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12. [2024乐山中考]如图,在梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC和BD交于点O.若$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ BCD}}=\frac{1}{3}$,则$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ BOC}}=$
$\boldsymbol{\frac{1}{9}}$
.答案
12. $\frac{1}{9}$ 设AD,BC之间的距离为d,$\therefore \frac{S_{△ ABD}}{S_{△ BCD}} = \frac{\frac{1}{2}AD· d}{\frac{1}{2}BC· d} = \frac{1}{3}$,即$\frac{AD}{BC} = \frac{1}{3}.\because AD// BC,\therefore △ AOD∽△ COB,\therefore \frac{S_{△ AOD}}{S_{△ BOC}} = (\frac{AD}{BC})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}.$
解析
【分析】
解题时首先观察△ABD与△BCD的特征：两个三角形的高均为梯形上下底AD、BC之间的距离，高相等时三角形面积比等于底边长的比，由此可求出AD与BC的长度比；再结合AD//BC的条件，可判定△AOD与△BOC相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出结果。
【解析】
设AD、BC之间的距离为d，
则$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AD·d$，$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BC·d$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△BCD}}=\frac{\frac{1}{2}AD·d}{\frac{1}{2}BC·d}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{3}$。
∵AD//BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∴△AOD∽△COB，相似比为$\frac{AD}{BC}=\frac{1}{3}$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△AOD}}{S_{△BOC}}=(\frac{AD}{BC})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
三角形面积计算、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是先通过同高三角形的面积比得到梯形上下底的比值，再结合相似三角形的面积性质求解，解题思路清晰，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察△ABD与△BCD的特征：两个三角形的高均为梯形上下底AD、BC之间的距离，高相等时三角形面积比等于底边长的比，由此可求出AD与BC的长度比；再结合AD//BC的条件，可判定△AOD与△BOC相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出结果。
【解析】
设AD、BC之间的距离为d，
则$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AD·d$，$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BC·d$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△BCD}}=\frac{\frac{1}{2}AD·d}{\frac{1}{2}BC·d}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{3}$。
∵AD//BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∴△AOD∽△COB，相似比为$\frac{AD}{BC}=\frac{1}{3}$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△AOD}}{S_{△BOC}}=(\frac{AD}{BC})^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
三角形面积计算、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是先通过同高三角形的面积比得到梯形上下底的比值，再结合相似三角形的面积性质求解，解题思路清晰，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
