24.(本小题10分)如图,平面直角坐标系中,已知点$A(a,b),B(a+1,0)$,且$\sqrt{a-1}+(b-3)^2=0$,过点A作$AE⊥OB$于点E,C为x轴上点B右侧的动点,以AC为腰作等腰三角形ACD,使$AD=AC,∠CAD=∠OAB$,直线DB交y轴于点P.
(1)求点A,B,E的坐标,并证明$AO=AB$.
(2)求证:$△ AOC≌△ ABD$.
(3)当点C运动时,点P在y轴上的位置是否发生改变,为什么?

24. (1)【解】
∵$\sqrt{a-1}+(b-3)^2=0$,$\sqrt{a-1}≥0$,$(b-3)^2≥0$,
∴$a-1=0,b-3=0$,
∴$a=1,b=3$,
∴$A(1,3),B(2,0)$.
∵$AE⊥OB,∠AEO=∠AEB=90°$,
∴$E(1,0)$.
∵$A(1,3),B(2,0),AE⊥OB$,
∴$OE=1,BE=2-1=1=OE$.
∴AE垂直平分OB,
∴$AO=AB$.
(2)【证明】
∵$∠CAD=∠OAB$,
∴$∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC$,即$∠BAD=∠OAC$.
在△AOC和△ABD中,
$\begin{cases} OA=AB, \\ ∠OAC=∠BAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
∴$△AOC≌△ABD(SAS)$.
(3)【解】点P在y轴上的位置不发生改变. 理由:
设$∠AOB=α$.
∵$OA=AB$,
∴$∠AOB=∠ABO=α$.
由(2)知,$△AOC≌△ABD$,
∴$∠ABD=∠AOB=α$.
∵$OB=2,∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α$为定值,$∠POB=90°$,
∴$△POB$形状、大小确定,
∴OP长度不变,
∴点P在y轴上的位置不发生改变.