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13.若a是一个整数,则a与3a的大小关系是
（
A.$a＞3a$
B.$a＜3a$
C.$a=3a$
D.无法确定
（
D
）A.$a＞3a$
B.$a＜3a$
C.$a=3a$
D.无法确定
答案
13.D
解析
【分析】
要比较整数a和3a的大小，不能直接默认a为正数判断，因为整数包含正整数、0、负整数三类，我们可以通过分情况讨论不同取值下a和3a的大小关系，也可以用做差法：计算a-3a=-2a，根据a的正负判断-2a的正负，进而判断两者大小关系。
【解析】
整数包括正整数、0、负整数，分三种情况讨论：
1. 当a为正整数时，例如a=1，3a=3，此时a＜3a；
2. 当a=0时，3a=0，此时a=3a；
3. 当a为负整数时，例如a=-1，3a=-3，此时a＞3a。
由于a的取值不确定，三种大小关系都有可能出现，因此无法确定a与3a的大小关系。
【答案】
D
【知识点】
有理数大小比较，整数的分类，分类讨论思想
【点评】
本题容易忽略a为0或负整数的情况，误将a默认成正数直接判断大小，解题时需考虑到整数的所有取值类型，分情况分析后再得出结论。
【难度系数】
0.6
要比较整数a和3a的大小，不能直接默认a为正数判断，因为整数包含正整数、0、负整数三类，我们可以通过分情况讨论不同取值下a和3a的大小关系，也可以用做差法：计算a-3a=-2a，根据a的正负判断-2a的正负，进而判断两者大小关系。
【解析】
整数包括正整数、0、负整数，分三种情况讨论：
1. 当a为正整数时，例如a=1，3a=3，此时a＜3a；
2. 当a=0时，3a=0，此时a=3a；
3. 当a为负整数时，例如a=-1，3a=-3，此时a＞3a。
由于a的取值不确定，三种大小关系都有可能出现，因此无法确定a与3a的大小关系。
【答案】
D
【知识点】
有理数大小比较，整数的分类，分类讨论思想
【点评】
本题容易忽略a为0或负整数的情况，误将a默认成正数直接判断大小，解题时需考虑到整数的所有取值类型，分情况分析后再得出结论。
【难度系数】
0.6
14.有理数$a,b,c,d$在数轴上对应点的位置如图所示，若有理数$b,d$互为相反数，则这四个有理数中，绝对值最大的是 （
A.$a$
B.$b$
C.$c$
D.$d$
A
）A.$a$
B.$b$
C.$c$
D.$d$
答案
14.A
解析
【分析】
解题时首先结合数轴的性质明确四个数的大小关系，再根据“互为相反数的两个数到原点的距离相等”确定原点的位置，最后根据“绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离”，比较四个点到原点的距离，距离越远绝对值越大，就能得出结果。
【解析】
1. 由数轴的特征可知：数轴上右侧的数总大于左侧的数，因此$a ＜ b ＜ c ＜ d$；
2. 已知$b$和$d$互为相反数，根据相反数的几何意义，原点是线段$bd$的中点，即$b$和$d$到原点的距离相等；
3. 观察各点位置：点$a$在$b$的左侧，因此点$a$到原点的距离大于点$b$到原点的距离；点$c$在$b$和$d$之间，因此点$c$到原点的距离小于点$b$到原点的距离。
综上，四个点中$a$到原点的距离最远，因此绝对值最大的是$a$。
【答案】
A
【知识点】
数轴的特征；相反数的性质；绝对值的几何意义
【点评】
本题考查数轴、相反数、绝对值的综合应用，核心是利用数形结合的思想，先通过相反数确定原点位置，再比较各点到原点的距离判断绝对值大小，是对基础概念应用的典型考查。
【难度系数】
0.75
解题时首先结合数轴的性质明确四个数的大小关系，再根据“互为相反数的两个数到原点的距离相等”确定原点的位置，最后根据“绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离”，比较四个点到原点的距离，距离越远绝对值越大，就能得出结果。
【解析】
1. 由数轴的特征可知：数轴上右侧的数总大于左侧的数，因此$a ＜ b ＜ c ＜ d$；
