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1. 若一个锐角α的补角是150°，则锐角α的度数是 （
A.30°
B.40°
C.130°
D.140°
A
）A.30°
B.40°
C.130°
D.140°
答案
1. A
解析
【分析】
解题首先要明确补角的定义：若两个角的和等于180°，则这两个角互为补角。已知锐角α的补角是150°，我们可以利用补角的定义建立等式求出α的度数，再结合锐角的定义验证结果是否符合要求，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两个角的和为180°。
已知锐角α的补角是150°，因此可得：
α = 180° - 150° = 30°
30°是锐角，符合题目条件，所以选A。
【答案】
A
【知识点】
补角的定义，锐角的概念
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对补角定义的理解与运用，解题时结合题目给出的“锐角”条件可验证计算结果的合理性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确补角的定义：若两个角的和等于180°，则这两个角互为补角。已知锐角α的补角是150°，我们可以利用补角的定义建立等式求出α的度数，再结合锐角的定义验证结果是否符合要求，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两个角的和为180°。
已知锐角α的补角是150°，因此可得：
α = 180° - 150° = 30°
30°是锐角，符合题目条件，所以选A。
【答案】
A
【知识点】
补角的定义，锐角的概念
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对补角定义的理解与运用，解题时结合题目给出的“锐角”条件可验证计算结果的合理性，避免粗心出错。
【难度系数】
0.9
2. 下列图形中，$∠ 1$和$∠ 2$互为余角的是（
D
）答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先要明确互为余角的核心判定标准：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互为余角。接下来我们结合每个选项的图形特征，逐一判断∠1与∠2的和是否等于90°即可：先看选项A，两个角的和是大于90°的钝角，不符合要求；再看选项B，两角拼接后为平角，和为180°，属于互补关系，不满足互余；接着看选项C，∠1和∠2是对顶角，仅能得到两角相等，无法确定和为90°；最后看选项D，三个角共同组成平角，总和为180°，减去中间的90°直角，可得∠1+∠2=90°，符合互余的定义。
【解析】
根据余角的定义：两个角的和为90°时，这两个角互为余角，逐一分析选项：
1. 选项A：∠1与∠2的和大于90°，不满足互余要求，排除；
2. 选项B：∠1+∠2=180°，两角互为补角，不符合题意，排除；
3. 选项C：∠1和∠2为对顶角，仅可得∠1=∠2，无法确定两角和为90°，排除；
4. 选项D：平角为180°，因此∠1+∠2+90°=180°，计算可得∠1+∠2=90°，满足互余的定义。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义，平角的性质，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查余角的判定规则，解题关键是牢记互余两角和为90°，结合图形的角度和的特征计算判断即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确互为余角的核心判定标准：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互为余角。接下来我们结合每个选项的图形特征，逐一判断∠1与∠2的和是否等于90°即可：先看选项A，两个角的和是大于90°的钝角，不符合要求；再看选项B，两角拼接后为平角，和为180°，属于互补关系，不满足互余；接着看选项C，∠1和∠2是对顶角，仅能得到两角相等，无法确定和为90°；最后看选项D，三个角共同组成平角，总和为180°，减去中间的90°直角，可得∠1+∠2=90°，符合互余的定义。
【解析】
根据余角的定义：两个角的和为90°时，这两个角互为余角，逐一分析选项：
1. 选项A：∠1与∠2的和大于90°，不满足互余要求，排除；
2. 选项B：∠1+∠2=180°，两角互为补角，不符合题意，排除；
3. 选项C：∠1和∠2为对顶角，仅可得∠1=∠2，无法确定两角和为90°，排除；
4. 选项D：平角为180°，因此∠1+∠2+90°=180°，计算可得∠1+∠2=90°，满足互余的定义。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义，平角的性质，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查余角的判定规则，解题关键是牢记互余两角和为90°，结合图形的角度和的特征计算判断即可。
