1. 教材练习变式 若两个相似三角形对应角平分线的比是$2:3$,则它们的对应边的比是 （）

A.$2:3$
B.$4:9$
C.$16:81$
D.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$

1.A 由两个相似三角形对应角平分线的比是2:3,知它们的相似比是2:3,故它们的对应边的比是2:3.

【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的对应线段（含对应角平分线、对应高、对应中线等）的比等于相似比，且相似三角形对应边的比也等于相似比。我们先从已知的对应角平分线的比推导得出两个三角形的相似比，再结合相似比与对应边比的关系，就能得到最终结果。
【解析】
解：根据相似三角形的性质，相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
已知两个相似三角形对应角平分线的比为$2:3$，因此两个三角形的相似比为$2:3$。
又因为相似三角形的对应边的比等于相似比，所以它们的对应边的比是$2:3$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.相似比的概念
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础考查题，解题核心是明确相似三角形的各类对应线段比、对应边比均等于相似比，牢记该性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. [2026天水麦积区期末]如图是一把折叠椅子及其侧面示意图,把一个简易刻度尺垂直于地面AB放置,其中AB与零刻度线重合,点O落在“3”刻度线上,CD与“5”刻度线重合.若测得AB=50 cm,则CD的长为 ()


A.30 cm
B.$\frac{100}{3}$ cm
C.20 cm
D.$\frac{25}{4}$ cm

2.B 根据题意可得 $CD// AB,\therefore △ COD∽△ BOA,\therefore \frac{CD}{BA} = \frac{2}{3}.\because AB = 50\ \mathrm{cm},\therefore CD = \frac{2}{3} ×50 = \frac{100}{3}(\mathrm{cm}).$

【分析】
首先观察图形特征，刻度尺垂直于地面AB，CD与“5”刻度线重合，点O落在“3”刻度线上，可推出CD平行于AB，进而能判定△COD和△BOA相似。再结合相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应高的比，先计算两个三角形对应高的比值，即O到CD的距离与O到AB的距离之比为(5-3):3=2:3，最后代入AB的长度即可求出CD的长。
【解析】
解：由题意得$CD// AB$，
$\therefore ∠ C=∠ OBA$，$∠ D=∠ OAB$，
$\therefore △ COD∽ △ BOA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
$△ COD$中CD边上的高为$5-3=2$个单位长度，$△ BOA$中AB边上的高为3个单位长度，
根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{CD}{AB}=\frac{2}{3}$，
将$AB=50\ \mathrm{cm}$代入得：
$CD=\frac{2}{3}×50=\frac{100}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活场景考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确识别相似三角形，通过对应高的比值确定相似比，进而求解未知边长，属于几何基础应用题。
【难度系数】
0.7

3. 易错题 [2026长春第四十五中学月考]若两个相似三角形的对应边长之比为3:7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为.

3. $\frac{6}{7}或\frac{14}{3}$ 根据题意可得这两个三角形对应中线长之比为3:7.已知其中一个三角形的一条中线长为2,设另一条对应中线的长为x(对应边不确定,需要分类讨论).①当另一条对应中线是小三角形的中线时,可得$\frac{3}{7} = \frac{x}{2},\therefore x = \frac{6}{7}$;②当另一条对应中线是大三角形的中线时,可得$\frac{3}{7} = \frac{2}{x},\therefore x = \frac{14}{3}$.综上,另一个三角形对应中线的长为$\frac{6}{7}$或$\frac{14}{3}$.

【分析】
首先运用相似三角形的核心性质：相似三角形对应中线的比等于相似比。已知两个相似三角形对应边长比为3:7，即相似比为3:7，因此对应中线的比也为3:7。由于题目未明确长为2的中线属于较大三角形还是较小三角形，因此需要分两种情况分类讨论，分别列对应比例式求解即可得到结果。
【解析】
根据相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比，因此两个三角形的对应中线长之比为3:7。
设另一个三角形对应中线的长为$x$，分两种情况讨论：
① 若长为2的中线是较大三角形的中线，即所求中线为较小三角形的中线，可得比例式：
$\frac{3}{7}=\frac{x}{2}$
解得$x=\frac{6}{7}$
② 若长为2的中线是较小三角形的中线，即所求中线为较大三角形的中线，可得比例式：
$\frac{3}{7}=\frac{2}{x}$
解得$x=\frac{14}{3}$
综上，另一个三角形对应中线的长为$\frac{6}{7}$或$\frac{14}{3}$。
【答案】
$\frac{6}{7}$或$\frac{14}{3}$
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是典型的易错题，易错点为忽略已知中线所属三角形的不确定性，仅计算出一种结果。解题时要注意相似比的前后项对应关系，结合分类讨论思想全面分析问题，避免漏解。
【难度系数】
0.6

