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已知有理数$a,b$满足$ab＜0$，$|a-b|=b-a$，$a+3b+4=|a-2b|$，求代数式$a+\frac{1}{2}b$的值。
答案
$\because |a-b|=b-a,\therefore b≥ a$. 又$\because ab＜0,\therefore a＜0,b＞0.\because a+3b+4=|a-2b|,\therefore a+3b+4=2b-a$,等式两边同时加$a$,减$2b$,减$4$,得$2a+b=-4$,两边同时除以2,得$a+\frac{1}{2}b=-2$.
解析
【分析】
解题时可按以下思路逐步推导：第一步，先由$ab＜0$判断出a、b异号；第二步，根据绝对值的性质，若$|x|=-x$则$x≤0$，结合$|a-b|=b-a=-(a-b)$，可得$a-b≤0$即$b≥ a$，结合a、b异号的结论可确定$a＜0$、$b＞0$；第三步，判断$a-2b$的符号，因a为负、b为正，故$a-2b＜0$，因此$|a-2b|=2b-a$，将其代入第三个等式后，利用等式的性质对等式做整体变形，无需单独求出a、b的具体值，就能直接得到目标代数式的值。
【解析】
解：$\because |a-b|=b-a$，根据绝对值的性质，非正数的绝对值是它的相反数，
$\therefore a-b≤ 0$，即$b≥ a$，
又$\because ab＜0$，说明a、b异号，
$\therefore a＜0$，$b＞0$，
由此可得$a-2b＜0$，因此$|a-2b|=-(a-2b)=2b-a$，
将其代入$a+3b+4=|a-2b|$得：
$a+3b+4=2b-a$，
根据等式的性质1，等式两边同时加$a$、减$2b$、减4，得：
$2a+b=-4$，
根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：
$a+\frac{1}{2}b=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
绝对值的性质；等式的性质；代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题核心是先通过已知条件确定a、b的符号，正确化简绝对值，再利用等式的性质对等式做整体变形，无需单独求解a、b的数值即可得到结果，侧重考察逻辑推导能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路逐步推导：第一步，先由$ab＜0$判断出a、b异号；第二步，根据绝对值的性质，若$|x|=-x$则$x≤0$，结合$|a-b|=b-a=-(a-b)$，可得$a-b≤0$即$b≥ a$，结合a、b异号的结论可确定$a＜0$、$b＞0$；第三步，判断$a-2b$的符号，因a为负、b为正，故$a-2b＜0$，因此$|a-2b|=2b-a$，将其代入第三个等式后，利用等式的性质对等式做整体变形，无需单独求出a、b的具体值，就能直接得到目标代数式的值。
【解析】
解：$\because |a-b|=b-a$，根据绝对值的性质，非正数的绝对值是它的相反数，
$\therefore a-b≤ 0$，即$b≥ a$，
又$\because ab＜0$，说明a、b异号，
$\therefore a＜0$，$b＞0$，
由此可得$a-2b＜0$，因此$|a-2b|=-(a-2b)=2b-a$，
将其代入$a+3b+4=|a-2b|$得：
$a+3b+4=2b-a$，
根据等式的性质1，等式两边同时加$a$、减$2b$、减4，得：
$2a+b=-4$，
根据等式的性质2，等式两边同时除以2，得：
$a+\frac{1}{2}b=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
绝对值的性质；等式的性质；代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，解题核心是先通过已知条件确定a、b的符号，正确化简绝对值，再利用等式的性质对等式做整体变形，无需单独求解a、b的数值即可得到结果，侧重考察逻辑推导能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.6
1. 方程$6x+7=2x-5$的解是
x=-3
.答案
1. $x=-3$
解析
【分析】
这是一道一元一次方程求解的基础题，解题思路遵循解一元一次方程的常规逻辑：首先通过移项把含未知数$x$的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧，注意移项时要改变符号；接下来合并同类项，将方程转化为$ax=b$（$a≠0$）的标准形式；最后将未知数的系数化为1，就能得到方程的解。
【解析】
解：移项，得：$6x - 2x = -5 - 7$
合并同类项，得：$4x = -12$
系数化为1，等号两边同时除以4，得：$x = -3$
【答案】
$x=-3$
【知识点】
解一元一次方程；移项法则；合并同类项
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，核心考查移项时的变号规则，运算难度低，只要熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.9
