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如图,在△ABC中,点D,点E分别在AB,AC上.
(1)添加条件:
(2)已知△ADE∽△ACB.
①若 DE:CB = 3:5,AD = 4,则 AC 的长为
②若 AD:AC = 1:2,△ADE 的面积为 2,求四边形 BCED 的面积.
(3)如图,已知△ABC∽△ADE.求证:△ABD∽△ACE.
(4)如图,∠BAD = ∠CBD = 30°,∠BDC = 90°,AB = 4,AC = 2√3,求 AD 的长.
(1)添加条件:
$\boldsymbol{∠ ADE = ∠ C(或∠ AED = ∠ B或\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB})}$
,可使△AED∽△ABC.(填一个即可)(2)已知△ADE∽△ACB.
①若 DE:CB = 3:5,AD = 4,则 AC 的长为
$\boldsymbol{\frac{20}{3}}$
;②若 AD:AC = 1:2,△ADE 的面积为 2,求四边形 BCED 的面积.
(3)如图,已知△ABC∽△ADE.求证:△ABD∽△ACE.
(4)如图,∠BAD = ∠CBD = 30°,∠BDC = 90°,AB = 4,AC = 2√3,求 AD 的长.
答案
(1)解:$∠ ADE = ∠ C$(或$∠ AED = ∠ B$或$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$)
(2)解:①$\frac{20}{3}$
$\because △ ADE∽△ ACB,\therefore AD:AC = DE:CB.\because AD = 4,DE:CB = 3:5,\therefore AC = \frac{20}{3}.$
②$\because △ ADE∽△ ACB,AD:AC = 1:2,$
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = (\frac{AD}{AC})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}.$
$\because S_{△ ADE} = 2,\therefore S_{△ ABC} = 8,$
$\therefore S_{四边形BCED} = S_{△ ABC} - S_{△ ADE} = 8 - 2 = 6.$
(3)证明:$\because △ ABC∽△ ADE,\therefore \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE},∠ BAC = ∠ DAE,$
$\therefore \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE},∠ BAD = ∠ CAE,\therefore △ ABD∽△ ACE.$
(4)解:如图,作$∠ CAE = ∠ BAD = 30°$,$AE$与$BD$延长线交于点$E$,连接$CE.$
$\because ∠ BAD = ∠ CBD,$
$\therefore ∠ ADE = ∠ ABD + ∠ BAD = ∠ ABD + ∠ CBD = ∠ ABC.$
$\because ∠ CAE = ∠ BAD,\therefore ∠ BAC = ∠ DAE,$
$\therefore △ ABC∽△ ADE.$ 同(3)可得,$△ ABD∽△ ACE,$
$\therefore \frac{BD}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3},\therefore CE = \frac{\sqrt{3}}{2}BD.$
在$\mathrm{Rt}△ BDC$中,$∠ DBC = 30°,\therefore BC = 2CD,BD = \sqrt{3}CD,$
$\therefore CE = \frac{3}{2}CD,\therefore DE = \sqrt{CE^2 - CD^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}CD.$
由$△ ABC∽△ ADE$,可得$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE},\therefore \frac{4}{AD} = \frac{2CD}{\frac{\sqrt{5}}{2}CD},\therefore AD = \sqrt{5}.$
解析
【分析】
(1) 要判定△AED∽△ABC，已知两三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等，或添加公共角的两组夹边对应成比例即可。
(2) ①利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的边的比值和AD的长度，即可求出AC的长；②利用相似三角形面积比等于相似比的平方，先求出△ABC的面积，再减去△ADE的面积即可得到四边形BCED的面积。
(3) 先由△ABC∽△ADE得到对应边成比例、对应角相等，通过角的差运算得到∠BAD=∠CAE，再转化边的比例式，即可根据两边成比例且夹角相等证明△ABD∽△ACE。
(4) 先作辅助线构造相等的角，先证△ABC∽△ADE，再结合(3)的结论得到△ABD∽△ACE，结合含30°角的直角三角形的性质表示出各边的数量关系，最后利用相似三角形对应边成比例计算AD的长度。
【解析】
(1) △AED和△ABC有公共角∠A，添加∠ADE=∠C（或∠AED=∠B、$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，答案不唯一），即可判定△AED∽△ABC。
(2) ①
∵△ADE∽△ACB，
∴对应边成比例，即$AD:AC = DE:CB$。
已知$DE:CB=3:5$，$AD=4$，代入得$4:AC=3:5$，解得$AC=\frac{20}{3}$。
②
∵△ADE∽△ACB，相似比$AD:AC=1:2$，
∴面积比为相似比的平方，即$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{AD}{AC})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
