侧的三角形中，三个内角为40°、∠3、∠4，因此：
$∠3 + ∠4 + 40° = 180°$
计算得：$∠3 + ∠4 = 180° - 40° = 140°$
3. 求和得：$∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 140° + 140° = 280°$
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题的关键是准确找到两个三角形中的已知固定角，分别计算未知角的和再合并，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
6.某地有A，B，C三个村庄，如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东20°方向，同时A村庄又在C村庄的北偏西45°方向，那么∠BAC的度数为多少？
答案
解 由题意可得$∠ PBC=∠ QCB=90°,∠ ABC=∠ PBC-∠ PBA=90°-20°=70°,∠ ACB=∠ QCB-∠ ACQ=90°-45°=45°,$
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-70°-45°=65°,\therefore ∠ BAC$ 的度数是 $65°.$
$\therefore ∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-70°-45°=65°,\therefore ∠ BAC$ 的度数是 $65°.$
解析
【分析】
解题时首先根据方位角的特征，正北方向与正西方向互相垂直，可先求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，再利用三角形内角和为180°，即可计算出∠BAC的度数。第一步：先明确∠PBC和∠QCB都是直角90°；第二步：用90°分别减去已知的偏角得到∠ABC和∠ACB；第三步：代入三角形内角和公式计算∠BAC。
【解析】
由题意可知，正北方向与正西方向垂直，因此$∠PBC=∠QCB=90°$，
则$∠ABC=∠PBC-∠PBA=90°-20°=70°$，
$∠ACB=∠QCB-∠ACQ=90°-45°=45°$，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-45°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
方位角的应用；三角形内角和定理
【点评】
本题是方位角与三角形内角和相结合的基础应用题，解题的核心是准确根据方位角的定义确定三角形内角的度数，再结合内角和定理求解，解题时注意不要混淆偏角对应的角即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据方位角的特征，正北方向与正西方向互相垂直，可先求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数，再利用三角形内角和为180°，即可计算出∠BAC的度数。第一步：先明确∠PBC和∠QCB都是直角90°；第二步：用90°分别减去已知的偏角得到∠ABC和∠ACB；第三步：代入三角形内角和公式计算∠BAC。
【解析】
由题意可知，正北方向与正西方向垂直，因此$∠PBC=∠QCB=90°$，
则$∠ABC=∠PBC-∠PBA=90°-20°=70°$，
$∠ACB=∠QCB-∠ACQ=90°-45°=45°$，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-45°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
方位角的应用；三角形内角和定理
【点评】
本题是方位角与三角形内角和相结合的基础应用题，解题的核心是准确根据方位角的定义确定三角形内角的度数，再结合内角和定理求解，解题时注意不要混淆偏角对应的角即可。
【难度系数】
0.8
7.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中角α称为“特征角”.
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”最小内角的度数.
(2)是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由.
(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”最小内角的度数.
(2)是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由.
答案
7. 解 设三角形的三个内角分别为$α,β,\gamma.$
(1)$\because α=2β,$且$α+β+\gamma=180°,$
$\therefore$ 当$α=100°$时,$β=50°$,则 $\gamma=30°$,
$\therefore$ 这个“特征三角形”的最小内角的度数为 $30°.$
(2)不存在.
$\because α=2β,$且$α+β+\gamma=180°,\therefore$ 当 $α=120°$时,$β=60°$,
则 $\gamma=0°$,此时不能构成三角形,
故不存在“特征角”为 $120°$的三角形.
(1)$\because α=2β,$且$α+β+\gamma=180°,$
$\therefore$ 当$α=100°$时,$β=50°$,则 $\gamma=30°$,
$\therefore$ 这个“特征三角形”的最小内角的度数为 $30°.$
(2)不存在.
$\because α=2β,$且$α+β+\gamma=180°,\therefore$ 当 $α=120°$时,$β=60°$,
则 $\gamma=0°$,此时不能构成三角形,
故不存在“特征角”为 $120°$的三角形.
解析
【分析】
解题需先明确“特征三角形”的核心定义：内角$α=2β$，再结合三角形内角和为$180°$的定理求解。
(1) 已知特征角$α=100°$，先根据$α=2β$算出$β$的度数，再用内角和减去$α$、$β$的度数得到第三个内角，最终比较三个角的大小就能找到最小内角。
(2) 假设存在特征角为$120°$的三角形，按照同样的逻辑计算三个内角的度数，若三个内角都大于$0°$则存在，否则不存在，因为三角形的内角必须大于$0°$才能构成三角形。
【解析】
设三角形的三个内角分别为$α,β,\gamma$。
(1) 由“特征三角形”的定义得$α=2β$，根据三角形内角和定理有$α+β+\gamma=180°$。
当$α=100°$时，$β=\frac{1}{2}α=\frac{1}{2}×100°=50°$，
则$\gamma=180°-α-β=180°-100°-50°=30°$，
对比三个角度数可知最小内角为$30°$。
(2) 不存在，理由如下：
当$α=120°$时，由$α=2β$得$β=\frac{1}{2}α=60°$，
则$\gamma=180°-α-β=180°-120°-60°=0°$，
三角形的内角必须大于$0°$，角度为$0°$时无法构成三角形，因此不存在“特征角”为$120°$的三角形。
【答案】
(1) $30°$；(2) 不存在，理由见解析。
【知识点】
三角形内角和定理；新定义应用
【点评】
本题将新定义与三角形内角和知识点结合考查，解题关键是准确理解“特征三角形”的定义，将新定义转化为角的数量关系，再结合内角和公式计算，同时要注意三角形内角均大于$0°$的隐含限制条件。
【难度系数】
0.8
解题需先明确“特征三角形”的核心定义：内角$α=2β$，再结合三角形内角和为$180°$的定理求解。
(1) 已知特征角$α=100°$，先根据$α=2β$算出$β$的度数，再用内角和减去$α$、$β$的度数得到第三个内角，最终比较三个角的大小就能找到最小内角。
(2) 假设存在特征角为$120°$的三角形，按照同样的逻辑计算三个内角的度数，若三个内角都大于$0°$则存在，否则不存在，因为三角形的内角必须大于$0°$才能构成三角形。
【解析】
设三角形的三个内角分别为$α,β,\gamma$。
(1) 由“特征三角形”的定义得$α=2β$，根据三角形内角和定理有$α+β+\gamma=180°$。
当$α=100°$时，$β=\frac{1}{2}α=\frac{1}{2}×100°=50°$，
则$\gamma=180°-α-β=180°-100°-50°=30°$，
对比三个角度数可知最小内角为$30°$。
(2) 不存在，理由如下：
当$α=120°$时，由$α=2β$得$β=\frac{1}{2}α=60°$，
则$\gamma=180°-α-β=180°-120°-60°=0°$，
三角形的内角必须大于$0°$，角度为$0°$时无法构成三角形，因此不存在“特征角”为$120°$的三角形。
【答案】
(1) $30°$；(2) 不存在，理由见解析。
【知识点】
三角形内角和定理；新定义应用
【点评】
本题将新定义与三角形内角和知识点结合考查，解题关键是准确理解“特征三角形”的定义，将新定义转化为角的数量关系，再结合内角和公式计算，同时要注意三角形内角均大于$0°$的隐含限制条件。
【难度系数】
0.8
