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9.若$a-b=4,ab=3$,则$a^2+b^2$的值是（）
A.10
B.16
C.22
D.28
A.10
B.16
C.22
D.28
答案
C
解析
【分析】
本题可利用完全平方公式的变形求解。我们已知$a-b$和$ab$的值，要求$a^2+b^2$，首先回忆完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，只需将该公式变形，把$a^2+b^2$用含$(a-b)$和$ab$的式子表示，再代入已知数值计算即可。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
对公式变形，移项得：
$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
将$a-b=4$，$ab=3$代入上式：
$a^2+b^2=4^2 + 2×3=16+6=22$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查完全平方公式的变形应用，熟练掌握完全平方公式的常见恒等变形是解题的关键，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题可利用完全平方公式的变形求解。我们已知$a-b$和$ab$的值，要求$a^2+b^2$，首先回忆完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，只需将该公式变形，把$a^2+b^2$用含$(a-b)$和$ab$的式子表示，再代入已知数值计算即可。
【解析】
根据完全平方差公式可得：
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
对公式变形，移项得：
$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$
将$a-b=4$，$ab=3$代入上式：
$a^2+b^2=4^2 + 2×3=16+6=22$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查完全平方公式的变形应用，熟练掌握完全平方公式的常见恒等变形是解题的关键，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
10.【教材P118“阅读与思考”变式】杨辉三角，又称贾宪三角，是$(a+b)^n$展开式的系数在三角形中的一种几何排列.如图，观察下面的杨辉三角：
按照前面的规律，则$(a+b)^5=$.
按照前面的规律，则$(a+b)^5=$.
答案
解：由杨辉三角的排列规律可知，$(a+b)^5$展开式的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，$a$的指数从5逐次递减到0，$b$的指数从0逐次递增到5，因此
$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
解析
【分析】
首先观察总结杨辉三角的规律：每行首尾系数都是1，中间每个系数等于它上方相邻两个系数的和；再结合已给出的低次(a+b)^n展开式的特征：展开式项数为n+1，a的指数从n逐次减1到0，b的指数从0逐次加1到n，每项总次数为n，系数对应杨辉三角对应行的数字。要求(a+b)^5的展开式，先找到对应行的系数，再按照指数规律写出各项相加即可。
【解析】
观察杨辉三角可得，(a+b)^5展开式的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；
结合展开式的指数规律：a的指数从5逐次递减到0，b的指数从0逐次递增到5，每项的次数和为5，因此展开式为：
$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
【答案】
$a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
【知识点】
杨辉三角规律，乘方展开，指数运算
【点评】
本题是规律探究类题型，核心考查学生的观察归纳能力，需要结合给定的杨辉三角和低次乘方展开式，总结出系数和指数的变化规律，掌握规律后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察总结杨辉三角的规律：每行首尾系数都是1，中间每个系数等于它上方相邻两个系数的和；再结合已给出的低次(a+b)^n展开式的特征：展开式项数为n+1，a的指数从n逐次减1到0，b的指数从0逐次加1到n，每项总次数为n，系数对应杨辉三角对应行的数字。要求(a+b)^5的展开式，先找到对应行的系数，再按照指数规律写出各项相加即可。
【解析】
观察杨辉三角可得，(a+b)^5展开式的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；
结合展开式的指数规律：a的指数从5逐次递减到0，b的指数从0逐次递增到5，每项的次数和为5，因此展开式为：
$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
【答案】
$a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
【知识点】
杨辉三角规律，乘方展开，指数运算
【点评】
本题是规律探究类题型，核心考查学生的观察归纳能力，需要结合给定的杨辉三角和低次乘方展开式，总结出系数和指数的变化规律，掌握规律后即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.【新课标·过程纠错】小红在计算$a(1+a)-(a-1)^2$时,解答过程如下:
$a(1+a)-(a-1)^2$
$=a+a^2-(a^2-1)······$第一步
$=a+a^2-a^2-1······$第二步
$=a-1······$第三步
小红的解答从第步开始出错,请写出正确的解答过程.
$a(1+a)-(a-1)^2$
$=a+a^2-(a^2-1)······$第一步
$=a+a^2-a^2-1······$第二步
$=a-1······$第三步
小红的解答从第步开始出错,请写出正确的解答过程.