【难度系数】
0.9
3. 如图,点A在点O的北偏东$60°$的方向上,点B在点O的南偏东$40°$的方向上,则$∠ AOB$的度数为 （
A.$70°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$110°$
B
）A.$70°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$110°$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时先明确方位图的基本规则：上北下南、左西右东，正北方向和正南方向在同一直线上，二者构成的角为180°的平角。已知点A的方向是北偏东60°，即OA与正北方向的夹角为60°；点B的方向是南偏东40°，即OB与正南方向的夹角为40°。要求∠AOB的度数，用平角180°减去上述两个夹角即可得到结果。
【解析】
解：由方位图的性质可知，正北方向与正南方向的夹角为平角，等于180°。
∵ 点A在点O的北偏东60°方向上，
∴ OA与正北方向的夹角为60°；
∵ 点B在点O的南偏东40°方向上，
∴ OB与正南方向的夹角为40°；
因此∠AOB = 180° - 60° - 40° = 80°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
方向角的认识；平角的定义；角度运算
【点评】
本题属于基础类题型，考查方向角相关的角度计算，解题核心是明确正北、正南方向构成180°平角，结合已知方向角的度数作差即可求解，掌握方向角的定义是解答本题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时先明确方位图的基本规则：上北下南、左西右东，正北方向和正南方向在同一直线上，二者构成的角为180°的平角。已知点A的方向是北偏东60°，即OA与正北方向的夹角为60°；点B的方向是南偏东40°，即OB与正南方向的夹角为40°。要求∠AOB的度数，用平角180°减去上述两个夹角即可得到结果。
【解析】
解：由方位图的性质可知，正北方向与正南方向的夹角为平角，等于180°。
∵ 点A在点O的北偏东60°方向上，
∴ OA与正北方向的夹角为60°；
∵ 点B在点O的南偏东40°方向上，
∴ OB与正南方向的夹角为40°；
因此∠AOB = 180° - 60° - 40° = 80°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
方向角的认识；平角的定义；角度运算
【点评】
本题属于基础类题型，考查方向角相关的角度计算，解题核心是明确正北、正南方向构成180°平角，结合已知方向角的度数作差即可求解，掌握方向角的定义是解答本题的前提。
【难度系数】
0.8
4. 小明将一副三角板摆成如图所示的形状，下列结论不一定正确的是（
A.$∠ COA=∠ DOB$
B.$∠ COA$与$∠ DOA$互余
C.$∠ AOD=∠ B$
D.$∠ AOD$与$∠ COB$互补
C
）A.$∠ COA=∠ DOB$
B.$∠ COA$与$∠ DOA$互余
C.$∠ AOD=∠ B$
D.$∠ AOD$与$∠ COB$互补
答案
4. C
解析
【分析】
首先明确一副三角板的两个直角顶点重合于O，可得∠COD=∠AOB=90°，且三角板的∠B固定为30°。解题时依据余角、补角的定义和性质，对四个选项逐一验证，判断哪个选项的结论无法保证始终成立即可。
【解析】
解：由三角板的性质可知：$∠ COD=∠ AOB=90°$，$∠ B=30°$。
验证选项A：$\because ∠ COA + ∠ AOD = ∠ COD=90°$，$∠ DOB + ∠ AOD = ∠ AOB=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ COA=∠ DOB$，结论正确，不符合题意；
验证选项B：$\because ∠ COA + ∠ DOA = ∠ COD=90°$，两角之和为$90°$即互余，结论正确，不符合题意；
验证选项C：$∠ AOD$的度数随两个三角板的摆放角度变化，不是固定值，而$∠ B$固定为$30°$，因此$∠ AOD$不一定等于$∠ B$，结论不一定正确，符合题意；
验证选项D：$∠ COB + ∠ AOD = ∠ COD + ∠ DOB + ∠ AOD = ∠ COD + ∠ AOB = 90°+90°=180°$，两角之和为$180°$即互补，结论正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
余角的性质，补角的性质，三角板角度特征
【点评】
本题结合三角板的摆放考查余角和补角的相关知识，解题时要注意题目要求选“不一定正确”的选项，逐一验证即可得出答案，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