2. 已知$b$和$d$互为相反数，根据相反数的几何意义，原点是线段$bd$的中点，即$b$和$d$到原点的距离相等；
3. 观察各点位置：点$a$在$b$的左侧，因此点$a$到原点的距离大于点$b$到原点的距离；点$c$在$b$和$d$之间，因此点$c$到原点的距离小于点$b$到原点的距离。
综上，四个点中$a$到原点的距离最远，因此绝对值最大的是$a$。
【答案】
A
【知识点】
数轴的特征；相反数的性质；绝对值的几何意义
【点评】
本题考查数轴、相反数、绝对值的综合应用，核心是利用数形结合的思想，先通过相反数确定原点位置，再比较各点到原点的距离判断绝对值大小，是对基础概念应用的典型考查。
【难度系数】
0.75
15.有一位同学在比较两个数的大小时，不慎把右边的一个有理数小数点后面的一位数字弄上了墨水，$-1 \frac{1}{2} ＞ -1.■$，请你帮这位同学想一想“■”中这个数字可能是
6或7或8或9
。答案
15.6或7或8或9
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆两个负数比较大小的核心规则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。第一步先把左边的带分数转化为小数，再根据大小关系转化为绝对值的大小比较，就能求出被墨水遮挡的数字的取值范围，再结合数字是小数点后一位的整数，就能得到可能的取值。
【解析】
1. 先将左边的带分数化为小数：$-1\frac{1}{2} = -1.5$。
2. 根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小。已知$-1.5 ＞ -1.■$，说明$-1.5$的绝对值小于$-1.■$的绝对值，即：
$|-1.5| ＜ |-1.■|$
也就是$1.5 ＜ 1.■$。
3. 因为两个数整数部分相同，只需比较十分位的数字，所以被遮挡的十分位数字要大于5，又因为小数点后一位数字是0~9的整数，符合要求的数字为6、7、8、9。
【答案】
6或7或8或9
【知识点】
有理数大小比较、负数比较大小规则、分数化小数
【点评】
本题是有理数大小比较的基础变式题，解题的关键是熟练掌握负数比较大小的规则，避免因混淆负数和正数大小比较的逻辑出错，同时要注意小数点后一位数字的取值范围是0到9的整数。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆两个负数比较大小的核心规则：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。第一步先把左边的带分数转化为小数，再根据大小关系转化为绝对值的大小比较，就能求出被墨水遮挡的数字的取值范围，再结合数字是小数点后一位的整数，就能得到可能的取值。
【解析】
1. 先将左边的带分数化为小数：$-1\frac{1}{2} = -1.5$。
2. 根据两个负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小。已知$-1.5 ＞ -1.■$，说明$-1.5$的绝对值小于$-1.■$的绝对值，即：
$|-1.5| ＜ |-1.■|$
也就是$1.5 ＜ 1.■$。
3. 因为两个数整数部分相同，只需比较十分位的数字，所以被遮挡的十分位数字要大于5，又因为小数点后一位数字是0~9的整数，符合要求的数字为6、7、8、9。
【答案】
6或7或8或9
【知识点】
有理数大小比较、负数比较大小规则、分数化小数
【点评】
本题是有理数大小比较的基础变式题，解题的关键是熟练掌握负数比较大小的规则，避免因混淆负数和正数大小比较的逻辑出错，同时要注意小数点后一位数字的取值范围是0到9的整数。
【难度系数】
0.7
16.已知有理数a,b,其中数a在如图的数轴上对应点M,b是负数,且b在数轴上对应的点与原点的距离为3.5.
(1)a=
(2)比较大小,将a,0,−2,b这四个数用“＜”连接起来.
(1)a=
$2$
,b=$-3.5$
;(2)比较大小,将a,0,−2,b这四个数用“＜”连接起来.