答案
解：
小红的解答从第一步开始出错。
正确的解答过程如下：
$\begin{aligned}a(1+a)-(a-1)^2&=a+a^2-(a^2-2a+1)\\&=a+a^2-a^2+2a-1\\&=3a-1\end{aligned}$
小红的解答从第一步开始出错。
正确的解答过程如下：
$\begin{aligned}a(1+a)-(a-1)^2&=a+a^2-(a^2-2a+1)\\&=a+a^2-a^2+2a-1\\&=3a-1\end{aligned}$
解析
【分析】
解答这道题需按步骤核对运算规则是否正确：首先看第一步的两个运算，单项式乘多项式$a(1+a)$展开为$a+a^2$是正确的，但完全平方公式展开$(a-1)^2$时，需遵循$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$的规则，小红错将其展开为$a^2-1$，混淆了完全平方公式和平方差公式，因此第一步就出现错误。后续正确解题时，先正确用完全平方公式展开，再根据去括号法则去掉括号（括号前为负号时，括号内每一项都要变号），最后合并同类项即可得到正确结果。
【解析】
小红的解答从第一步开始出错，正确的解答过程如下：
$\begin{aligned}a(1+a)-(a-1)^2&=a+a^2-(a^2-2a+1)\\&=a+a^2-a^2+2a-1\\&=3a-1\end{aligned}$
【答案】
一；正确结果为$\boldsymbol{3a-1}$，解答过程见上述解析。
【知识点】
完全平方公式；单项式乘多项式；去括号法则
【点评】
本题考查整式的混合运算纠错，解题的关键是准确区分完全平方公式与平方差公式，去括号时要注意符号的变化，运算完成后可重新核对展开步骤减少失误。
【难度系数】
0.7
解答这道题需按步骤核对运算规则是否正确：首先看第一步的两个运算，单项式乘多项式$a(1+a)$展开为$a+a^2$是正确的，但完全平方公式展开$(a-1)^2$时，需遵循$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$的规则，小红错将其展开为$a^2-1$，混淆了完全平方公式和平方差公式，因此第一步就出现错误。后续正确解题时，先正确用完全平方公式展开，再根据去括号法则去掉括号（括号前为负号时，括号内每一项都要变号），最后合并同类项即可得到正确结果。
【解析】
小红的解答从第一步开始出错，正确的解答过程如下：
$\begin{aligned}a(1+a)-(a-1)^2&=a+a^2-(a^2-2a+1)\\&=a+a^2-a^2+2a-1\\&=3a-1\end{aligned}$
【答案】
一；正确结果为$\boldsymbol{3a-1}$，解答过程见上述解析。
【知识点】
完全平方公式；单项式乘多项式；去括号法则
【点评】
本题考查整式的混合运算纠错，解题的关键是准确区分完全平方公式与平方差公式，去括号时要注意符号的变化，运算完成后可重新核对展开步骤减少失误。
【难度系数】
0.7
12.【教材 P117 习题 T2 变式】计算：
(1)$201^2 - 198×202$；
(2)$(x+y)(y-x)(x^2 - y^2)$。
(1)$201^2 - 198×202$；
(2)$(x+y)(y-x)(x^2 - y^2)$。
答案
解：
(1) 原式$=(200+1)^2 - (200-2)(200+2)$
$=200^2 + 2×200×1 + 1^2 - (200^2 - 2^2)$
$=40000 + 400 + 1 - 40000 + 4$
$=405$
(2) 原式$=(y+x)(y-x)(x^2 - y^2)$
$=(y^2 - x^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)^2$
$=-(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)$
$=-x^4 + 2x^2y^2 - y^4$
(1) 原式$=(200+1)^2 - (200-2)(200+2)$
$=200^2 + 2×200×1 + 1^2 - (200^2 - 2^2)$
$=40000 + 400 + 1 - 40000 + 4$
$=405$
(2) 原式$=(y+x)(y-x)(x^2 - y^2)$
$=(y^2 - x^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)^2$
$=-(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)$
$=-x^4 + 2x^2y^2 - y^4$
解析
【分析】
(1) 观察算式中数字的特点，201、198、202都接近整百数200，可将201转化为$200+1$，用完全平方公式计算$201^2$；将198转化为$200-2$、202转化为$200+2$，用平方差公式计算$198×202$，避免大数直接相乘，简化计算过程。
(2) 观察式子结构，前两个因式$(x+y)(y-x)$符合平方差公式的形式，先利用平方差公式计算出结果，再观察所得结果与第三个因式$x^2-y^2$互为相反数，变形后可转化为完全平方的形式，最后用完全平方公式展开即可，运算时注意符号变化。
【解析】
(1) 原式$=(200+1)^2 - (200-2)(200+2)$
$=200^2 + 2×200×1 + 1^2 - (200^2 - 2^2)$
$=40000 + 400 + 1 - 40000 + 4$
$=405$
(2) 原式$=(y+x)(y-x)(x^2 - y^2)$
$=(y^2 - x^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)^2$
$=-(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)$
$=-x^4 + 2x^2y^2 - y^4$
【答案】
(1) $\boxed{405}$
(2) $\boxed{-x^4 + 2x^2y^2 - y^4}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式混合运算
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活运用，解题核心是观察代数式的结构特征，合理变形后选择对应的乘法公式简化运算，运算过程中需特别注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