13. [2026天水逸夫实验中学模拟] 如图，$△ ABC$是一块锐角三角形材料，$BC = 80\ \mathrm{mm}$，$AD = 60\ \mathrm{mm}$，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在$BC$上，其余两个顶点分别在$AB$，$AC$上，则这个正方形零件的边长是
$\boldsymbol{\frac{240}{7}}$
$\mathrm{mm}.$答案
13. $\frac{240}{7}$ 如图,
$\because EF// BC,\therefore △ AEF∽△ ABC,\therefore \frac{EF}{BC} = \frac{AK}{AD},$$\therefore \frac{EF}{80} = \frac{60-EF}{60}$,解得$EF = \frac{240}{7}$,$\therefore$ 该正方形零件的边长是$\frac{240}{7}\ \mathrm{mm}.$
解析
【分析】
要解决三角形内接正方形的边长问题，首先观察到正方形的上边$EF$平行于$BC$，可推出$△ AEF ∽ △ ABC$。根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，我们设正方形边长为$x\ \mathrm{mm}$，此时小三角形$△ AEF$的高等于原三角形的高$AD$减去正方形的边长，代入相似比例关系列方程即可求解。
【解析】
设正方形零件的边长为$x\ \mathrm{mm}$，则$EF=x$，$△ AEF$的高$AK=AD-KD=60-x$。
$\because$ 正方形的边$EF// BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$。
$\because AD⊥ BC$，$AK⊥ EF$，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$
代入$BC=80\ \mathrm{mm}$、$AD=60\ \mathrm{mm}$得：
$\frac{x}{80}=\frac{60-x}{60}$
交叉相乘得：$60x=80×(60-x)$
整理得：$140x=4800$
解得：$x=\frac{240}{7}$
【答案】
$\frac{240}{7}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，正方形的性质
【点评】
本题是三角形内接多边形的典型题型，解题关键是通过平行线构造相似三角形，结合相似三角形的性质建立边长的等量关系，将几何问题转化为一元一次方程求解，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
要解决三角形内接正方形的边长问题，首先观察到正方形的上边$EF$平行于$BC$，可推出$△ AEF ∽ △ ABC$。根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，我们设正方形边长为$x\ \mathrm{mm}$，此时小三角形$△ AEF$的高等于原三角形的高$AD$减去正方形的边长，代入相似比例关系列方程即可求解。
【解析】
设正方形零件的边长为$x\ \mathrm{mm}$，则$EF=x$，$△ AEF$的高$AK=AD-KD=60-x$。
$\because$ 正方形的边$EF// BC$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABC$。
$\because AD⊥ BC$，$AK⊥ EF$，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{EF}{BC}=\frac{AK}{AD}$
代入$BC=80\ \mathrm{mm}$、$AD=60\ \mathrm{mm}$得：
$\frac{x}{80}=\frac{60-x}{60}$
交叉相乘得：$60x=80×(60-x)$
整理得：$140x=4800$
解得：$x=\frac{240}{7}$
【答案】
$\frac{240}{7}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，正方形的性质
【点评】
本题是三角形内接多边形的典型题型，解题关键是通过平行线构造相似三角形，结合相似三角形的性质建立边长的等量关系，将几何问题转化为一元一次方程求解，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
14. [2025合肥瑶海区期中]如图,小明将一个边长为6 cm的正方形纸片ABCD折叠,使得点D落在AB边上的点E处(不与点A,B重合),折痕FH交AD于点F,交BC于点H,点C落在点Q处,EQ与BC交于点G.
(1)小明判断$△ AEF ∽ △ BGE$,你同意吗?请说明理由.
(2)当$AE=2\ \mathrm{cm}$时,求$△ BGE$的周长.
(1)小明判断$△ AEF ∽ △ BGE$,你同意吗?请说明理由.
(2)当$AE=2\ \mathrm{cm}$时,求$△ BGE$的周长.
答案
14. 解:(1)同意.理由如下:
$\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore ∠ A = ∠ B = ∠ D = 90°,$
$\therefore ∠ AEF + ∠ AFE = 90°.$
由折叠的性质,可得$∠ FEQ = ∠ D = 90°,EF = DF,$
$\therefore ∠ AEF + ∠ BEG = 90°,\therefore ∠ AFE = ∠ BEG.$
又$\because ∠ A = ∠ B = 90°,\therefore △ AEF∽△ BGE.$
(2)设$AF = x\ \mathrm{cm}$,则$DF = EF = (6 - x)\ \mathrm{cm}.$
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中,由勾股定理可得$AE^2 + AF^2 = EF^2$,
即$2^2 + x^2 = (6 - x)^2,\therefore x = \frac{8}{3}$,即$AF = \frac{8}{3}.$
易得$C_{△ AEF} = AE + AF + EF = AE + AF + DF = AE + AD = 2 + 6 = 8(\mathrm{cm}).$
$\because △ AEF∽△ BGE,\therefore \frac{C_{△ AEF}}{C_{△ BGE}} = \frac{AF}{BE} = \frac{\frac{8}{3}}{6-2} = \frac{2}{3},$
$\therefore C_{△ BGE} = 8 × \frac{3}{2} = 12(\mathrm{cm}).$
$\because$ 四边形ABCD是正方形,$\therefore ∠ A = ∠ B = ∠ D = 90°,$
$\therefore ∠ AEF + ∠ AFE = 90°.$
由折叠的性质,可得$∠ FEQ = ∠ D = 90°,EF = DF,$
$\therefore ∠ AEF + ∠ BEG = 90°,\therefore ∠ AFE = ∠ BEG.$
又$\because ∠ A = ∠ B = 90°,\therefore △ AEF∽△ BGE.$
(2)设$AF = x\ \mathrm{cm}$,则$DF = EF = (6 - x)\ \mathrm{cm}.$
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中,由勾股定理可得$AE^2 + AF^2 = EF^2$,
即$2^2 + x^2 = (6 - x)^2,\therefore x = \frac{8}{3}$,即$AF = \frac{8}{3}.$
易得$C_{△ AEF} = AE + AF + EF = AE + AF + DF = AE + AD = 2 + 6 = 8(\mathrm{cm}).$
$\because △ AEF∽△ BGE,\therefore \frac{C_{△ AEF}}{C_{△ BGE}} = \frac{AF}{BE} = \frac{\frac{8}{3}}{6-2} = \frac{2}{3},$
$\therefore C_{△ BGE} = 8 × \frac{3}{2} = 12(\mathrm{cm}).$
解析
【分析】
(1) 要判断两个三角形是否相似，可采用“两角对应相等的三角形相似”的判定定理：首先结合正方形性质得到两组直角，再利用折叠性质得∠FEQ=90°，通过同角的余角相等推出一组对应锐角相等，即可证明相似。
(2) 求△BGE的周长时，先设AF长为x，根据折叠性质得EF=DF，在Rt△AEF中用勾股定理求出AF的长度，再计算△AEF的周长，最后利用相似三角形周长比等于相似比的性质，即可求出△BGE的周长。
【解析】
(1) 同意，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ A = ∠ B = ∠ D = 90°$，
∴$∠ AEF + ∠ AFE = 90°$。
由折叠的性质可得$∠ FEQ = ∠ D = 90°$，$EF=DF$，
∴$∠ AEF + ∠ BEG = 180° - ∠ FEQ = 90°$，
∴$∠ AFE = ∠ BEG$（同角的余角相等）。
又
∵$∠ A = ∠ B = 90°$，
∴$△ AEF ∽ △ BGE$。
(2) 设$AF = x\ \mathrm{cm}$，则$DF = EF = (6 - x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得$AE^2 + AF^2 = EF^2$，
代入数据：$2^2 + x^2 = (6 - x)^2$，
展开得：$4 + x^2 = 36 - 12x + x^2$，
化简得：$12x = 32$，解得$x = \frac{8}{3}$，即$AF = \frac{8}{3}\ \mathrm{cm}$。
$△ AEF$的周长$C_{△ AEF} = AE + AF + EF = AE + AF + DF = AE + AD = 2 + 6 = 8(\mathrm{cm})$。
∵$△ AEF ∽ △ BGE$，相似比$\frac{AF}{BE} = \frac{\frac{8}{3}}{6-2} = \frac{2}{3}$，