这是一道一元一次方程求解的基础题，解题思路遵循解一元一次方程的常规逻辑：首先通过移项把含未知数$x$的项统一移到等号左侧，常数项统一移到等号右侧，注意移项时要改变符号；接下来合并同类项，将方程转化为$ax=b$（$a≠0$）的标准形式；最后将未知数的系数化为1，就能得到方程的解。
【解析】
解：移项，得：$6x - 2x = -5 - 7$
合并同类项，得：$4x = -12$
系数化为1，等号两边同时除以4，得：$x = -3$
【答案】
$x=-3$
【知识点】
解一元一次方程；移项法则；合并同类项
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，核心考查移项时的变号规则，运算难度低，只要熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 下列各式的变形中，属于移项的是 （
A.由 $3y -7 -2x$，得 $2x -7 -3y$
B.由 $3x -6 =2x +4$，得 $3x -6 =4 +2x$
C.由 $5x =4x +8$，得 $5x -4x =8$
D.由 $x +6 =3x -2$，得 $3x -2 =x +6$
C
）A.由 $3y -7 -2x$，得 $2x -7 -3y$
B.由 $3x -6 =2x +4$，得 $3x -6 =4 +2x$
C.由 $5x =4x +8$，得 $5x -4x =8$
D.由 $x +6 =3x -2$，得 $3x -2 =x +6$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先要明确移项的核心定义：移项是针对方程（等式）的变形，需要把某一项改变符号后，从等号的一边移动到另一边。解题时我们可以结合移项的两个判断要点（①有项跨等号移动；②移动的项符号改变）逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
首先明确移项的定义：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这类变形叫做移项。
A. $3y-7-2x$是多项式，没有等号不属于方程，不存在移项变形，排除；
B. 仅将等号右侧的$2x$和$4$交换位置，运用的是加法交换律，没有项跨等号移动，不属于移项，排除；
C. 将等号右侧的$4x$变号为$-4x$后移到等号左侧，完全符合移项的定义，当选；
D. 仅将等号左右两边的式子整体交换，没有单独的项跨等号移动，不属于移项，排除。
【答案】
C
【知识点】
移项的定义；方程的变形；加法交换律
【点评】
本题考查对移项概念的辨析，解题时要注意区分移项和加法交换律、等式对称性的差异，牢记移项必须满足“跨等号、必变号”两个核心要求即可快速判断。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确移项的核心定义：移项是针对方程（等式）的变形，需要把某一项改变符号后，从等号的一边移动到另一边。解题时我们可以结合移项的两个判断要点（①有项跨等号移动；②移动的项符号改变）逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
首先明确移项的定义：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这类变形叫做移项。
A. $3y-7-2x$是多项式，没有等号不属于方程，不存在移项变形，排除；
B. 仅将等号右侧的$2x$和$4$交换位置，运用的是加法交换律，没有项跨等号移动，不属于移项，排除；
C. 将等号右侧的$4x$变号为$-4x$后移到等号左侧，完全符合移项的定义，当选；
D. 仅将等号左右两边的式子整体交换，没有单独的项跨等号移动，不属于移项，排除。
【答案】
C
【知识点】
移项的定义；方程的变形；加法交换律
【点评】
本题考查对移项概念的辨析，解题时要注意区分移项和加法交换律、等式对称性的差异，牢记移项必须满足“跨等号、必变号”两个核心要求即可快速判断。
【难度系数】
0.8
3. 下列方程变形正确的是（
① $3x+6=0$变形为$x+2=0$；
② $x+7=5-3x$变形为$4x=-2$；
③ $\frac{2x}{5}=3$变形为$2x=15$；
④ $4x=-2$变形为$x=-2$。
A.①③
B.①②③
C.③④
D.①②④
B
）① $3x+6=0$变形为$x+2=0$；
② $x+7=5-3x$变形为$4x=-2$；
③ $\frac{2x}{5}=3$变形为$2x=15$；
④ $4x=-2$变形为$x=-2$。
A.①③
B.①②③
C.③④
D.①②④
答案
3. B
解析
【分析】
本题考查一元一次方程的变形规则，解题核心是熟练掌握等式的基本性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。我们只需逐一验证4个变形是否符合等式性质即可得出答案。
【解析】
我们逐个判断每个变形的正确性：
① 对$3x+6=0$，等式两边同时除以3，得$\frac{3x}{3}+\frac{6}{3}=\frac{0}{3}$，化简为$x+2=0$，变形正确；