4. [2025绥化中考]两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是 ()

A.14 cm
B.18 cm
C.30 cm
D.34 cm

4.B 设较小三角形的周长为x cm,则较大三角形的周长为(48 - x) cm.
∵ 两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm,$\therefore \frac{x}{48-x} = \frac{6}{10},\therefore x = 18,\therefore$ 较小三角形的周长为18 cm.

【分析】
本题考查相似三角形性质的应用，解题思路如下：首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比值。题中给出的两个相似三角形的最长边是一组对应边，可直接得到较小三角形与较大三角形的相似比为6:10。已知两个三角形周长之和为48cm，我们可以设较小三角形的周长为未知数，用周长和表示出较大三角形的周长，再根据周长比等于相似比列方程求解即可。
【解析】
设较小三角形的周长为$x$ cm，则较大三角形的周长为$(48 - x)$ cm。
∵ 两个三角形相似，最长边分别为10cm（较大三角形）和6cm（较小三角形），相似三角形的周长比等于相似比
∴ $\frac{x}{48-x} = \frac{6}{10}$
交叉相乘得：$10x=6×(48-x)$
展开移项得：$10x+6x=288$
合并同类项得：$16x=288$
解得：$x=18$
【答案】
B
【知识点】
相似三角形性质，相似比，一元一次方程应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的核心是准确对应大小三角形的边，避免搞反相似比，结合已知条件列方程计算即可，属于常规考题，掌握基础性质就能轻松得分。
【难度系数】
0.8

5. [2024云南中考]如图，AB与CD交于点O，且AC//BD。若$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{BD} =$。

5. $\frac{1}{2}$ $\because AC// BD,\therefore △ ACO∽△ BDO,\therefore \frac{AC}{BD} = \frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}.$

【分析】
解题时首先观察已知条件：AC//BD，AB与CD交于点O，可先根据平行线的性质得到内错角相等，进而判定△ACO和△BDO相似；再分析给出的等式，分子是△ACO的周长，分母是△BDO的周长，结合相似三角形“周长比等于相似比（对应边的比）”的性质，即可直接得出AC与BD的比值。
【解析】
解：
∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D（两直线平行，内错角相等），
∴△ACO∽△BDO。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于对应边的比，可得：
$\frac{AC}{BD}=\frac{C_{△ACO}}{C_{△BDO}}=\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}$，
又
∵$\frac{OA + OC + AC}{OB + OD + BD} = \frac{1}{2}$，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
平行线的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查相似三角形判定和性质的综合应用，解题的关键是准确识别相似三角形，明确已知等式对应的是两个相似三角形的周长比，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE//BC.若BC=8 cm, $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$,则△ADE的周长为 cm.

6. 6 $\because DE// BC,\therefore △ ADE∽△ ABC.\because \frac{AD}{AB} = \frac{1}{4},\therefore △ ADE$和$△ ABC$的周长比为$\frac{1}{4}.\because BC = 8\ \mathrm{cm},△ ABC$为等边三角形,$\therefore △ ABC$的周长为24 cm,$\therefore △ ADE$的周长为6 cm.

【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：一是△ABC为等边三角形，二是DE//BC，三是$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$、BC=8cm。首先由DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，再结合相似三角形“周长比等于相似比”的性质，先计算出等边△ABC的周长，再按相似比就能求出△ADE的周长。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$，
$\therefore △ ADE$与$△ ABC$的周长比为$\frac{1}{4}$（相似三角形的周长比等于相似比）。
$\because △ ABC$是等边三角形，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ ABC$的周长为$3× 8=24\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ ADE$的周长为$24× \frac{1}{4}=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；等边三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的核心是先准确判定三角形相似，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质计算，解题过程中注意结合等边三角形周长的计算方法即可。
【难度系数】
0.8