(1) 观察算式中数字的特点，201、198、202都接近整百数200，可将201转化为$200+1$，用完全平方公式计算$201^2$；将198转化为$200-2$、202转化为$200+2$，用平方差公式计算$198×202$，避免大数直接相乘，简化计算过程。
(2) 观察式子结构，前两个因式$(x+y)(y-x)$符合平方差公式的形式，先利用平方差公式计算出结果，再观察所得结果与第三个因式$x^2-y^2$互为相反数，变形后可转化为完全平方的形式，最后用完全平方公式展开即可，运算时注意符号变化。
【解析】
(1) 原式$=(200+1)^2 - (200-2)(200+2)$
$=200^2 + 2×200×1 + 1^2 - (200^2 - 2^2)$
$=40000 + 400 + 1 - 40000 + 4$
$=405$
(2) 原式$=(y+x)(y-x)(x^2 - y^2)$
$=(y^2 - x^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)(x^2 - y^2)$
$=-(x^2 - y^2)^2$
$=-(x^4 - 2x^2y^2 + y^4)$
$=-x^4 + 2x^2y^2 - y^4$
【答案】
(1) $\boxed{405}$
(2) $\boxed{-x^4 + 2x^2y^2 - y^4}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式混合运算
【点评】
本题主要考查乘法公式的灵活运用，解题核心是观察代数式的结构特征，合理变形后选择对应的乘法公式简化运算，运算过程中需特别注意符号的处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
13. 已知多项式 $ A=(x+2)^2 - (x-1)(2+x) - 3 $.
(1)化简多项式 $ A $;
(2)若 $ (x+1)^2 - x^2 = -3 $，求 $ A $ 的值.
03 素养练 学科素养培育
(1)化简多项式 $ A $;
(2)若 $ (x+1)^2 - x^2 = -3 $，求 $ A $ 的值.
03 素养练 学科素养培育
答案
解：
(1) 化简多项式$A$：
$\begin{aligned}A&=(x+2)^2 - (x-1)(2+x) - 3\\&=x^2 + 4x + 4 - (x^2 + 2x - x - 2) - 3\\&=x^2 + 4x + 4 - x^2 - x + 2 - 3\\&=3x + 3\end{aligned}$
(2) 化简已知等式：
$\begin{aligned}(x+1)^2 - x^2&=-3\\x^2 + 2x + 1 - x^2&=-3\\2x + 1&=-3\end{aligned}$
解得$x=-2$。
将$x=-2$代入$A=3x+3$，得：
$A=3×(-2)+3=-3$。
综上，(1) 化简后$A=3x+3$；(2) $A$的值为$-3$。
(1) 化简多项式$A$：
$\begin{aligned}A&=(x+2)^2 - (x-1)(2+x) - 3\\&=x^2 + 4x + 4 - (x^2 + 2x - x - 2) - 3\\&=x^2 + 4x + 4 - x^2 - x + 2 - 3\\&=3x + 3\end{aligned}$
(2) 化简已知等式：
$\begin{aligned}(x+1)^2 - x^2&=-3\\x^2 + 2x + 1 - x^2&=-3\\2x + 1&=-3\end{aligned}$
解得$x=-2$。
将$x=-2$代入$A=3x+3$，得：
$A=3×(-2)+3=-3$。
综上，(1) 化简后$A=3x+3$；(2) $A$的值为$-3$。
解析
【分析】
对于（1），化简多项式A时，先利用完全平方公式展开$(x+2)^2$，用多项式乘多项式法则计算$(x-1)(2+x)$，再去括号、合并同类项就能得到最简结果；对于（2），先利用完全平方公式化简给出的方程，解出x的值，再将x代入（1）得到的A的最简式中计算，即可求出A的值。
【解析】
(1) 化简多项式$A$：
$\begin{aligned}A&=(x+2)^2 - (x-1)(2+x) - 3\\&=x^2 + 4x + 4 - (x^2 + 2x - x - 2) - 3\\&=x^2 + 4x + 4 - x^2 - x + 2 - 3\\&=3x + 3\end{aligned}$
(2) 化简已知等式求解$x$：
$\begin{aligned}(x+1)^2 - x^2&=-3\\x^2 + 2x + 1 - x^2&=-3\\2x + 1&=-3\\2x&=-4\\x&=-2\end{aligned}$
将$x=-2$代入$A=3x+3$，得：
$A=3×(-2)+3=-3$
【答案】
(1) $A=3x+3$；(2) $A=-3$
【知识点】
整式的化简，完全平方公式，一元一次方程解法
【点评】
本题是整式运算的基础题，重点考察整式运算规则和代入求值的方法，解题时注意去括号的符号变化，保证计算准确即可得分。
【难度系数】
0.8
对于（1），化简多项式A时，先利用完全平方公式展开$(x+2)^2$，用多项式乘多项式法则计算$(x-1)(2+x)$，再去括号、合并同类项就能得到最简结果；对于（2），先利用完全平方公式化简给出的方程，解出x的值，再将x代入（1）得到的A的最简式中计算，即可求出A的值。
【解析】
(1) 化简多项式$A$：
$\begin{aligned}A&=(x+2)^2 - (x-1)(2+x) - 3\\&=x^2 + 4x + 4 - (x^2 + 2x - x - 2) - 3\\&=x^2 + 4x + 4 - x^2 - x + 2 - 3\\&=3x + 3\end{aligned}$
(2) 化简已知等式求解$x$：
$\begin{aligned}(x+1)^2 - x^2&=-3\\x^2 + 2x + 1 - x^2&=-3\\2x + 1&=-3\\2x&=-4\\x&=-2\end{aligned}$
将$x=-2$代入$A=3x+3$，得：
$A=3×(-2)+3=-3$
【答案】
(1) $A=3x+3$；(2) $A=-3$
【知识点】
整式的化简，完全平方公式，一元一次方程解法
【点评】
本题是整式运算的基础题，重点考察整式运算规则和代入求值的方法，解题时注意去括号的符号变化，保证计算准确即可得分。
【难度系数】
0.8
14.【新课标·过程性学习】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.