② 对$x+7=5-3x$，移项（移项要变号），将含$x$的项移到左边、常数项移到右边，得$x+3x=5-7$，合并同类项得$4x=-2$，变形正确；
③ 对$\frac{2x}{5}=3$，等式两边同时乘5，得$\frac{2x}{5}×5=3×5$，化简为$2x=15$，变形正确；
④ 对$4x=-2$，等式两边同时除以4，得$x=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$，不是$x=-2$，变形错误。
综上，①②③变形正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程的变形
【点评】
本题是方程变形的基础题，解题时要注意移项需改变符号，等式两边同时乘除同一个数时不要漏乘漏除，系数化为1的步骤要避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次方程的变形规则，解题核心是熟练掌握等式的基本性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。我们只需逐一验证4个变形是否符合等式性质即可得出答案。
【解析】
我们逐个判断每个变形的正确性：
① 对$3x+6=0$，等式两边同时除以3，得$\frac{3x}{3}+\frac{6}{3}=\frac{0}{3}$，化简为$x+2=0$，变形正确；
② 对$x+7=5-3x$，移项（移项要变号），将含$x$的项移到左边、常数项移到右边，得$x+3x=5-7$，合并同类项得$4x=-2$，变形正确；
③ 对$\frac{2x}{5}=3$，等式两边同时乘5，得$\frac{2x}{5}×5=3×5$，化简为$2x=15$，变形正确；
④ 对$4x=-2$，等式两边同时除以4，得$x=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$，不是$x=-2$，变形错误。
综上，①②③变形正确，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程的变形
【点评】
本题是方程变形的基础题，解题时要注意移项需改变符号，等式两边同时乘除同一个数时不要漏乘漏除，系数化为1的步骤要避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
4. 若关于$x$的方程$(a-1)x^{|a|}-2026=0$是一元一次方程，则该方程的解为（
A.$a=\pm1$
B.$a=-1$
C.$x=1013$
D.$x=-1013$
D
）A.$a=\pm1$
B.$a=-1$
C.$x=1013$
D.$x=-1013$
答案
4. D
解析
【分析】
要解决本题，需结合一元一次方程的定义逐步推导：首先一元一次方程需要满足两个核心条件，一是未知数的最高次数为1，二是含未知数的项的系数不为0。我们先根据这两个条件求出参数a的取值，再将a代入原方程求解x的值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^{|a|}-2026=0$是一元一次方程
∴ 需同时满足两个条件：
1. 未知数x的次数为1：$\left|a\right|=1$，解得$a=1$或$a=-1$
2. 一次项系数不为0：$a-1≠0$，即$a≠1$
综上可得$a=-1$
将$a=-1$代入原方程，得：
$(-1-1)x - 2026=0$
整理得$-2x=2026$
两边同时除以$-2$，解得$x=-1013$
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次方程定义的应用，易错点有两个：一是忽略一次项系数不为0的条件，错误取a=1；二是审题不清，误将a的取值当作方程的解错选B。解题时牢记一元一次方程的两个判定条件，先求参数再解方程即可得分。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合一元一次方程的定义逐步推导：首先一元一次方程需要满足两个核心条件，一是未知数的最高次数为1，二是含未知数的项的系数不为0。我们先根据这两个条件求出参数a的取值，再将a代入原方程求解x的值，最后匹配对应选项即可。
【解析】
∵ 方程$(a-1)x^{|a|}-2026=0$是一元一次方程
∴ 需同时满足两个条件：
1. 未知数x的次数为1：$\left|a\right|=1$，解得$a=1$或$a=-1$
2. 一次项系数不为0：$a-1≠0$，即$a≠1$
综上可得$a=-1$
将$a=-1$代入原方程，得：
$(-1-1)x - 2026=0$
整理得$-2x=2026$
两边同时除以$-2$，解得$x=-1013$
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元一次方程定义的应用，易错点有两个：一是忽略一次项系数不为0的条件，错误取a=1；二是审题不清，误将a的取值当作方程的解错选B。解题时牢记一元一次方程的两个判定条件，先求参数再解方程即可得分。
【难度系数】
0.7
5. 当$x=2$时，代数式$2x^2 + 3x + c$的值是10，那么当$x=-2$时，这个代数式的值是（
A.10
B.26
C.6
D.$-2$
D
）A.10
B.26