7. [2024重庆中考A卷]若两个相似三角形的相似比是1:3,则这两个相似三角形的面积比是 ()

A.$1:3$
B.$1:4$
C.$1:6$
D.$1:9$

7.D

【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质，明确相似三角形的面积比和相似比的对应关系：相似三角形的面积比等于相似比的平方。题干已经直接给出相似比为1:3，我们只需要对相似比做平方运算，即可得到对应的面积比，再匹配选项即可。
【解析】
根据相似三角形的性质可知：相似三角形的面积比等于相似比的平方。
已知两个相似三角形的相似比为$1:3$，因此它们的面积比为$(1:3)^2=1^2:3^2=1:9$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 相似比与面积比的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记相似三角形各类比值和相似比的对应关系，注意区分面积比是相似比的平方，不要和周长比（等于相似比）混淆即可快速得分。
【难度系数】
0.9

8. [2026重庆万州区沙河中学月考] 把一个三角形放大为与它相似的三角形，若它的面积扩大为原来的9倍，则它的周长扩大为原来的倍.

8. 3 $\because$ 两个相似三角形的面积比为1:9,$\therefore$ 这两个相似三角形的相似比为1:3,$\therefore$ 这两个相似三角形的周长比为1:3,$\therefore$ 周长扩大为原来的3倍.

【分析】
解题时首先明确已知条件：待求的是相似三角形面积扩大9倍后周长扩大的倍数。我们可以按照如下思路推导：第一步，先由面积的倍数关系得到两个相似三角形的面积比；第二步，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求出两个三角形的相似比；第三步，结合“相似三角形的周长比等于相似比”，即可得到周长扩大的倍数。
【解析】
已知相似三角形的面积扩大为原来的9倍，因此两个相似三角形的面积比为1:9。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得这两个相似三角形的相似比为1:3。
又因为相似三角形的周长比等于相似比，所以这两个相似三角形的周长比为1:3，即周长扩大为原来的3倍。
【答案】
3
【知识点】
1.相似三角形面积比性质
2.相似三角形周长比性质
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题型，解题关键是厘清相似比、面积比、周长比三者的对应关系，注意不要混淆面积比和相似比的平方对应关系，避免直接将面积比等同于周长比导致出错。
【难度系数】
0.8

9. [2025佛山顺德区期中]如图,在$□ ABCD$中,E为AD上一点,连接AC,BE交于点F,若$\frac{S_{△ AFE}}{S_{△ CFB}}=\frac{9}{25}$,则$\frac{AE}{ED}$为.

9. $\frac{3}{2}$ 在$□ ABCD$中,$AD// BC,AD = BC,\therefore △ AFE∽△ CFB.$$\because \frac{S_{△ AFE}}{S_{△ CFB}} = \frac{9}{25},\therefore \frac{AE}{AD} = \frac{AE}{BC} = \frac{3}{5},\therefore \frac{AE}{ED} = \frac{3}{2}.$

【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，可得AD//BC、AD=BC，由此可推出△AFE与△CFB的对应角相等，判定两三角形相似。再根据相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，由已知的面积比求出对应边AE与BC的比值，结合BC=AD的关系，将BC替换为AD得到AE与AD的比值，最后把ED表示为AD-AE，即可求出AE与ED的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF，
∴△AFE∽△CFB。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$\frac{S_{△ AFE}}{S_{△ CFB}}=\frac{9}{25}$，
∴△AFE与△CFB的相似比为$\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$，即$\frac{AE}{BC}=\frac{3}{5}$。
又
∵AD=BC，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{3}{5}$，
设AE=3k（k≠0），则AD=5k，
∴ED=AD-AE=5k-3k=2k，
∴$\frac{AE}{ED}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的常规题型，解题核心是熟练掌握相似三角形面积比和相似比的关系，结合平行四边形对边相等的性质推导边长比例，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7

10. 教材练习变式 [2026 攀枝花仁和区期末] 如图，△ABC是一块花园，D，E分别为线段BC，BA的中点，在△EBD中种植太阳花，其余地方种植薰衣草.设整个花园的面积为$S_1$，种植薰衣草区域的面积为$S_2$，则$\frac{S_2}{S_1}$的值为.

