三角形的内切圆与内心
与三角形各边都的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条
的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的。

相切 角平分线 外切三角形

典例 如图，$\odot I$ 是 $△ ABC$ 的内切圆，与 $AB,BC,CA$ 分别相切于点 $D,E,F$，$∠ DEF=50°$. 求 $∠ A$ 的大小.

归纳总结 (1)三角形的内心在三角形的内部.
(2)三角形的内心到三角形三边的距离相等.

解：连接ID、IF。
∵⊙I是△ABC的内切圆，D、F是切点，
∴ID⊥AB，IF⊥AC，
∴∠IDA=∠IFA=90°。
∵∠DEF是⊙I的圆周角，∠DIF是弧DF所对的圆心角，∠DEF=50°，
∴∠DIF=2∠DEF=100°。
在四边形ADIF中，内角和为360°，
∴∠A + ∠IDA + ∠IFA + ∠DIF = 360°，
∴∠A = 360° - 90° - 90° - 100° = 80°。

举一反三 如图，AB是$\odot O$的直径，点M是$△ ABC$的内心，连接BM并延长交AC于点F，交$\odot O$于点E，连接OE，AE，OE与AC相交于点D.求证：

(1)$OD=\frac{1}{2}BC$；
(2)$EM=EA$.
$\because \odot I$是$△ ABC$的内切圆，与AB，CA分别相切于点D，F，
$\therefore ID⊥ AB,IF⊥ AC$，
$\therefore ∠ ADI=∠ AFI=90°$，
$\therefore ∠ A+∠ DIF=180°$，
$\therefore ∠ A=180° - 100°=80°$.

【举一反三】证明 (1)
∵点 M 是△ABC 的内心，
∴∠ABE=∠CBE，
∴$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{AE}$,
∴CD=DA.
∵OA=OB，
∴OD 是△ABC 的中位线，
∴$OD=\frac{1}{2}BC$.
(2)如图,连接 AM.
∵M 是△ABC 的内心，
∴∠BAM = ∠CAM，∠ABE=∠CBE.
∵∠EMA = ∠ABE + ∠BAM,∠EAM=∠CAE+∠CAM,∠CBE=∠CAE，
∴∠EMA=∠EAM.
∴EM=EA.