答案
16.解:(1)2 -3.5
(2)如图所示
所以$b＜-2＜0＜a$。
解析
【分析】
解题思路如下：第(1)问，先通过观察数轴上点M的位置直接得到a的值；再根据“b是负数，且到原点的距离为3.5”，结合绝对值的几何意义，即可求出b的值。第(2)问，可先确定四个数的正负性，再根据“负数小于0小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的规则比较，也可以将四个数标注在数轴上，利用“数轴上左边的数总小于右边的数”的规律排序。
【解析】
(1) 观察给出的数轴，点M对应刻度为2，因此$a=2$；
已知b是负数，且b对应的点与原点的距离为3.5，即$|b|=3.5$，因此负数b为$b=-3.5$。
(2) 四个数分别为$a=2$，$b=-3.5$，$0$，$-2$：
首先比较负数部分：$|-3.5|=3.5$，$|-2|=2$，因为$3.5＞2$，所以$-3.5＜-2$；
再结合“负数小于0，正数大于0”的规律，可得$-3.5＜-2＜0＜2$，即$b＜-2＜0＜a$，也可通过数轴标注验证，如图所示。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{-3.5}$
(2) 如图所示，$b＜-2＜0＜a$
【知识点】
数轴的应用，绝对值的意义，有理数大小比较
【点评】
本题是有理数相关的基础题，重点考查对数轴、绝对值概念的理解，以及有理数大小比较方法的掌握，熟练掌握基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：第(1)问，先通过观察数轴上点M的位置直接得到a的值；再根据“b是负数，且到原点的距离为3.5”，结合绝对值的几何意义，即可求出b的值。第(2)问，可先确定四个数的正负性，再根据“负数小于0小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的规则比较，也可以将四个数标注在数轴上，利用“数轴上左边的数总小于右边的数”的规律排序。
【解析】
(1) 观察给出的数轴，点M对应刻度为2，因此$a=2$；
已知b是负数，且b对应的点与原点的距离为3.5，即$|b|=3.5$，因此负数b为$b=-3.5$。
(2) 四个数分别为$a=2$，$b=-3.5$，$0$，$-2$：
首先比较负数部分：$|-3.5|=3.5$，$|-2|=2$，因为$3.5＞2$，所以$-3.5＜-2$；
再结合“负数小于0，正数大于0”的规律，可得$-3.5＜-2＜0＜2$，即$b＜-2＜0＜a$，也可通过数轴标注验证，如图所示
。【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{-3.5}$
(2) 如图所示
，$b＜-2＜0＜a$【知识点】
数轴的应用，绝对值的意义，有理数大小比较
【点评】
本题是有理数相关的基础题，重点考查对数轴、绝对值概念的理解，以及有理数大小比较方法的掌握，熟练掌握基础概念就能快速解题。
【难度系数】
0.9
17.如图，数轴上有三个点，它们所表示的数分别为$a,b,c$.
(1)在数轴上标出$a,b,c$的相反数$-a,-b,-c$；
(2)把$a,b,c$和它们的相反数用“$＜$”连接起来；
(3)如果将表示数$a$的点向左移动3个单位长度，同时将表示数$b$的点向右移动4个单位长度，表示数$c$的点保持在原来的位置，则移动后$a,b,c$三个数的大小关系如何？
(1)在数轴上标出$a,b,c$的相反数$-a,-b,-c$；
(2)把$a,b,c$和它们的相反数用“$＜$”连接起来；
(3)如果将表示数$a$的点向左移动3个单位长度，同时将表示数$b$的点向右移动4个单位长度，表示数$c$的点保持在原来的位置，则移动后$a,b,c$三个数的大小关系如何？
答案
17.解:(1)a,b,c的相反数$-a,-b,-c$,所对应的点如图所示:
(2)由数轴得出$-a＜b＜-c＜c＜-b＜a$。
(3)数a,b所对应的点移动后所对应的数$a',b'$的位置如图所示:
根据数轴得出,$a'＜c＜b'$,即移动后a,b,c三个数的大小关系为$a＜c＜b$。
解析
【分析】
本题可按以下思路逐步求解第(1)问：需先明确互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称、到原点距离相等的几何特征，先确定a=3、b=-2、c=1，对应相反数分别为-3、2、-1，在数轴上找到对应位置标注即可。
求解第(2)问：利用数轴上数的大小比较规则：数轴上从左到右依次增大，将a、b、c及相反数共6个数按从左到右排列即可得到大小关系。
求解第(3)问：根据数轴上点的移动规律"左减右加"，先计算移动后a、b的新数值：a左移3个单位为3-3=0，b右移4个单位为-2+4=2，c保持1不变，再比较三者大小即可。
【解析】
(1) 根据相反数的几何意义，a的相反数-a=-3、b的相反数-b=2、c的相反数-c=-1，标注位置如图所示：。