相似三角形周长比等于相似比，即$\frac{C_{△ AEF}}{C_{△ BGE}} = \frac{2}{3}$，
∴$C_{△ BGE} = 8 × \frac{3}{2} = 12(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 同意，理由见解析；
(2) $△ BGE$的周长为$12\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是常见的几何综合题，结合正方形、折叠变换考查相似三角形的应用，解题核心是利用折叠得到相等的边和角，再结合相似三角形的相关性质求解，掌握基础几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断两个三角形是否相似，可采用“两角对应相等的三角形相似”的判定定理：首先结合正方形性质得到两组直角，再利用折叠性质得∠FEQ=90°，通过同角的余角相等推出一组对应锐角相等，即可证明相似。
(2) 求△BGE的周长时，先设AF长为x，根据折叠性质得EF=DF，在Rt△AEF中用勾股定理求出AF的长度，再计算△AEF的周长，最后利用相似三角形周长比等于相似比的性质，即可求出△BGE的周长。
【解析】
(1) 同意，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ A = ∠ B = ∠ D = 90°$，
∴$∠ AEF + ∠ AFE = 90°$。
由折叠的性质可得$∠ FEQ = ∠ D = 90°$，$EF=DF$，
∴$∠ AEF + ∠ BEG = 180° - ∠ FEQ = 90°$，
∴$∠ AFE = ∠ BEG$（同角的余角相等）。
又
∵$∠ A = ∠ B = 90°$，
∴$△ AEF ∽ △ BGE$。
(2) 设$AF = x\ \mathrm{cm}$，则$DF = EF = (6 - x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理得$AE^2 + AF^2 = EF^2$，
代入数据：$2^2 + x^2 = (6 - x)^2$，
展开得：$4 + x^2 = 36 - 12x + x^2$，
化简得：$12x = 32$，解得$x = \frac{8}{3}$，即$AF = \frac{8}{3}\ \mathrm{cm}$。
$△ AEF$的周长$C_{△ AEF} = AE + AF + EF = AE + AF + DF = AE + AD = 2 + 6 = 8(\mathrm{cm})$。
∵$△ AEF ∽ △ BGE$，相似比$\frac{AF}{BE} = \frac{\frac{8}{3}}{6-2} = \frac{2}{3}$，
相似三角形周长比等于相似比，即$\frac{C_{△ AEF}}{C_{△ BGE}} = \frac{2}{3}$，
∴$C_{△ BGE} = 8 × \frac{3}{2} = 12(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 同意，理由见解析；
(2) $△ BGE$的周长为$12\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是常见的几何综合题，结合正方形、折叠变换考查相似三角形的应用，解题核心是利用折叠得到相等的边和角，再结合相似三角形的相关性质求解，掌握基础几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
15. 推理能力【问题情境】
(1)如图
,在△ABC中,DE//BC分别交AB,AC于点D,E,过点E作EF//AB交BC于点F(部分数据如图
所示),则四边形DBFE的面积S=
【探究发现】
(2)在(1)中,若BF=a,FC=b,DE与BC之间的距离为h,求证:S²=4S₁S₂.
【拓展迁移】
(3)如图,▱DEFG的四个顶点在△ABC的三条边上,点D,G分别在边AB,AC上,若△ADG,△DBE,△GFC的面积分别为2,5,3,请利用(2)中的结论,求△ABC的面积.
(1)如图
,在△ABC中,DE//BC分别交AB,AC于点D,E,过点E作EF//AB交BC于点F(部分数据如图所示),则四边形DBFE的面积S=$\boldsymbol{6}$
,△EFC的面积S₁=$\boldsymbol{9}$
,△ADE的面积S₂=$\boldsymbol{1}$
.【探究发现】
(2)在(1)中,若BF=a,FC=b,DE与BC之间的距离为h,求证:S²=4S₁S₂.
【拓展迁移】
(3)如图,▱DEFG的四个顶点在△ABC的三条边上,点D,G分别在边AB,AC上,若△ADG,△DBE,△GFC的面积分别为2,5,3,请利用(2)中的结论,求△ABC的面积.
答案
15.(1)解:6 9 1
$\because DE// BC,EF// AB,\therefore$ 四边形DBFE是平行四边形,$∠ AED = ∠ C,∠ A = ∠ CEF,S = 2×3 = 6,\therefore △ ADE∽△ EFC,\therefore \frac{S_2}{S_1} = (\frac{DE}{FC})^2 = \frac{1}{9}.\because S_1 = \frac{1}{2} ×6×3 = 9,\therefore S_2 = 1.$