∵$S_{△ADE}=2$，
∴$S_{△ABC}=2×4=8$，
∴$S_{四边形BCED}=S_{△ABC}-S_{△ADE}=8-2=6$。
(3) 证明：
∵△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$∠BAC=∠DAE$，
∴$∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠BAD=∠CAE$，
将比例式变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
∴△ABD∽△ACE。
(4) 解：如图，作$∠CAE=∠BAD=30°$，$AE$与$BD$延长线交于点$E$，连接$CE$。
∵$∠BAD=∠CBD=30°$，
∴$∠ADE=∠ABD+∠BAD=∠ABD+∠CBD=∠ABC$，
∵$∠CAE=∠BAD$，
∴$∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC$，即$∠BAC=∠DAE$，
∴△ABC∽△ADE。同(3)可得△ABD∽△ACE，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$CE=\frac{\sqrt{3}}{2}BD$。
在$\mathrm{Rt}△BDC$中，$∠DBC=30°$，
∴$BC=2CD$，$BD=\sqrt{3}CD$，
∴$CE=\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}CD=\frac{3}{2}CD$，
∴$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{3}{2}CD)^2-CD^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}CD$。
由△ABC∽△ADE，可得$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，代入得$\frac{4}{AD}=\frac{2CD}{\frac{\sqrt{5}}{2}CD}$，约去$CD$解得$AD=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $∠ ADE=∠ C$（答案不唯一）
(2) ①$\boxed{\dfrac{20}{3}}$；②$\boxed{6}$
(3) 证明见解析
(4) $\boxed{AD=\sqrt{5}}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题设置了梯度明显的问题，基础题考查相似判定和性质的直接应用，综合题需要结合角度推导、辅助线构造转化边角关系，能有效考查对相似相关定理的掌握程度，以及逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要判定△AED∽△ABC，已知两三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等，或添加公共角的两组夹边对应成比例即可。
(2) ①利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的边的比值和AD的长度，即可求出AC的长；②利用相似三角形面积比等于相似比的平方，先求出△ABC的面积，再减去△ADE的面积即可得到四边形BCED的面积。
(3) 先由△ABC∽△ADE得到对应边成比例、对应角相等，通过角的差运算得到∠BAD=∠CAE，再转化边的比例式，即可根据两边成比例且夹角相等证明△ABD∽△ACE。
(4) 先作辅助线构造相等的角，先证△ABC∽△ADE，再结合(3)的结论得到△ABD∽△ACE，结合含30°角的直角三角形的性质表示出各边的数量关系，最后利用相似三角形对应边成比例计算AD的长度。
【解析】
(1) △AED和△ABC有公共角∠A，添加∠ADE=∠C（或∠AED=∠B、$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，答案不唯一），即可判定△AED∽△ABC。
(2) ①
∵△ADE∽△ACB，
∴对应边成比例，即$AD:AC = DE:CB$。
已知$DE:CB=3:5$，$AD=4$，代入得$4:AC=3:5$，解得$AC=\frac{20}{3}$。
②
∵△ADE∽△ACB，相似比$AD:AC=1:2$，
∴面积比为相似比的平方，即$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{AD}{AC})^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
∵$S_{△ADE}=2$，
∴$S_{△ABC}=2×4=8$，
∴$S_{四边形BCED}=S_{△ABC}-S_{△ADE}=8-2=6$。
(3) 证明：
∵△ABC∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$∠BAC=∠DAE$，
∴$∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC$，即$∠BAD=∠CAE$，
将比例式变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
∴△ABD∽△ACE。
(4) 解：如图，作$∠CAE=∠BAD=30°$，$AE$与$BD$延长线交于点$E$，连接$CE$。
∵$∠BAD=∠CBD=30°$，
∴$∠ADE=∠ABD+∠BAD=∠ABD+∠CBD=∠ABC$，
∵$∠CAE=∠BAD$，
∴$∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC$，即$∠BAC=∠DAE$，
∴△ABC∽△ADE。同(3)可得△ABD∽△ACE，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$CE=\frac{\sqrt{3}}{2}BD$。
