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8. 一个几何体的三种视图如图4-2-6所示，其俯视图是正方形。求左视图中AB的长。
答案
8. $2\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先根据三视图可判断该几何体是底面为正方形的直四棱柱，左视图中的线段AB对应的是俯视图中正方形的对角线长度。解题时先明确俯视图正方形的边长，再利用勾股定理计算正方形的对角线，即可得到AB的长。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的直棱柱，俯视图是边长为2的正方形。
左视图中AB的长度等于俯视图正方形的对角线长，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
三视图的识别，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题考查三视图与实物图的对应关系，解题的核心是找准左视图的边长与俯视图线段的对应关系，结合基础几何计算即可解答，是三视图相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先根据三视图可判断该几何体是底面为正方形的直四棱柱，左视图中的线段AB对应的是俯视图中正方形的对角线长度。解题时先明确俯视图正方形的边长，再利用勾股定理计算正方形的对角线，即可得到AB的长。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的直棱柱，俯视图是边长为2的正方形。
左视图中AB的长度等于俯视图正方形的对角线长，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
三视图的识别，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题考查三视图与实物图的对应关系，解题的核心是找准左视图的边长与俯视图线段的对应关系，结合基础几何计算即可解答，是三视图相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 如图4-2-7①所示的组合几何体的下面是一个长方体，上面是一个圆柱。图4-2-7②是它的两种视图。
(1)在图4-2-7②的横线上填写出两种视图的名称；
(2)根据两种视图中的数据(单位：cm)，这个组合几何体的体积是
9. 如图4-2-7①所示的组合几何体的下面是一个长方体，上面是一个圆柱。图4-2-7②是它的两种视图。
(1)在图4-2-7②的横线上填写出两种视图的名称；
(2)根据两种视图中的数据(单位：cm)，这个组合几何体的体积是
$(80+24π)\mathrm{cm}^3$
。答案
9.(1)主 俯 (2)$(80+24π)\mathrm{cm}^3$
解析
【分析】
(1) 判断视图名称需结合三视图定义分析：主视图是从物体正面观察得到的图形，能反映物体的正面高度和长度；俯视图是从物体上方观察得到的图形，能反映物体顶面的形状和长宽尺寸。左侧视图可看到长方体的高、长和圆柱的高、底面直径，和正面观察特征匹配；右侧视图可看到长方体顶面的长、宽和圆柱顶面的圆形投影，和上方观察特征匹配。
(2) 组合几何体体积为长方体体积与圆柱体积之和，首先从视图中提取对应尺寸：长方体长8cm、宽5cm、高2cm；圆柱底面直径4cm、高6cm，分别代入体积公式求和即可。
【解析】
(1) 左侧视图符合从正面观察得到的主视图特征，右侧视图符合从上方观察得到的俯视图特征，故依次填写主、俯。
(2) 分别计算两个几何体的体积：
长方体体积：$V_{\mathrm{长方体}}=长×宽×高=8×5×2=80\ \mathrm{cm}^3$
圆柱底面半径$r=4÷2=2\ \mathrm{cm}$，圆柱体积：$V_{\mathrm{圆柱}}=π r^2 h=π×2^2×6=24π\ \mathrm{cm}^3$
组合体总体积：$V=V_{\mathrm{长方体}}+V_{\mathrm{圆柱}}=(80+24π)\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) 主；俯 (2) $(80+24π)\mathrm{cm}^3$
【知识点】
三视图识别、组合体体积计算
【点评】
本题侧重基础能力的考查，解题核心是准确从视图中提取几何体的尺寸参数，牢记常见几何体体积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 判断视图名称需结合三视图定义分析：主视图是从物体正面观察得到的图形，能反映物体的正面高度和长度；俯视图是从物体上方观察得到的图形，能反映物体顶面的形状和长宽尺寸。左侧视图可看到长方体的高、长和圆柱的高、底面直径，和正面观察特征匹配；右侧视图可看到长方体顶面的长、宽和圆柱顶面的圆形投影，和上方观察特征匹配。
(2) 组合几何体体积为长方体体积与圆柱体积之和，首先从视图中提取对应尺寸：长方体长8cm、宽5cm、高2cm；圆柱底面直径4cm、高6cm，分别代入体积公式求和即可。
【解析】
(1) 左侧视图符合从正面观察得到的主视图特征，右侧视图符合从上方观察得到的俯视图特征，故依次填写主、俯。
(2) 分别计算两个几何体的体积：
长方体体积：$V_{\mathrm{长方体}}=长×宽×高=8×5×2=80\ \mathrm{cm}^3$