(2)证明:$\because DE// BC,EF// AB,$
$\therefore$ 四边形DBFE为平行四边形,$∠ AED = ∠ C,∠ A = ∠ CEF,$
$\therefore DE = BF,△ ADE∽△ EFC,$
$\therefore \frac{S_2}{S_1} = (\frac{DE}{FC})^2 = (\frac{BF}{FC})^2 = \frac{a^2}{b^2}.$
$\because S_1 = \frac{1}{2}bh,\therefore S_2 = \frac{a^2}{b^2}· S_1 = \frac{a^2h}{2b},$
$\therefore 4S_1S_2 = 4 × \frac{1}{2}bh · \frac{a^2h}{2b} = (ah)^2.$
$\because S = ah,\therefore S^2 = 4S_1S_2.$
(3)解:如图,过点G作$GH// AB$交BC于点H,
则四边形DBHG为平行四边形,$\therefore ∠ GHC = ∠ B,BD = HG,DG = BH.$
$\because$ 四边形DEFG为平行四边形,
$\therefore DG = EF,\therefore BH = EF,\therefore BE = HF.$
在$△ DBE$和$△ GHF$中,$\begin{cases} DB = GH, \\ ∠ B = ∠ GHF, \\ BE = HF, \end{cases}$
$\therefore △ DBE≌△ GHF(\mathrm{SAS}),\therefore △ GHC$的面积为$5 + 3 = 8.$
由(2)可得$□ DBHG$的面积为$\sqrt{4×2×8} = 8,$
$\therefore △ ABC$的面积为$2 + 8 + 8 = 18.$
解析
【分析】
(1) 首先根据两组对边分别平行判定四边形DBFE是平行四边形，用底乘高计算它的面积S；再利用三角形面积公式求出△EFC的面积S₁；随后证明△ADE与△EFC相似，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出△ADE的面积S₂。
(2) 沿用第一问的思路，先证四边形DBFE是平行四边形得到DE=BF=a，再证△ADE∽△EFC，利用相似三角形面积比与相似比的关系，结合S₁的表达式推导出S₂的表达式，最后分别计算$4S_1S_2$和$S^2$，验证二者相等即可完成证明。
(3) 过点G作$GH// AB$交BC于H，先证四边形DBHG是平行四边形，再证明$△ DBE≌△ GHF$，得到$△ GHC$的面积为$5+3=8$；接着直接利用(2)的结论，代入$△ ADG$和$△ GHC$的面积求出平行四边形DBHG的面积，最后将三部分面积相加即可得到$△ ABC$的总面积。
【解析】
(1) 解：$\because DE// BC,EF// AB$，$\therefore$ 四边形DBFE是平行四边形，$∠ AED = ∠ C,∠ A = ∠ CEF$，
平行四边形面积$S=2×3=6$；
$△ EFC$的面积$S_1=\frac{1}{2}×6×3=9$；
$\because △ ADE∽△ EFC$，$\therefore \frac{S_2}{S_1}=(\frac{DE}{FC})^2=(\frac{2}{6})^2=\frac{1}{9}$，$\therefore S_2=9×\frac{1}{9}=1$。
(2) 证明：$\because DE// BC,EF// AB$，
$\therefore$ 四边形DBFE为平行四边形，$∠ AED = ∠ C,∠ A = ∠ CEF$，
$\therefore DE=BF=a$，$△ ADE∽△ EFC$，
$\therefore \frac{S_2}{S_1}=(\frac{DE}{FC})^2=(\frac{a}{b})^2=\frac{a^2}{b^2}$。
$\because S_1=\frac{1}{2}bh$，$\therefore S_2=\frac{a^2}{b^2}· S_1=\frac{a^2h}{2b}$，
$\therefore 4S_1S_2=4×\frac{1}{2}bh·\frac{a^2h}{2b}=(ah)^2$，
$\because$ 平行四边形DBFE的面积$S=ah$，$\therefore S^2=4S_1S_2$，得证。
(3) 解：如图，过点G作$GH// AB$交BC于点H，
则四边形DBHG为平行四边形，$\therefore ∠ GHC = ∠ B,BD=HG,DG=BH$。
$\because$ 四边形DEFG为平行四边形，$\therefore DG=EF$，$\therefore BH=EF$，$\therefore BE=HF$。
在$△ DBE$和$△ GHF$中，
$\begin{cases} DB = GH, \\ ∠ B = ∠ GHF, \\ BE = HF, \end{cases}$
$\therefore △ DBE≌△ GHF(\mathrm{SAS})$，$\therefore △ GHF$的面积为5，故$△ GHC$的面积为$5+3=8$。