在$\mathrm{Rt}△BDC$中，$∠DBC=30°$，
∴$BC=2CD$，$BD=\sqrt{3}CD$，
∴$CE=\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}CD=\frac{3}{2}CD$，
∴$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{3}{2}CD)^2-CD^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}CD$。
由△ABC∽△ADE，可得$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，代入得$\frac{4}{AD}=\frac{2CD}{\frac{\sqrt{5}}{2}CD}$，约去$CD$解得$AD=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $∠ ADE=∠ C$（答案不唯一）
(2) ①$\boxed{\dfrac{20}{3}}$；②$\boxed{6}$
(3) 证明见解析
(4) $\boxed{AD=\sqrt{5}}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题设置了梯度明显的问题，基础题考查相似判定和性质的直接应用，综合题需要结合角度推导、辅助线构造转化边角关系，能有效考查对相似相关定理的掌握程度，以及逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
平面直角坐标系中，$△ ABC ∽ △ ODC$，点A的坐标为$(-2,0)$，点C的坐标为$(1,0)$，则$△ ABC$与$△ ODC$的面积比是（
A.$9:1$
B.$3:1$
C.$4:1$
D.$2:1$
A
）A.$9:1$
B.$3:1$
C.$4:1$
D.$2:1$
答案
1.A $\because △ ABC∽△ ODC,\therefore △ ABC$与$△ ODC$的面积比为$(\frac{AC}{OC})^2.$$\because$ 点A的坐标为$(-2,0)$,点C的坐标为$(1,0),$
$\therefore OA = 2,OC = 1,\therefore AC = OA + OC = 3,\therefore (\frac{AC}{OC})^2 = (\frac{3}{1})^2 = 9:1,\therefore △ ABC$与$△ ODC$的面积比是$9:1.$
$\therefore OA = 2,OC = 1,\therefore AC = OA + OC = 3,\therefore (\frac{AC}{OC})^2 = (\frac{3}{1})^2 = 9:1,\therefore △ ABC$与$△ ODC$的面积比是$9:1.$
解析
【分析】
遇到相似三角形求面积比的问题，首先联想到相似三角形的重要性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此解题核心是求出两个三角形的相似比。首先结合相似的对应关系，可知边AC与边OC是一组对应边；接下来根据点A、C都在x轴上，利用坐标可直接计算出AC和OC的长度，得到相似比后平方，就能得到两个三角形的面积比。
【解析】
解：$\because △ ABC ∽ △ ODC$
$\therefore △ ABC$与$△ ODC$的面积比等于相似比的平方，即$(\frac{AC}{OC})^2$
$\because$ 点A的坐标为$(-2,0)$，点C的坐标为$(1,0)$，O为坐标原点
$\therefore OC=1-0=1$，$AC=1-(-2)=3$
$\therefore$ 两个三角形的面积比为$(\frac{3}{1})^2=9:1$
【答案】A
【知识点】
相似三角形的性质；坐标求线段长度
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是牢记相似三角形面积比与相似比的关系，准确找到对应边并计算出长度即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到相似三角形求面积比的问题，首先联想到相似三角形的重要性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此解题核心是求出两个三角形的相似比。首先结合相似的对应关系，可知边AC与边OC是一组对应边；接下来根据点A、C都在x轴上，利用坐标可直接计算出AC和OC的长度，得到相似比后平方，就能得到两个三角形的面积比。
【解析】
解：$\because △ ABC ∽ △ ODC$
$\therefore △ ABC$与$△ ODC$的面积比等于相似比的平方，即$(\frac{AC}{OC})^2$
$\because$ 点A的坐标为$(-2,0)$，点C的坐标为$(1,0)$，O为坐标原点
$\therefore OC=1-0=1$，$AC=1-(-2)=3$
$\therefore$ 两个三角形的面积比为$(\frac{3}{1})^2=9:1$
【答案】A
【知识点】
相似三角形的性质；坐标求线段长度
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题的关键是牢记相似三角形面积比与相似比的关系，准确找到对应边并计算出长度即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 已知面积比求线段长 [2026长春绿园区期末]如图，把$△ ABC$沿$AB$方向平移到$△ A_1B_1C_1$的位置，记$△ A_1BD$的面积为$S_1$，四边形$AA_1DC$的面积为$S_2$.若$\frac{S_1}{S_2}=\frac{4}{5}$，$AB=4$，则$△ ABC$移动的距离$AA_1$为
$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$
.答案
2. $\frac{4}{3}$ 根据平移的性质,可得$AC// A_1C_1,\therefore △ ABC∽△ A_1BD.$$\because \frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{5},\therefore \frac{S_1}{S_{△ ABC}} = \frac{4}{9},\therefore \frac{A_1B}{AB} = \frac{2}{3}.\because AB = 4,$