(2) 观察数轴上6个数从左到右依次为：-a、b、-c、c、-b、a，根据数轴上左边的数总小于右边的数，可得大小关系为$-a＜b＜-c＜c＜-b＜a$。
(3) 点移动后a对应数值为3-3=0，b对应数值为-2+4=2，c保持1不变，移动后a'、b'的位置如图，比较得0＜1＜2，即$a＜c＜b$。
【答案】
(1)
(2) $-a＜b＜-c＜c＜-b＜a$
(3)，移动后a,b,c三个数的大小关系为$a＜c＜b$。
【知识点】
相反数的概念，有理数大小比较，数轴点的平移规律
【点评】
本题综合考查了相反数的意义、有理数大小比较方法及数轴上点的平移规则，利用数形结合思想可快速解题。
【难度哦点评：本题结合数轴考查了相反数、有理数大小比较、数轴点移动的相关知识，利用数形结合思想可快速解题，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题可按以下思路逐步求解第(1)问：需先明确互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称、到原点距离相等的几何特征，先确定a=3、b=-2、c=1，对应相反数分别为-3、2、-1，在数轴上找到对应位置标注即可。
求解第(2)问：利用数轴上数的大小比较规则：数轴上从左到右依次增大，将a、b、c及相反数共6个数按从左到右排列即可得到大小关系。
求解第(3)问：根据数轴上点的移动规律"左减右加"，先计算移动后a、b的新数值：a左移3个单位为3-3=0，b右移4个单位为-2+4=2，c保持1不变，再比较三者大小即可。
【解析】
(1) 根据相反数的几何意义，a的相反数-a=-3、b的相反数-b=2、c的相反数-c=-1，标注位置如图所示：
。(2) 观察数轴上6个数从左到右依次为：-a、b、-c、c、-b、a，根据数轴上左边的数总小于右边的数，可得大小关系为$-a＜b＜-c＜c＜-b＜a$。
(3) 点移动后a对应数值为3-3=0，b对应数值为-2+4=2，c保持1不变，移动后a'、b'的位置如图
，比较得0＜1＜2，即$a＜c＜b$。【答案】
(1)
(2) $-a＜b＜-c＜c＜-b＜a$
(3)
，移动后a,b,c三个数的大小关系为$a＜c＜b$。【知识点】
相反数的概念，有理数大小比较，数轴点的平移规律
【点评】
本题综合考查了相反数的意义、有理数大小比较方法及数轴上点的平移规则，利用数形结合思想可快速解题。
【难度哦点评：本题结合数轴考查了相反数、有理数大小比较、数轴点移动的相关知识，利用数形结合思想可快速解题，难度适中。
【难度系数】
0.7
18.有两只小蚂蚁在如图所示的数轴上爬行，蚂蚁甲从图中点A的位置沿数轴向右爬了4个单位长度到达点C处，蚂蚁乙从图中点B的位置沿数轴向左爬了8个单位长度到达点D处.
(1)在数轴上描出点C，D的位置；
(2)若点E到点C与点E到点D的距离相等，在数轴上描出点E的位置，并用“＜”把点A，B，C，D，E所表示的数连接起来.
(1)在数轴上描出点C，D的位置；
(2)若点E到点C与点E到点D的距离相等，在数轴上描出点E的位置，并用“＜”把点A，B，C，D，E所表示的数连接起来.
答案
18.解:(1)由题意,得点C表示的数为0,点D表示的数为-3,在数轴上描出点C,D的位置,如图:
(2)点C和点D的中点所表示的数是-1.5,在数轴上描出点E的位置,如上图.用“＜”把点A,B,C,D,E所表示的数连接起来为$-4＜-3＜-1.5＜0＜5$。
解析
【分析】
解题时首先从给定数轴读取点A、B对应的数，数轴上点向右移动时对应数增加，向左移动时对应数减少，据此可计算出点C、D表示的数，完成第一问描点；第二问中，到C、D两点距离相等的点E是线段CD的中点，中点表示的数为C、D两数的平均数，计算出E对应的数后，根据数轴上“左小右大”的规律即可将五个点的数从小到大排序。
【解析】
(1) 观察数轴得：点A表示的数为-4，点B表示的数为5。
根据数轴上点平移“右加左减”的规律：
蚂蚁甲从A向右爬4个单位到C，点C表示的数为：$-4+4=0$
蚂蚁乙从B向左爬8个单位到D，点D表示的数为：$5-8=-3$
在数轴上0的位置描出点C，在-3的位置描出点D即可。
(2) 点E到C、D的距离相等，说明E是CD的中点，因此E表示的数为C、D两数的平均数：
$\frac{0+(-3)}{2}=-1.5$，在数轴上-2和-1的中点位置描出点E。
各点对应的数分别为：A：-4，D：-3，E：-1.5，C：0，B：5，根据数轴上左边的数小于右边的数，排序得：$-4＜-3＜-1.5＜0＜5$。
【答案】
(1)由题意,得点C表示的数为0,点D表示的数为-3,在数轴上描出点C,D的位置,如图:
(2)点C和点D的中点所表示的数是-1.5,在数轴上描出点E的位置,如上图.用“＜”把点A,B,C,D,E所表示的数连接起来为$-4＜-3＜-1.5＜0＜5$。
【知识点】