首先明确一副三角板的两个直角顶点重合于O，可得∠COD=∠AOB=90°，且三角板的∠B固定为30°。解题时依据余角、补角的定义和性质，对四个选项逐一验证，判断哪个选项的结论无法保证始终成立即可。
【解析】
解：由三角板的性质可知：$∠ COD=∠ AOB=90°$，$∠ B=30°$。
验证选项A：$\because ∠ COA + ∠ AOD = ∠ COD=90°$，$∠ DOB + ∠ AOD = ∠ AOB=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ COA=∠ DOB$，结论正确，不符合题意；
验证选项B：$\because ∠ COA + ∠ DOA = ∠ COD=90°$，两角之和为$90°$即互余，结论正确，不符合题意；
验证选项C：$∠ AOD$的度数随两个三角板的摆放角度变化，不是固定值，而$∠ B$固定为$30°$，因此$∠ AOD$不一定等于$∠ B$，结论不一定正确，符合题意；
验证选项D：$∠ COB + ∠ AOD = ∠ COD + ∠ DOB + ∠ AOD = ∠ COD + ∠ AOB = 90°+90°=180°$，两角之和为$180°$即互补，结论正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
余角的性质，补角的性质，三角板角度特征
【点评】
本题结合三角板的摆放考查余角和补角的相关知识，解题时要注意题目要求选“不一定正确”的选项，逐一验证即可得出答案，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
5. 关于补角有下列四个叙述：①锐角的补角是钝角。②只有锐角才有补角。③互为补角的两个角不可能相等。④同角或等角的补角一定相等。其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5. B
解析
【分析】
解题前先明确补角的核心定义：若两个角的度数之和为180°，则这两个角互为补角。再结合补角的性质，对四个叙述逐一判断对错，最后统计正确叙述的数量即可得到答案。判断时要注意考虑特殊角（如直角）的情况，避免因考虑不全面出错。
【解析】
首先明确补角定义：两个角的和为180°时，这两个角互为补角。我们逐个分析四个叙述：
1. 分析①：锐角是大于0°且小于90°的角，它的补角为$180°-\mathrm{锐角}$，计算可得补角的范围是大于90°且小于180°，符合钝角的定义，因此①正确。
2. 分析②：只要角度在0°到180°之间的角都有补角，例如90°的直角的补角是90°，120°的钝角的补角是60°，并非只有锐角才有补角，因此②错误。
3. 分析③：当两个角都是90°时，它们的和为180°，互为补角，且两个角相等，因此“互为补角的两个角不可能相等”的说法错误，即③错误。
4. 分析④：“同角或等角的补角一定相等”是补角的基本性质，推理可得：若$∠ A+∠ B=180°$，$∠ A+∠ C=180°$，则$∠ B=∠ C=180°-∠ A$，可验证该性质成立，因此④正确。
综上，正确的叙述是①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；补角的性质
【点评】
本题核心考查对补角相关概念和性质的理解，易错点是容易忽略直角这一特殊角的补角特征，或对补角的适用范围认知错误，解题时紧扣定义逐一排查即可降低出错率。
【难度系数】
0.7
解题前先明确补角的核心定义：若两个角的度数之和为180°，则这两个角互为补角。再结合补角的性质，对四个叙述逐一判断对错，最后统计正确叙述的数量即可得到答案。判断时要注意考虑特殊角（如直角）的情况，避免因考虑不全面出错。
【解析】
首先明确补角定义：两个角的和为180°时，这两个角互为补角。我们逐个分析四个叙述：
1. 分析①：锐角是大于0°且小于90°的角，它的补角为$180°-\mathrm{锐角}$，计算可得补角的范围是大于90°且小于180°，符合钝角的定义，因此①正确。
2. 分析②：只要角度在0°到180°之间的角都有补角，例如90°的直角的补角是90°，120°的钝角的补角是60°，并非只有锐角才有补角，因此②错误。
3. 分析③：当两个角都是90°时，它们的和为180°，互为补角，且两个角相等，因此“互为补角的两个角不可能相等”的说法错误，即③错误。
4. 分析④：“同角或等角的补角一定相等”是补角的基本性质，推理可得：若$∠ A+∠ B=180°$，$∠ A+∠ C=180°$，则$∠ B=∠ C=180°-∠ A$，可验证该性质成立，因此④正确。
综上，正确的叙述是①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；补角的性质
【点评】
本题核心考查对补角相关概念和性质的理解，易错点是容易忽略直角这一特殊角的补角特征，或对补角的适用范围认知错误，解题时紧扣定义逐一排查即可降低出错率。