C.6
D.$-2$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时首先要利用已知的x=2时代数式的值，先求出代数式中未知常数c的值，得到完整的代数式后，再将x=-2代入完整的代数式计算即可得到结果。具体步骤：第一步把x=2代入代数式列关于c的一元一次方程，求解c；第二步把c的值代回原代数式，再代入x=-2计算结果。
【解析】
解：①当x=2时，代入代数式$2x^2 + 3x + c = 10$，得：
$2×2^2 + 3×2 + c = 10$
计算得：$2×4 + 6 + c =10$
即$14 + c =10$
解得：$c = 10 -14 = -4$
②原代数式为$2x^2 + 3x -4$，当x=-2时，代入得：
$2×(-2)^2 + 3×(-2) + (-4)$
$=2×4 -6 -4$
$=8 -6 -4$
$=-2$
因此答案选D。
【答案】D
【知识点】
1. 代数式求值
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心解题思路是先通过已知条件确定代数式中的未知参数，再代入目标值计算，计算时需注意负数参与乘方、乘法运算的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要利用已知的x=2时代数式的值，先求出代数式中未知常数c的值，得到完整的代数式后，再将x=-2代入完整的代数式计算即可得到结果。具体步骤：第一步把x=2代入代数式列关于c的一元一次方程，求解c；第二步把c的值代回原代数式，再代入x=-2计算结果。
【解析】
解：①当x=2时，代入代数式$2x^2 + 3x + c = 10$，得：
$2×2^2 + 3×2 + c = 10$
计算得：$2×4 + 6 + c =10$
即$14 + c =10$
解得：$c = 10 -14 = -4$
②原代数式为$2x^2 + 3x -4$，当x=-2时，代入得：
$2×(-2)^2 + 3×(-2) + (-4)$
$=2×4 -6 -4$
$=8 -6 -4$
$=-2$
因此答案选D。
【答案】D
【知识点】
1. 代数式求值
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心解题思路是先通过已知条件确定代数式中的未知参数，再代入目标值计算，计算时需注意负数参与乘方、乘法运算的符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
6. 方程$2x+a-4=0$的解是$x=-2$，则$a$等于（
A.$-8$
B.$0$
C.$2$
D.$8$
D
）A.$-8$
B.$0$
C.$2$
D.$8$
答案
6. D
解析
【分析】
解题的核心是利用一元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=-2是方程的解，我们只需要把x=-2代入原方程，就可以得到一个只含有未知数a的一元一次方程，再解这个方程就能求出a的取值。
【解析】
解：
∵x=-2是方程$2x+a-4=0$的解
∴将x=-2代入方程，得：
$2×(-2) + a - 4 = 0$
计算左边得：$-4 + a - 4 = 0$
整理得：$a - 8 = 0$
解得：$a = 8$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查方程解的应用，解题的关键是明确方程的解代入原方程后等式仍然成立，代入后求解一元一次方程即可得到答案。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用一元一次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=-2是方程的解，我们只需要把x=-2代入原方程，就可以得到一个只含有未知数a的一元一次方程，再解这个方程就能求出a的取值。
【解析】
解：
∵x=-2是方程$2x+a-4=0$的解
∴将x=-2代入方程，得：
$2×(-2) + a - 4 = 0$
计算左边得：$-4 + a - 4 = 0$
整理得：$a - 8 = 0$
解得：$a = 8$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查方程解的应用，解题的关键是明确方程的解代入原方程后等式仍然成立，代入后求解一元一次方程即可得到答案。
【难度系数】
0.9
问题 解关于$x$的方程$ax + b = 2x + 1$.
名师指导
先移项并合并同类项得$(a - 2)x = 1 - b$，由于不知道$a - 2$是否为0，故分$a - 2 = 0$与$a - 2 ≠ 0$两种情况讨论，且对$a - 2 = 0$的情况再按$1 - b = 0$与$1 - b ≠ 0$分别讨论.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
名师指导
先移项并合并同类项得$(a - 2)x = 1 - b$，由于不知道$a - 2$是否为0，故分$a - 2 = 0$与$a - 2 ≠ 0$两种情况讨论，且对$a - 2 = 0$的情况再按$1 - b = 0$与$1 - b ≠ 0$分别讨论.