$\therefore A_1B = \frac{8}{3},\therefore AA_1 = AB - A_1B = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}.$
$\therefore A_1B = \frac{8}{3},\therefore AA_1 = AB - A_1B = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}.$
解析
【分析】
解题时首先结合平移的性质，可得AC与A₁C₁平行，进而判定△A₁BD与△ABC相似；接下来将已知的S₁与S₂的面积比，转化为相似三角形△A₁BD与△ABC的面积比；再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求出对应边A₁B与AB的比值，结合AB的长度算出A₁B的长；最后平移距离AA₁等于AB与A₁B的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC沿AB方向平移到△A₁B₁C₁的位置，
∴AC//A₁C₁，
∴△A₁BD∽△ABC。
∵$\frac{S_1}{S_2}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{S_1}{S_{△ ABC}}=\frac{S_1}{S_1+S_2}=\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{A_1B}{AB}=\sqrt{\frac{S_1}{S_{△ ABC}}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$。
又
∵AB=4，
∴$A_1B=AB×\frac{2}{3}=4×\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$，
∴平移距离$AA_1=AB-A_1B=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似与平移结合的典型题型，解题核心是正确转化面积比，找到两个相似三角形的面积比例关系，再结合相似性质求解线段长度，解题时注意平移距离即为对应点连线的长度。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平移的性质，可得AC与A₁C₁平行，进而判定△A₁BD与△ABC相似；接下来将已知的S₁与S₂的面积比，转化为相似三角形△A₁BD与△ABC的面积比；再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求出对应边A₁B与AB的比值，结合AB的长度算出A₁B的长；最后平移距离AA₁等于AB与A₁B的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵△ABC沿AB方向平移到△A₁B₁C₁的位置，
∴AC//A₁C₁，
∴△A₁BD∽△ABC。
∵$\frac{S_1}{S_2}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{S_1}{S_{△ ABC}}=\frac{S_1}{S_1+S_2}=\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}$。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{A_1B}{AB}=\sqrt{\frac{S_1}{S_{△ ABC}}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$。
又
∵AB=4，
∴$A_1B=AB×\frac{2}{3}=4×\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$，
∴平移距离$AA_1=AB-A_1B=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似与平移结合的典型题型，解题核心是正确转化面积比，找到两个相似三角形的面积比例关系，再结合相似性质求解线段长度，解题时注意平移距离即为对应点连线的长度。
【难度系数】
0.7
3. 已知线段长求面积比 如图,在正方形ABCD中,点E为BC的中点,连接ED交AC于点F,则$\frac{S_{△ DFC}}{S_{四边形ABEF}}$的值为
$\boldsymbol{\frac{2}{5}}$
.答案
3. $\frac{2}{5}$ $\because$ 四边形ABCD为正方形,$\therefore AD// BC,\therefore △ AFD∽△ CFE,\therefore \frac{AF}{CF} = \frac{AD}{CE}.\because$ 点E为BC的中点,$\therefore AD = BC = 2EC,$
$\therefore \frac{AF}{CF} = \frac{AD}{CE} = \frac{2}{1},\therefore \frac{S_{△ AFD}}{S_{△ CFE}} = (\frac{2}{1})^2 = 4,\frac{S_{△ AFD}}{S_{△ DFC}} = 2,\therefore \frac{S_{△ DFC}}{S_{△ CFE}} = 2,$
$\therefore S_{△ ACD} = 4S_{△ CFE} + 2S_{△ CFE} = 6S_{△ CFE}.\because S_{△ ACD} = S_{△ ABC},$
$\therefore S_{四边形ABEF} = 6S_{△ CFE} - S_{△ CFE} = 5S_{△ CFE},\therefore \frac{S_{△ DFC}}{S_{四边形ABEF}} = \frac{2S_{△ CFE}}{5S_{△ CFE}} = \frac{2}{5}.$