由(2)的结论可得，平行四边形DBHG的面积$S=\sqrt{4× S_{△ ADG}× S_{△ GHC}}=\sqrt{4×2×8}=8$，
$\therefore △ ABC$的面积为$S_{△ ADG}+S_{□ DBHG}+S_{△ GHC}=2+8+8=18$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{9}$；$\boldsymbol{1}$
(2) 证明见解析，$S^2=4S_1S_2$成立
(3) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；相似三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题采用分层递进的设计逻辑，从基础计算到规律推导再到拓展应用，既考查了几何核心知识点的掌握情况，又锻炼了知识迁移和逻辑推理能力，解题时注意借助前问得出的结论解决后问，可有效降低解题难度。
【难度系数】
0.5
(1) 首先根据两组对边分别平行判定四边形DBFE是平行四边形，用底乘高计算它的面积S；再利用三角形面积公式求出△EFC的面积S₁；随后证明△ADE与△EFC相似，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出△ADE的面积S₂。
(2) 沿用第一问的思路，先证四边形DBFE是平行四边形得到DE=BF=a，再证△ADE∽△EFC，利用相似三角形面积比与相似比的关系，结合S₁的表达式推导出S₂的表达式，最后分别计算$4S_1S_2$和$S^2$，验证二者相等即可完成证明。
(3) 过点G作$GH// AB$交BC于H，先证四边形DBHG是平行四边形，再证明$△ DBE≌△ GHF$，得到$△ GHC$的面积为$5+3=8$；接着直接利用(2)的结论，代入$△ ADG$和$△ GHC$的面积求出平行四边形DBHG的面积，最后将三部分面积相加即可得到$△ ABC$的总面积。
【解析】
(1) 解：$\because DE// BC,EF// AB$，$\therefore$ 四边形DBFE是平行四边形，$∠ AED = ∠ C,∠ A = ∠ CEF$，
平行四边形面积$S=2×3=6$；
$△ EFC$的面积$S_1=\frac{1}{2}×6×3=9$；
$\because △ ADE∽△ EFC$，$\therefore \frac{S_2}{S_1}=(\frac{DE}{FC})^2=(\frac{2}{6})^2=\frac{1}{9}$，$\therefore S_2=9×\frac{1}{9}=1$。
(2) 证明：$\because DE// BC,EF// AB$，
$\therefore$ 四边形DBFE为平行四边形，$∠ AED = ∠ C,∠ A = ∠ CEF$，
$\therefore DE=BF=a$，$△ ADE∽△ EFC$，
$\therefore \frac{S_2}{S_1}=(\frac{DE}{FC})^2=(\frac{a}{b})^2=\frac{a^2}{b^2}$。
$\because S_1=\frac{1}{2}bh$，$\therefore S_2=\frac{a^2}{b^2}· S_1=\frac{a^2h}{2b}$，
$\therefore 4S_1S_2=4×\frac{1}{2}bh·\frac{a^2h}{2b}=(ah)^2$，
$\because$ 平行四边形DBFE的面积$S=ah$，$\therefore S^2=4S_1S_2$，得证。
(3) 解：如图，过点G作$GH// AB$交BC于点H，
则四边形DBHG为平行四边形，$\therefore ∠ GHC = ∠ B,BD=HG,DG=BH$。
$\because$ 四边形DEFG为平行四边形，$\therefore DG=EF$，$\therefore BH=EF$，$\therefore BE=HF$。
在$△ DBE$和$△ GHF$中，
$\begin{cases} DB = GH, \\ ∠ B = ∠ GHF, \\ BE = HF, \end{cases}$
$\therefore △ DBE≌△ GHF(\mathrm{SAS})$，$\therefore △ GHF$的面积为5，故$△ GHC$的面积为$5+3=8$。
由(2)的结论可得，平行四边形DBHG的面积$S=\sqrt{4× S_{△ ADG}× S_{△ GHC}}=\sqrt{4×2×8}=8$，
$\therefore △ ABC$的面积为$S_{△ ADG}+S_{□ DBHG}+S_{△ GHC}=2+8+8=18$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{9}$；$\boldsymbol{1}$
(2) 证明见解析，$S^2=4S_1S_2$成立
(3) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；相似三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题采用分层递进的设计逻辑，从基础计算到规律推导再到拓展应用，既考查了几何核心知识点的掌握情况，又锻炼了知识迁移和逻辑推理能力，解题时注意借助前问得出的结论解决后问，可有效降低解题难度。
【难度系数】
0.5