解题示范 (学生在教师指导下，独立完成)
解：
答案
解：
移项，得 $ax - 2x = 1 - b$，
合并同类项，得 $(a-2)x = 1 - b$。
① 当 $a - 2 ≠ 0$，即 $a ≠ 2$ 时，
方程两边同时除以 $a-2$，得
$x = \frac{1 - b}{a - 2}$，此时方程有唯一解。
② 当 $a - 2 = 0$，即 $a = 2$ 时：
若 $1 - b = 0$，即 $b = 1$，方程化为 $0 · x = 0$，此时方程有无数个解，任意实数都是方程的解；
若 $1 - b ≠ 0$，即 $b ≠ 1$，方程化为 $0 · x = 1 - b$，此时不存在实数$x$使等式成立，方程无解。
移项，得 $ax - 2x = 1 - b$，
合并同类项，得 $(a-2)x = 1 - b$。
① 当 $a - 2 ≠ 0$，即 $a ≠ 2$ 时，
方程两边同时除以 $a-2$，得
$x = \frac{1 - b}{a - 2}$，此时方程有唯一解。
② 当 $a - 2 = 0$，即 $a = 2$ 时：
若 $1 - b = 0$，即 $b = 1$，方程化为 $0 · x = 0$，此时方程有无数个解，任意实数都是方程的解；
若 $1 - b ≠ 0$，即 $b ≠ 1$，方程化为 $0 · x = 1 - b$，此时不存在实数$x$使等式成立，方程无解。
解析
【分析】
这是含有参数a、b的一元一次方程，解题时先遵循常规解一元一次方程的步骤：先移项，把含x的项移到方程左边，常数项移到方程右边，再合并同类项，得到$(a-2)x=1-b$的形式。由于x的系数含有参数a，无法直接确定系数是否为0，因此需要分类讨论：先分系数不为0（即$a≠2$）和系数为0（即$a=2$）两种情况，当系数为0时，再根据右侧常数项是否为0进一步讨论，最终判断方程解的情况。
【解析】
解：移项，得 $ax - 2x = 1 - b$，
合并同类项，得 $(a-2)x = 1 - b$。
① 当 $a - 2 ≠ 0$，即 $a ≠ 2$ 时，
方程两边同时除以 $a-2$，得
$x = \frac{1 - b}{a - 2}$，此时方程有唯一解。
② 当 $a - 2 = 0$，即 $a = 2$ 时：
若 $1 - b = 0$，即 $b = 1$，方程化为 $0 · x = 0$，此时无论x取何值等式都成立，方程有无数个解，任意实数都是方程的解；
若 $1 - b ≠ 0$，即 $b ≠ 1$，方程化为 $0 · x = 1 - b$，此时不存在实数x使等式成立，方程无解。
【答案】
当$a≠2$时，方程的解为$x=\dfrac{1-b}{a-2}$；
当$a=2$且$b=1$时，方程有无数个解，任意实数都是方程的解；
当$a=2$且$b≠1$时，方程无解。
【知识点】
含参一元一次方程求解；分类讨论思想；解一元一次方程步骤
【点评】
本题是含参数一元一次方程的经典题型，解题核心是明确分类讨论的标准，先对未知数的系数是否为0分类，再对常数项是否为0分类，做到分类不重不漏，能够有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
这是含有参数a、b的一元一次方程，解题时先遵循常规解一元一次方程的步骤：先移项，把含x的项移到方程左边，常数项移到方程右边，再合并同类项，得到$(a-2)x=1-b$的形式。由于x的系数含有参数a，无法直接确定系数是否为0，因此需要分类讨论：先分系数不为0（即$a≠2$）和系数为0（即$a=2$）两种情况，当系数为0时，再根据右侧常数项是否为0进一步讨论，最终判断方程解的情况。
【解析】
解：移项，得 $ax - 2x = 1 - b$，
合并同类项，得 $(a-2)x = 1 - b$。
① 当 $a - 2 ≠ 0$，即 $a ≠ 2$ 时，
方程两边同时除以 $a-2$，得
$x = \frac{1 - b}{a - 2}$，此时方程有唯一解。
② 当 $a - 2 = 0$，即 $a = 2$ 时：
若 $1 - b = 0$，即 $b = 1$，方程化为 $0 · x = 0$，此时无论x取何值等式都成立，方程有无数个解，任意实数都是方程的解；
若 $1 - b ≠ 0$，即 $b ≠ 1$，方程化为 $0 · x = 1 - b$，此时不存在实数x使等式成立，方程无解。
【答案】
当$a≠2$时，方程的解为$x=\dfrac{1-b}{a-2}$；
当$a=2$且$b=1$时，方程有无数个解，任意实数都是方程的解；
当$a=2$且$b≠1$时，方程无解。
【知识点】
含参一元一次方程求解；分类讨论思想；解一元一次方程步骤
【点评】
本题是含参数一元一次方程的经典题型，解题核心是明确分类讨论的标准，先对未知数的系数是否为0分类，再对常数项是否为0分类，做到分类不重不漏，能够有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