$\therefore \frac{AF}{CF} = \frac{AD}{CE} = \frac{2}{1},\therefore \frac{S_{△ AFD}}{S_{△ CFE}} = (\frac{2}{1})^2 = 4,\frac{S_{△ AFD}}{S_{△ DFC}} = 2,\therefore \frac{S_{△ DFC}}{S_{△ CFE}} = 2,$
$\therefore S_{△ ACD} = 4S_{△ CFE} + 2S_{△ CFE} = 6S_{△ CFE}.\because S_{△ ACD} = S_{△ ABC},$
$\therefore S_{四边形ABEF} = 6S_{△ CFE} - S_{△ CFE} = 5S_{△ CFE},\therefore \frac{S_{△ DFC}}{S_{四边形ABEF}} = \frac{2S_{△ CFE}}{5S_{△ CFE}} = \frac{2}{5}.$
解析
【分析】
解题时先从正方形的性质入手，正方形对边平行且相等，可推出△AFD与△CFE相似；再结合E是BC中点得到相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方、同高三角形的面积比等于对应底的比这两个性质，把各部分面积用同一个最小的三角形面积作为基准表示，最后代入计算所求比值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$，
∴$△ AFD ∽ △ CFE$，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CE}$。
∵点E为BC的中点，
∴$AD=BC=2CE$，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CE}=\frac{2}{1}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△ AFD}}{S_{△ CFE}}=(\frac{2}{1})^2=4$；
$△ AFD$和$△ DFC$同高，面积比等于底之比，故$\frac{S_{△ AFD}}{S_{△ DFC}}=\frac{AF}{CF}=\frac{2}{1}$，即$S_{△ DFC}=2S_{△ CFE}$，$S_{△ AFD}=4S_{△ CFE}$。
∴$S_{△ ACD}=S_{△ AFD}+S_{△ DFC}=4S_{△ CFE}+2S_{△ CFE}=6S_{△ CFE}$，
∵正方形对角线将正方形分为面积相等的两个三角形，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}=6S_{△ CFE}$，
∴$S_{四边形ABEF}=S_{△ ABC}-S_{△ CFE}=6S_{△ CFE}-S_{△ CFE}=5S_{△ CFE}$，
∴$\frac{S_{△ DFC}}{S_{四边形ABEF}}=\frac{2S_{△ CFE}}{5S_{△ CFE}}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形性质应用的常规题型，解题的核心是通过相似比和同高三角形的面积关系，将各未知面积用同一基准量表示，消去基准量即可得到比值，该方法在解决面积比类问题中十分常用。
【难度系数】
0.6
解题时先从正方形的性质入手，正方形对边平行且相等，可推出△AFD与△CFE相似；再结合E是BC中点得到相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方、同高三角形的面积比等于对应底的比这两个性质，把各部分面积用同一个最小的三角形面积作为基准表示，最后代入计算所求比值即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$，
∴$△ AFD ∽ △ CFE$，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CE}$。
∵点E为BC的中点，
∴$AD=BC=2CE$，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CE}=\frac{2}{1}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△ AFD}}{S_{△ CFE}}=(\frac{2}{1})^2=4$；
$△ AFD$和$△ DFC$同高，面积比等于底之比，故$\frac{S_{△ AFD}}{S_{△ DFC}}=\frac{AF}{CF}=\frac{2}{1}$，即$S_{△ DFC}=2S_{△ CFE}$，$S_{△ AFD}=4S_{△ CFE}$。
∴$S_{△ ACD}=S_{△ AFD}+S_{△ DFC}=4S_{△ CFE}+2S_{△ CFE}=6S_{△ CFE}$，
∵正方形对角线将正方形分为面积相等的两个三角形，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}=6S_{△ CFE}$，
∴$S_{四边形ABEF}=S_{△ ABC}-S_{△ CFE}=6S_{△ CFE}-S_{△ CFE}=5S_{△ CFE}$，
∴$\frac{S_{△ DFC}}{S_{四边形ABEF}}=\frac{2S_{△ CFE}}{5S_{△ CFE}}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形性质应用的常规题型，解题的核心是通过相似比和同高三角形的面积关系，将各未知面积用同一基准量表示，消去基准量即可得到比值，该方法在解决面积比类问题中十分常用。
【难度系数】
0.6
4. 已知面积求面积 如图,在$□ ABCD$中,E为CD的中点,AE交BD于点O.若$S_{△ DOE}=1$,则$□ ABCD$的面积为
$\boldsymbol{12}$
.答案
4. 12 在$□ ABCD$中,E为CD的中点,$\therefore DE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB,AB// CD,\therefore △ AOB∽△ EOD,\therefore \frac{AO}{EO} = \frac{BO}{DO} = \frac{AB}{ED} = 2,$
