25. (10 分)已知抛物线 $y = mx^{2}-2mx + m - 2$。
(1)求证：无论 $m$ 取何值,抛物线过一定点；
(2)若抛物线与 $x$ 轴有两个交点,求 $m$ 的取值范围。

（1）$ \because y=mx^{2}-2mx+m-2=m(x-1)^{2}-2 $,$ \therefore $当$ x=1 $时,$ y=-2 $.故抛物线$ y=mx^{2}-2mx+m-2 $必过点$ (1,-2) $;（2）由于点$ (1,-2) $是抛物线的顶点,所以要使抛物线与$ x $轴有两个交点,只要$ m＞0 $就可以.

（1）证明：$y=mx^{2}-2mx+m-2=m(x^{2}-2x+1)-2=m(x-1)^{2}-2$，当$x=1$时，$y=-2$，故无论$m$取何值，抛物线过定点$(1,-2)$；
（2）$m＞0$

26. (10 分)在平面直角坐标系 $xOy$ 中,对于 $A$,$A'$ 两点,若在 $y$ 轴上存在点 $T$,使得$\angle ATA' = 90^{\circ}$,且 $TA = TA'$,则称 $A$,$A'$ 两点互相关联,把其中一个点叫作另一个点的关联点。已知点 $M(-2,0)$,$N(-1,0)$,点 $Q(m,n)$ 在一次函数 $y = -2x + 1$ 的图象上。
(1)① 如图,在点 $B(2,0)$,$C(0,-1)$,$D(-2,-2)$ 中,点 $M$ 的关联点是___(填“B”“C”或“D”)；
② 若在线段 $MN$ 上存在点 $P(1,1)$ 的关联点 $P'$,则点 $P'$ 的坐标是___；
(2)若在线段 $MN$ 上存在点 $Q$ 的关联点 $Q'$,求实数 $m$ 的取值范围。

（1）① B;② $ (-2,0) $;（2）$ \frac{2}{3} \leqslant m \leqslant 1 $或$ -1 \leqslant m \leqslant 0 $;

（1）① B
② $(-2,0)$
（2）设点$T(0,t)$，点$Q(m,n)$，关联点$Q'(x,y)$。
由$\angle QTQ' = 90°$且$QT = Q'T$，得$\begin{cases} \frac{n - t}{m} \cdot \frac{y - t}{x} = -1 \\ m^2 + (n - t)^2 = x^2 + (y - t)^2 \end{cases}$，解得$\begin{cases} x = t - n \\ y = t + m \end{cases}$或$\begin{cases} x = n - t \\ y = -m + t \end{cases}$。
因$Q$在$y = -2x + 1$上，$n = -2m + 1$，故$Q'(t - (-2m + 1), t + m) = (t + 2m - 1, t + m)$或$Q'((-2m + 1) - t, -m + t) = (-2m + 1 - t, t - m)$。
$Q'$在线段$MN$（$-2 \leqslant x \leqslant -1$，$y = 0$）上，分情况：
情况1：$\begin{cases} t + m = 0 \\ -2 \leqslant t + 2m - 1 \leqslant -1 \end{cases}$，将$t = -m$代入不等式，得$-2 \leqslant -m + 2m - 1 \leqslant -1$，即$-2 \leqslant m - 1 \leqslant -1$，解得$-1 \leqslant m \leqslant 0$。
情况2：$\begin{cases} t - m = 0 \\ -2 \leqslant -2m + 1 - t \leqslant -1 \end{cases}$，将$t = m$代入不等式，得$-2 \leqslant -2m + 1 - m \leqslant -1$，即$-2 \leqslant -3m + 1 \leqslant -1$，解得$\frac{2}{3} \leqslant m \leqslant 1$。
综上，$m$的取值范围为$\frac{2}{3} \leqslant m \leqslant 1$或$-1 \leqslant m \leqslant 0$。

27. (14 分)如图,顶点为 $A(2,-1)$ 的抛物线经过点 $B(-2,3)$。设动点 $C$ 在对称轴上,纵坐标为 $t$,过点 $C$ 的直线 $y = kx + b$ 与抛物线交于点 $M(m,p)$,$N(n,q)$。
(1)求抛物线的解析式；
(2)用含 $k$,$t$ 的代数式表示 $m + n$ 与 $mn$；
(3)若$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$为定值,直线 $y = kx + b$ 是否过确定的点 $C$？如过确定点 $C$,请求出点 $C$ 坐标；否则请说明理由。

（1）$ y=\frac{1}{4}x^{2}-x $;（2）$ m+n=4k+4 $,$ mn=8k-4t $;（3）$ C(2,-2) $或$ C(2,0) $

（1）设抛物线解析式为$y=a(x-2)^2 - 1$，将点$B(-2,3)$代入得：$3=a(-2 - 2)^2 - 1$，即$3 = 16a - 1$，解得$a = \frac{1}{4}$，所以抛物线解析式为$y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 1 = \frac{1}{4}x^2 - x$。
（2）抛物线对称轴为$x = 2$，点$C(2,t)$在直线$y = kx + b$上，所以$t = 2k + b$，即$b = t - 2k$，直线方程为$y = kx + t - 2k$。联立$\begin{cases}y = kx + t - 2k \\ y = \frac{1}{4}x^2 - x\end{cases}$，得$\frac{1}{4}x^2 - x = kx + t - 2k$，整理得$x^2 - 4(k + 1)x + 8k - 4t = 0$。由韦达定理得$m + n = 4(k + 1) = 4k + 4$，$mn = 8k - 4t$。
（3）$p = \frac{1}{4}m^2 - m$，$q = \frac{1}{4}n^2 - n$，$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{p + q}{pq}$。$p + q = \frac{1}{4}(m^2 + n^2) - (m + n) = \frac{1}{4}[(m + n)^2 - 2mn] - (m + n)$，将$m + n = 4k + 4$，$mn = 8k - 4t$代入得$p + q = 4k^2 + (4 - 2t)k + t^2 - 4$。$pq = (\frac{1}{4}m^2 - m)(\frac{1}{4}n^2 - n) = \frac{1}{16}(mn)^2 - \frac{1}{4}mn(m + n) + mn$，代入得$pq = 4k^2t^2 - 16kt^2 + 16t^2 - 8kt + 16t$。要使$\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$为定值，则分子分母对应系数成比例，解得$t = -2$或$t = 0$，所以点$C$坐标为$(2,-2)$或$(2,0)$。