【难度系数】
0.7
6. 因为$∠ 1 + ∠ 2 = 90°$，$∠ 2 + ∠ 3 = 90°$，所以$∠ 1 = ∠ 3$，根据是。。
答案
6. 同角的余角相等
解析
【分析】首先从已知条件入手，先回忆余角的定义：两个角的和为90°则这两个角互为余角。先判断∠1、∠3与∠2的关系：∠1+∠2=90°说明∠1是∠2的余角，∠2+∠3=90°说明∠3也是∠2的余角，即∠1和∠3是同一个角的余角，结合余角的相关性质即可推出结论的依据。
【解析】根据余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。
已知∠1+∠2=90°，可得∠1是∠2的余角；
又已知∠2+∠3=90°，可得∠3也是∠2的余角；
即∠1和∠3是同一个角∠2的余角，根据余角的性质可得到∠1=∠3，对应的依据是同角的余角相等。
【答案】同角的余角相等
【知识点】余角的定义；同角的余角相等
【点评】本题直接考查余角的基本性质，属于基础概念类题目，掌握余角的相关概念和性质即可快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】根据余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。
已知∠1+∠2=90°，可得∠1是∠2的余角；
又已知∠2+∠3=90°，可得∠3也是∠2的余角；
即∠1和∠3是同一个角∠2的余角，根据余角的性质可得到∠1=∠3，对应的依据是同角的余角相等。
【答案】同角的余角相等
【知识点】余角的定义；同角的余角相等
【点评】本题直接考查余角的基本性质，属于基础概念类题目，掌握余角的相关概念和性质即可快速解答。
【难度系数】0.9
7. 如图，将直角三角尺的直角顶点放在直线l的点A处。若∠1=28°18′，则∠2的度数是
118°18′
。答案
7. $118°18'$
解析
【分析】
解题时先结合图形明确角的数量关系：首先直角三角尺的直角为90°，可得∠1与∠3的和为90°；其次直线l为平角，平角度数为180°，可得∠2与∠3的和为180°。可以先求出∠3的度数再计算∠2，也可以直接推导得到∠2与∠1的关系简化计算。
【解析】
已知直角三角尺的直角为90°，因此∠1 + ∠3 = 90°，
因为∠1=28°18′，所以∠3 = 90° - 28°18′ = 61°42′。
又因为点A在直线l上，∠2与∠3组成平角，即∠2 + ∠3 = 180°，
所以∠2 = 180° - 61°42′ = 118°18′。
（简便算法：由上述关系可推导得∠2 = 180° - (90° - ∠1) = 90° + ∠1，代入∠1的度数直接计算得∠2 = 90° + 28°18′ = 118°18′）
【答案】
$118°18'$
【知识点】
补角的定义；余角的定义；角度运算
【点评】
本题结合直角三角尺的特征考查角度的基础运算，解题的核心是找准图中角之间的和差关系，熟练掌握平角、直角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先结合图形明确角的数量关系：首先直角三角尺的直角为90°，可得∠1与∠3的和为90°；其次直线l为平角，平角度数为180°，可得∠2与∠3的和为180°。可以先求出∠3的度数再计算∠2，也可以直接推导得到∠2与∠1的关系简化计算。
【解析】
已知直角三角尺的直角为90°，因此∠1 + ∠3 = 90°，
因为∠1=28°18′，所以∠3 = 90° - 28°18′ = 61°42′。
又因为点A在直线l上，∠2与∠3组成平角，即∠2 + ∠3 = 180°，
所以∠2 = 180° - 61°42′ = 118°18′。
（简便算法：由上述关系可推导得∠2 = 180° - (90° - ∠1) = 90° + ∠1，代入∠1的度数直接计算得∠2 = 90° + 28°18′ = 118°18′）
【答案】
$118°18'$
【知识点】
补角的定义；余角的定义；角度运算
【点评】
本题结合直角三角尺的特征考查角度的基础运算，解题的核心是找准图中角之间的和差关系，熟练掌握平角、直角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图,若∠1和∠2都是∠α的余角,则∠1=∠2。请说明理由(在括号内填上依据)。
理由:因为∠1是∠α的余角(已知),
所以∠1+∠α=90°(余角的定义),
所以∠1=90°−∠α(等式的性质1)。
因为∠2是∠α的余角(已知),
所以∠2+∠α=90°(
所以∠2=90°−∠α(
所以∠1=∠2(
理由:因为∠1是∠α的余角(已知),
所以∠1+∠α=90°(余角的定义),
所以∠1=90°−∠α(等式的性质1)。
因为∠2是∠α的余角(已知),
所以∠2+∠α=90°(
余角的定义
),所以∠2=90°−∠α(
等式的性质1
),所以∠1=∠2(
等量代换
)。答案
8. 余角的定义 等式的性质1 等量代换
解析
【分析】