10. $\frac{3}{4}$ $\because D,E$分别为线段BC,BA的中点,$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,$\therefore DE// AC,\frac{DE}{AC} = \frac{1}{2},\therefore △ BDE∽△ BCA,\therefore \frac{S_{△ BDE}}{S_1} = (\frac{DE}{AC})^2 = \frac{1}{4},\therefore \frac{S_2}{S_1} = \frac{S_1 - S_{△ BDE}}{S_1} = 1 - \frac{S_{△ BDE}}{S_1} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.$

【分析】
解题时首先从已知条件出发，已知D、E分别是BC、BA的中点，可先判定DE是△ABC的中位线，利用中位线的性质得到DE与AC的平行关系和边长比，由此可推出△BDE与△BCA相似；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，求出种植太阳花的△EBD的面积占总面积的比例，最后用总面积对应的比例1减去太阳花的面积占比，即可得到薰衣草区域的面积占比。
【解析】
∵ D，E分别为线段BC，BA的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// AC$，$\frac{DE}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ $△ BDE ∽ △ BCA$，
∴ 相似三角形的面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ BDE}}{S_1}=(\frac{DE}{AC})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∵ 种植薰衣草的面积$S_2 = S_1 - S_{△ BDE}$，
∴ $\frac{S_2}{S_1}=\frac{S_1 - S_{△ BDE}}{S_1}=1-\frac{S_{△ BDE}}{S_1}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定；相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于基础常考题，将几何知识结合实际场景考查，解题核心是熟练掌握中位线性质和相似三角形的面积比与相似比的关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7

11. 一题多解 [2025 长春汽开区实验学校开学考试] 如图, 在 $△ ABC$ 中, $D$ 在 $AC$ 上, $DE // BC$, $DF // AB$.
(1)求证: $△ DFC ∽ △ AED$;
(2)若 $CD = \frac{1}{3}AC$, 求 $\frac{S_{△ DFC}}{S_{△ AED}}$ 的值.

11.(1)证明: 通解1 $\because DE// BC,\therefore ∠ ADE = ∠ C.$$\because DF// AB,\therefore ∠ A = ∠ CDF,\therefore △ DFC∽△ AED.$
通解2 $\because DF// AB,DE// BC,$
$\therefore ∠ DFC = ∠ ABF,∠ AED = ∠ ABF,∠ DCF = ∠ ADE,$
$\therefore ∠ DFC = ∠ AED,\therefore △ DFC∽△ AED.$
(2)解:$\because CD = \frac{1}{3}AC,\therefore \frac{CD}{DA} = \frac{1}{2},$
$\therefore \frac{S_{△ DFC}}{S_{△ AED}} = (\frac{CD}{DA})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}.$

【分析】
(1)要证明△DFC∽△AED，可采用相似三角形的判定定理“两角分别相等的两个三角形相似”推导。结合已知的两组平行条件，利用平行线的性质找到两组对应相等的角，即可完成相似证明。
(2)求两个相似三角形的面积比，可根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。因此先根据已知线段关系求出两个三角形的相似比，再对相似比平方即可得到面积比。
【解析】
(1)证明：
方法1：
∵DE//BC，
∴∠ADE = ∠C（两直线平行，同位角相等）。
∵DF//AB，
∴∠A = ∠CDF（两直线平行，同位角相等）。
∴△DFC∽△AED（两角分别相等的两个三角形相似）。
方法2：
∵DF//AB，DE//BC，
∴∠DFC = ∠ABF，∠AED = ∠ABF（两直线平行，同位角相等），∠DCF = ∠ADE（两直线平行，同位角相等），
∴∠DFC = ∠AED，
∴△DFC∽△AED（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2)解：
∵CD = $\frac{1}{3}$AC，
∴AC = 3CD，
∴AD = AC - CD = 3CD - CD = 2CD，即$\frac{CD}{DA}$ = $\frac{1}{2}$。
由(1)可知△DFC∽△AED，相似比为$\frac{CD}{DA}$ = $\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S_{△ DFC}}{S_{△ AED}}$ = $(\frac{CD}{DA})^2$ = $(\frac{1}{2})^2$ = $\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)证明如上；(2)$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是结合平行线的性质找到对应相等的角完成相似证明，再利用相似三角形面积比和相似比的关系求解，解题时需注意找准相似三角形的对应边，避免相似比计算错误。
【难度系数】
0.7