例如:由图1可得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
(1)写出图2所表示的数学等式:
(2)利用上述结论,解决下列问题:已知$a+b+c=11$,$bc+ac+ab=38$,求$a^2+b^2+c^2$的值.
例如:由图1可得到$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
(1)写出图2所表示的数学等式:
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$
;(2)利用上述结论,解决下列问题:已知$a+b+c=11$,$bc+ac+ab=38$,求$a^2+b^2+c^2$的值.
答案
14. 解:(1)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$ (2)由(1)可得 $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-(2ab+2bc+2ac)=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=11^2-2×38=45$.
解析
【分析】
(1) 推导图2的数学等式可从两种计算大正方形面积的思路入手：① 整体计算：大正方形的边长为$a+b+c$，根据正方形面积公式即可表示出整体面积；② 分块计算：将大正方形拆分为若干个小正方形和小长方形，分别计算各部分面积后求和，两种方法得到的面积相等，即可得到对应等式。
(2) 第(2)问可直接利用(1)中得到的恒等式变形，将$a^2+b^2+c^2$用已知的$a+b+c$和$ab+bc+ac$表示，再代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 图2中大正方形的边长为$a+b+c$，因此整体面积为$(a+b+c)^2$；
分块计算面积：包含3个小正方形，面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$，另外有2个面积为$ab$的长方形、2个面积为$bc$的长方形、2个面积为$ac$的长方形，总面积为$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$。
因为两种方式计算的面积相等，因此可得等式：$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$。
(2) 由(1)中的恒等式变形可得：
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$
将$a+b+c=11$，$bc+ac+ab=38$代入上式：
原式$=11^2 - 2×38=121-76=45$。
【答案】
(1) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$；(2) $45$
【知识点】
完全平方公式拓展、代数式代入求值、面积法推导恒等式
【点评】
本题以数形结合的方式考查了代数恒等式的推导与应用，解题的关键是掌握面积法的思路，能够对推导得到的公式进行灵活变形代入计算，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 推导图2的数学等式可从两种计算大正方形面积的思路入手：① 整体计算：大正方形的边长为$a+b+c$，根据正方形面积公式即可表示出整体面积；② 分块计算：将大正方形拆分为若干个小正方形和小长方形，分别计算各部分面积后求和，两种方法得到的面积相等，即可得到对应等式。
(2) 第(2)问可直接利用(1)中得到的恒等式变形，将$a^2+b^2+c^2$用已知的$a+b+c$和$ab+bc+ac$表示，再代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 图2中大正方形的边长为$a+b+c$，因此整体面积为$(a+b+c)^2$；
分块计算面积：包含3个小正方形，面积分别为$a^2$、$b^2$、$c^2$，另外有2个面积为$ab$的长方形、2个面积为$bc$的长方形、2个面积为$ac$的长方形，总面积为$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$。
因为两种方式计算的面积相等，因此可得等式：$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$。
(2) 由(1)中的恒等式变形可得：
$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)$
将$a+b+c=11$，$bc+ac+ab=38$代入上式：
原式$=11^2 - 2×38=121-76=45$。
【答案】
(1) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$；(2) $45$
【知识点】
完全平方公式拓展、代数式代入求值、面积法推导恒等式
【点评】
本题以数形结合的方式考查了代数恒等式的推导与应用，解题的关键是掌握面积法的思路，能够对推导得到的公式进行灵活变形代入计算，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