解题时我们根据每一步的推导逻辑匹配对应的数学依据即可：首先，若两个角互为余角，根据余角的定义，它们的和为90°，因此已知∠2是∠α的余角，可推出∠2+∠α=90°；接下来，等式两边同时减去同一个角∠α，等式仍然成立，这是等式的性质1，因此可推出∠2=90°-∠α；最后，∠1和∠2都等于90°-∠α，因此二者相等，属于等量代换的应用。
【解析】
第一个空：已知∠2是∠α的余角，根据余角的定义，互为余角的两个角的和为90°，因此此处填余角的定义；
第二个空：由∠2+∠α=90°，等式两边同时减去∠α得到∠2=90°−∠α，对应的依据是等式的性质1；
第三个空：已经推出∠1=90°−∠α，∠2=90°−∠α，两个量都等于同一个量，则这两个量相等，对应的依据是等量代换。
【答案】
余角的定义；等式的性质1；等量代换
【知识点】
余角的定义；等式的性质；等量代换
【点评】
本题是几何证明依据填写的基础题，需要熟练掌握基本概念、运算性质和逻辑推导依据，为后续复杂几何证明打好基础。
【难度系数】
0.9
解题时我们根据每一步的推导逻辑匹配对应的数学依据即可：首先，若两个角互为余角，根据余角的定义，它们的和为90°，因此已知∠2是∠α的余角，可推出∠2+∠α=90°；接下来，等式两边同时减去同一个角∠α，等式仍然成立，这是等式的性质1，因此可推出∠2=90°-∠α；最后，∠1和∠2都等于90°-∠α，因此二者相等，属于等量代换的应用。
【解析】
第一个空：已知∠2是∠α的余角，根据余角的定义，互为余角的两个角的和为90°，因此此处填余角的定义；
第二个空：由∠2+∠α=90°，等式两边同时减去∠α得到∠2=90°−∠α，对应的依据是等式的性质1；
第三个空：已经推出∠1=90°−∠α，∠2=90°−∠α，两个量都等于同一个量，则这两个量相等，对应的依据是等量代换。
【答案】
余角的定义；等式的性质1；等量代换
【知识点】
余角的定义；等式的性质；等量代换
【点评】
本题是几何证明依据填写的基础题，需要熟练掌握基本概念、运算性质和逻辑推导依据，为后续复杂几何证明打好基础。
【难度系数】
0.9
9. 已知一个角的余角比这个角的补角的$\frac{1}{2}$小$12°$，求这个角和它的余角的度数。
答案
9. 解：设这个角的度数为α，
由题意得 $90°-α=\frac{1}{2}(180°-α)-12°$，
解得 $α=24°$，
所以 $90°-α=90°-24°=66°$。
故这个角和它的余角的度数分别为 $24°,66°$。
由题意得 $90°-α=\frac{1}{2}(180°-α)-12°$，
解得 $α=24°$，
所以 $90°-α=90°-24°=66°$。
故这个角和它的余角的度数分别为 $24°,66°$。
解析
【分析】
遇到这类已知余角和补角的数量关系求角度的问题，我们可以通过设未知数列方程的方法求解：首先回忆余角、补角的定义，若设这个角的度数为α，则它的余角为90°-α，补角为180°-α；再根据题干给出的“余角比补角的$\frac{1}{2}$小12°”这一等量关系，将对应表达式代入即可列出方程，最后解方程求出α，再计算它的余角度数即可。
【解析】
解：设这个角的度数为α，
由题意得：$90°-α=\frac{1}{2}(180°-α)-12°$
去括号得：$90°-α=90°-\frac{1}{2}α-12°$
移项、合并同类项得：$-\frac{1}{2}α=-12°$
系数化为1得：$α=24°$
则它的余角为：$90°-α=90°-24°=66°$
【答案】
这个角的度数为$24°$，它的余角的度数为$66°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角、补角相关的基础应用题，解题核心是准确掌握余角、补角的概念，正确提取题干中的等量关系列方程，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
遇到这类已知余角和补角的数量关系求角度的问题，我们可以通过设未知数列方程的方法求解：首先回忆余角、补角的定义，若设这个角的度数为α，则它的余角为90°-α，补角为180°-α；再根据题干给出的“余角比补角的$\frac{1}{2}$小12°”这一等量关系，将对应表达式代入即可列出方程，最后解方程求出α，再计算它的余角度数即可。
【解析】
解：设这个角的度数为α，
由题意得：$90°-α=\frac{1}{2}(180°-α)-12°$
去括号得：$90°-α=90°-\frac{1}{2}α-12°$
移项、合并同类项得：$-\frac{1}{2}α=-12°$
系数化为1得：$α=24°$
则它的余角为：$90°-α=90°-24°=66°$
【答案】
这个角的度数为$24°$，它的余角的度数为$66°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角、补角相关的基础应用题，解题核心是准确掌握余角、补角的概念，正确提取题干中的等量关系列方程，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