$\therefore \frac{S_{△ AOB}}{S_{△ DOE}} = (\frac{AB}{DE})^2 = 2^2 = 4,\therefore S_{△ AOB} = 4S_{△ DOE} = 4.$$\because \frac{BO}{OD} = 2,$
$△ AOB$和$△ AOD$的高相等,$\therefore \frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}} = 2,\therefore S_{△ AOD} = 2,$
$\therefore S_{□ ABCD} = 2(S_{△ AOB} + S_{△ AOD}) = 2×(4 + 2) = 12.$
$\therefore \frac{S_{△ AOB}}{S_{△ DOE}} = (\frac{AB}{DE})^2 = 2^2 = 4,\therefore S_{△ AOB} = 4S_{△ DOE} = 4.$$\because \frac{BO}{OD} = 2,$
$△ AOB$和$△ AOD$的高相等,$\therefore \frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}} = 2,\therefore S_{△ AOD} = 2,$
$\therefore S_{□ ABCD} = 2(S_{△ AOB} + S_{△ AOD}) = 2×(4 + 2) = 12.$
解析
【分析】
解题时先结合平行四边形对边平行且相等的性质，结合E是CD中点得到DE与AB的长度比为1:2；再由AB//CD判定△AOB∽△EOD，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△AOB的面积；接下来利用同高的两个三角形面积比等于底的比，求出△AOD的面积，得到△ABD的面积；最后根据平行四边形的面积是与其等底等高的△ABD面积的2倍，即可求出平行四边形的总面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵E为CD的中点，
∴$\displaystyle DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$，
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OED，∠OBA=∠ODE，
∴△AOB∽△EOD，相似比$\displaystyle \frac{AB}{DE}=2$，
∴$\displaystyle \frac{S_{△ AOB}}{S_{△ DOE}}=(\frac{AB}{DE})^2=4$，$\displaystyle \frac{BO}{DO}=\frac{AB}{DE}=2$，
已知$S_{△ DOE}=1$，则$S_{△ AOB}=4×1=4$。
∵△AOB和△AOD以BO、OD为底时高相等，
∴$\displaystyle \frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}=\frac{BO}{OD}=2$，
∴$\displaystyle S_{△ AOD}=\frac{S_{△ AOB}}{2}=2$，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ AOB}+S_{△ AOD}=4+2=6$，
∵平行四边形ABCD的面积是△ABD面积的2倍，
∴$\displaystyle S_{□ ABCD}=2× S_{△ ABD}=2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何面积计算的典型题，解题核心是通过平行关系找到相似三角形，结合相似三角形的性质和同高三角形的面积关系逐步推导，对学生的图形分析能力和性质运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先结合平行四边形对边平行且相等的性质，结合E是CD中点得到DE与AB的长度比为1:2；再由AB//CD判定△AOB∽△EOD，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出△AOB的面积；接下来利用同高的两个三角形面积比等于底的比，求出△AOD的面积，得到△ABD的面积；最后根据平行四边形的面积是与其等底等高的△ABD面积的2倍，即可求出平行四边形的总面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵E为CD的中点，
∴$\displaystyle DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$，
∵AB//CD，
∴∠OAB=∠OED，∠OBA=∠ODE，
∴△AOB∽△EOD，相似比$\displaystyle \frac{AB}{DE}=2$，
∴$\displaystyle \frac{S_{△ AOB}}{S_{△ DOE}}=(\frac{AB}{DE})^2=4$，$\displaystyle \frac{BO}{DO}=\frac{AB}{DE}=2$，
已知$S_{△ DOE}=1$，则$S_{△ AOB}=4×1=4$。
∵△AOB和△AOD以BO、OD为底时高相等，
∴$\displaystyle \frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}=\frac{BO}{OD}=2$，
∴$\displaystyle S_{△ AOD}=\frac{S_{△ AOB}}{2}=2$，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ AOB}+S_{△ AOD}=4+2=6$，
∵平行四边形ABCD的面积是△ABD面积的2倍，