圆柱底面半径$r=4÷2=2\ \mathrm{cm}$，圆柱体积：$V_{\mathrm{圆柱}}=π r^2 h=π×2^2×6=24π\ \mathrm{cm}^3$
组合体总体积：$V=V_{\mathrm{长方体}}+V_{\mathrm{圆柱}}=(80+24π)\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) 主；俯 (2) $(80+24π)\mathrm{cm}^3$
【知识点】
三视图识别、组合体体积计算
【点评】
本题侧重基础能力的考查，解题核心是准确从视图中提取几何体的尺寸参数，牢记常见几何体体积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
10. 图4-2-8①是从上面看一个由小正方体所搭成的几何体得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数。
(1)请在图4-2-8②中画出该几何体的主视图和左视图；
(2)请计算该几何体的表面积；(每个小正方体的棱长为1)
(3)在该几何体上最多再添加
(1)请在图4-2-8②中画出该几何体的主视图和左视图；
(2)请计算该几何体的表面积；(每个小正方体的棱长为1)
(3)在该几何体上最多再添加
2
个小正方体，可以保持主视图和左视图不变。答案
10. 解:(1)如答图4-2-3所示。
(2)上、下面积:4+4=8，
前、后面积:5+5=10，
左、右面积:4+4=8，
表面积=8+10+8=26。
故该几何体的表面积为26。
(3)2
解析
【分析】
(1) 画主视图和左视图：主视图从正面观察，列数与俯视图的列数一致，每列小正方形的个数为俯视图对应列的最大数字；左视图从左面观察，列数与俯视图的行数一致，每列小正方形的个数为俯视图对应行的最大数字，按该规则画图即可。
(2) 计算表面积：每个小正方体棱长为1，单个面面积为1，几何体表面积等于上、下、前、后、左、右六个方向外露面的面积之和，分别统计各方向面数相加即可。
(3) 添加小正方体：要保持主视图不变，需保证俯视图每列的最大高度不改变；要保持左视图不变，需保证俯视图每行的最大高度不改变，找出满足高度限制的可添加位置，统计个数即可。
【解析】
(1) 主视图共3列，从左到右每列小正方形个数依次为2、1、2，即下层画3个小正方形，上层左、右位置各画1个小正方形；左视图共2列，从左到右每列小正方形个数依次为2、1，即下层画2个小正方形，上层左位置画1个小正方形，图形如下：
(2) 每个小正方体单个面的面积为$1×1=1$：
上、下方向：外露面共$4+4=8$，面积和为8；
前、后方向：外露面共$5+5=10$，面积和为10；
左、右方向：外露面共$4+4=8$，面积和为8；
总表面积为$8+10+8=26$。
(3) 要满足主视图不变，俯视图左列最大高度2、中列最大高度1、右列最大高度2不能变，因此中列无法添加；要满足左视图不变，俯视图后排最大高度2、前排最大高度1不能变，因此前排添加的高度不能超过1。可添加的位置为前排左列、前排右列，共2个位置，最多可添加2个小正方体。
【答案】
(1)
(2) 该几何体的表面积为26；
(3) 2
【知识点】
三视图的画法，几何体表面积计算，三视图的应用
【点评】
本题综合考查三视图与几何体的对应关系，画图时要明确三视图的观察方向和列高规则，计算表面积时要避免漏算外露面，添加小正方体时要同时满足两个视图的高度限制，整体考查空间想象能力。
【难度系数】
0.65
(1) 画主视图和左视图：主视图从正面观察，列数与俯视图的列数一致，每列小正方形的个数为俯视图对应列的最大数字；左视图从左面观察，列数与俯视图的行数一致，每列小正方形的个数为俯视图对应行的最大数字，按该规则画图即可。
(2) 计算表面积：每个小正方体棱长为1，单个面面积为1，几何体表面积等于上、下、前、后、左、右六个方向外露面的面积之和，分别统计各方向面数相加即可。
(3) 添加小正方体：要保持主视图不变，需保证俯视图每列的最大高度不改变；要保持左视图不变，需保证俯视图每行的最大高度不改变，找出满足高度限制的可添加位置，统计个数即可。
【解析】
(1) 主视图共3列，从左到右每列小正方形个数依次为2、1、2，即下层画3个小正方形，上层左、右位置各画1个小正方形；左视图共2列，从左到右每列小正方形个数依次为2、1，即下层画2个小正方形，上层左位置画1个小正方形，图形如下：
(2) 每个小正方体单个面的面积为$1×1=1$：
上、下方向：外露面共$4+4=8$，面积和为8；
前、后方向：外露面共$5+5=10$，面积和为10；
左、右方向：外露面共$4+4=8$，面积和为8；
总表面积为$8+10+8=26$。
(3) 要满足主视图不变，俯视图左列最大高度2、中列最大高度1、右列最大高度2不能变，因此中列无法添加；要满足左视图不变，俯视图后排最大高度2、前排最大高度1不能变，因此前排添加的高度不能超过1。可添加的位置为前排左列、前排右列，共2个位置，最多可添加2个小正方体。
【答案】
(1)
(2) 该几何体的表面积为26；
(3) 2
【知识点】
三视图的画法，几何体表面积计算，三视图的应用
【点评】
本题综合考查三视图与几何体的对应关系，画图时要明确三视图的观察方向和列高规则，计算表面积时要避免漏算外露面，添加小正方体时要同时满足两个视图的高度限制，整体考查空间想象能力。
【难度系数】
0.65