数轴的应用；有理数加减运算；有理数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查有理数基础知识点，解题关键是熟练掌握数轴上点平移的规律和有理数大小比较的方法，难度较低，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先从给定数轴读取点A、B对应的数，数轴上点向右移动时对应数增加，向左移动时对应数减少，据此可计算出点C、D表示的数，完成第一问描点；第二问中，到C、D两点距离相等的点E是线段CD的中点，中点表示的数为C、D两数的平均数，计算出E对应的数后，根据数轴上“左小右大”的规律即可将五个点的数从小到大排序。
【解析】
(1) 观察数轴得：点A表示的数为-4，点B表示的数为5。
根据数轴上点平移“右加左减”的规律：
蚂蚁甲从A向右爬4个单位到C，点C表示的数为：$-4+4=0$
蚂蚁乙从B向左爬8个单位到D，点D表示的数为：$5-8=-3$
在数轴上0的位置描出点C，在-3的位置描出点D即可。
(2) 点E到C、D的距离相等，说明E是CD的中点，因此E表示的数为C、D两数的平均数：
$\frac{0+(-3)}{2}=-1.5$，在数轴上-2和-1的中点位置描出点E。
各点对应的数分别为：A：-4，D：-3，E：-1.5，C：0，B：5，根据数轴上左边的数小于右边的数，排序得：$-4＜-3＜-1.5＜0＜5$。
【答案】
(1)由题意,得点C表示的数为0,点D表示的数为-3,在数轴上描出点C,D的位置,如图:
(2)点C和点D的中点所表示的数是-1.5,在数轴上描出点E的位置,如上图.用“＜”把点A,B,C,D,E所表示的数连接起来为$-4＜-3＜-1.5＜0＜5$。
【知识点】
数轴的应用；有理数加减运算；有理数大小比较
【点评】
本题结合生活场景考查有理数基础知识点，解题关键是熟练掌握数轴上点平移的规律和有理数大小比较的方法，难度较低，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
19.[数学文化]高斯符号$[x]$首次出现是在数学家高斯(C. F. Causs)的数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数$x$，通常用$[x]$表示不超过$x$的最大整数，如$[2.9]=2$. 给出如下结论：①$[-3]=-3$，②$[-2.9]=-2$，③$[0.9]=0$，④$-[-\frac{1}{2}]=0$. 以上结论中，你认为正确的有
①③
(填序号).答案
19.①③ 【解析】①$[-3]=-3$,②$[-2.9]=-3$,③$[0.9]=0$,④$-[-\dfrac{1}{2}]=1$.所以正确的有①③。
解析
【分析】
解题核心是先准确理解高斯符号$[x]$的定义：$[x]$表示不超过$x$的最大整数，也就是小于或等于$x$的所有整数中最大的那个。接下来我们按照这个定义逐个判断4个结论即可，判断时要特别注意负数的情况，不要把“不超过”错误理解为“最接近”。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
① 对于$[-3]$，不超过$-3$的最大整数就是$-3$，故①正确；
② 对于$[-2.9]$，比$-2.9$小的整数有$-3、-4$等，其中最大的是$-3$，所以$[-2.9]=-3≠-2$，故②错误；
③ 对于$[0.9]$，不超过$0.9$的最大整数是$0$，故③正确；
④ 先计算$[-\frac{1}{2}]=[-0.5]$，不超过$-0.5$的最大整数是$-1$，因此$-[-\frac{1}{2}]=-(-1)=1≠0$，故④错误。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
①③
【知识点】
新定义运算，有理数大小比较
【点评】
本题以数学文化为背景考查新定义问题，解题关键是准确把握高斯符号的含义，处理负数取整时要牢记“不超过”是指小于等于，不要被数的接近性误导。
【难度系数】
0.7
解题核心是先准确理解高斯符号$[x]$的定义：$[x]$表示不超过$x$的最大整数，也就是小于或等于$x$的所有整数中最大的那个。接下来我们按照这个定义逐个判断4个结论即可，判断时要特别注意负数的情况，不要把“不超过”错误理解为“最接近”。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
① 对于$[-3]$，不超过$-3$的最大整数就是$-3$，故①正确；
② 对于$[-2.9]$，比$-2.9$小的整数有$-3、-4$等，其中最大的是$-3$，所以$[-2.9]=-3≠-2$，故②错误；
③ 对于$[0.9]$，不超过$0.9$的最大整数是$0$，故③正确；
④ 先计算$[-\frac{1}{2}]=[-0.5]$，不超过$-0.5$的最大整数是$-1$，因此$-[-\frac{1}{2}]=-(-1)=1≠0$，故④错误。
综上，正确的结论是①③。
【答案】
①③
【知识点】
新定义运算，有理数大小比较
【点评】
本题以数学文化为背景考查新定义问题，解题关键是准确把握高斯符号的含义，处理负数取整时要牢记“不超过”是指小于等于，不要被数的接近性误导。
【难度系数】
0.7