∴$\displaystyle S_{□ ABCD}=2× S_{△ ABD}=2×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何面积计算的典型题，解题核心是通过平行关系找到相似三角形，结合相似三角形的性质和同高三角形的面积关系逐步推导，对学生的图形分析能力和性质运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. 已知线段长求面积 [2025 洛阳期末] 在$△ ABC$中，$AB=2$，$AC=4$，$∠ A=90°$，点$D$，$A$在$BC$的两侧，$BD ⊥ BC$于点$B$。若$△ BCD$与$△ ABC$相似，则$S_{\mathrm{四边形}ABDC}=$
$\boldsymbol{9或24}$
。答案
5. 9或24 如图,
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB = 2,AC = 4$,由勾股定理可得$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}.\because △ BCD$与$△ ABC$相似,且$∠ DBC$和$∠ A$对应,$\therefore \frac{BD}{AB} = \frac{BC}{AC}$或$\frac{BC}{AB} = \frac{BD}{AC}$($BD$的长度不确定),$\therefore \frac{BD}{BC} = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{2}$或$\frac{BD}{BC} = \frac{AC}{AB} = 2,\therefore BD = \sqrt{5}$或$BD' = 4\sqrt{5}$,$\therefore$ 四边形ABDC的面积为$\frac{1}{2} × 2 × 4 + \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{5} = 9$或$\frac{1}{2} × 2 × 4 + \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × 4\sqrt{5} = 24.$ 综上,$S_{四边形ABDC} = 9或24.$解析
【分析】
解题时先从已知的Rt△ABC入手，先利用勾股定理求出斜边BC的长度，再计算出△ABC的面积。接下来分析相似三角形的对应关系：已知∠DBC=∠A=90°，这两个角是对应角，但其余两组对应边不确定，因此需要分两种相似的对应情况讨论，分别求出BD的长度，进而算出△BCD的面积，最终将两个三角形面积相加得到四边形ABDC的面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠A=90°$，$AB = 2$，$AC = 4$，
由勾股定理可得$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC=\frac{1}{2} × 2 × 4=4$。
∵$BD⊥BC$，
∴$∠DBC=∠A=90°$，
∵$△ BCD$与$△ ABC$相似，对应边存在两种情况：
①当$\frac{BD}{AB} = \frac{BC}{AC}$时，代入数据得$\frac{BD}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{4}$，解得$BD=\sqrt{5}$，
此时$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{5}=5$，$S_{四边形ABDC}=4+5=9$；
②当$\frac{BD}{AC} = \frac{BC}{AB}$时，代入数据得$\frac{BD}{4}=\frac{2\sqrt{5}}{2}$，解得$BD=4\sqrt{5}$，
此时$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × 4\sqrt{5}=20$，$S_{四边形ABDC}=4+20=24$。
【答案】
5. 9或24 如图,
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论
【点评】
本题考查相似三角形性质的应用，解题的易错点是相似三角形对应关系不明确时容易漏解，需分情况讨论，同时要熟练掌握直角三角形的面积计算方法。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的Rt△ABC入手，先利用勾股定理求出斜边BC的长度，再计算出△ABC的面积。接下来分析相似三角形的对应关系：已知∠DBC=∠A=90°，这两个角是对应角，但其余两组对应边不确定，因此需要分两种相似的对应情况讨论，分别求出BD的长度，进而算出△BCD的面积，最终将两个三角形面积相加得到四边形ABDC的面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠A=90°$，$AB = 2$，$AC = 4$，
由勾股定理可得$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC=\frac{1}{2} × 2 × 4=4$。
∵$BD⊥BC$，
∴$∠DBC=∠A=90°$，
∵$△ BCD$与$△ ABC$相似，对应边存在两种情况：
①当$\frac{BD}{AB} = \frac{BC}{AC}$时，代入数据得$\frac{BD}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{4}$，解得$BD=\sqrt{5}$，
此时$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{5}=5$，$S_{四边形ABDC}=4+5=9$；
②当$\frac{BD}{AC} = \frac{BC}{AB}$时，代入数据得$\frac{BD}{4}=\frac{2\sqrt{5}}{2}$，解得$BD=4\sqrt{5}$，
此时$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × 4\sqrt{5}=20$，$S_{四边形ABDC}=4+20=24$。
【答案】
5. 9或24 如图,
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论
【点评】
本题考查相似三角形性质的应用，解题的易错点是相似三角形对应关系不明确时容易漏解，需分情况讨论，同时要熟练掌握直角三角形的面积计算方法。
【难度系数】
0.6
