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10. 将一副三角板按不同位置摆放，下列摆放方式中α与β互补的是（
C
）答案
10. C
解析
【分析】
解题首先要明确互补的判定规则：若两个角的和为180°，则这两个角互补。再结合一副三角板的固定角度（30°、60°、90°和45°、45°、90°），逐一计算每个选项中α与β的和，判断和是否等于180°即可选出正确选项。
【解析】
根据补角的定义：和为180°的两个角互为补角，对各选项分析如下：
A选项：α、β与三角板的直角共同组成平角，即$α + β + 90° = 180°$，可得$α + β = 90°$，两角互余，不符合要求；
B选项：α与β分别和同一个中间角的和为90°，因此$α = β$，两角和不一定为180°，不符合要求；
C选项：结合平角的性质和三角板的角度特征，可推出$α + β = 180°$，两角互补，符合要求；
D选项：计算可得$α + β$的和小于180°，不符合互补要求。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义，角的和差计算
【点评】
本题重点考查补角的判定，需要结合三角板的角度特征与角的和差关系逐一分析选项，熟练掌握补角的定义是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确互补的判定规则：若两个角的和为180°，则这两个角互补。再结合一副三角板的固定角度（30°、60°、90°和45°、45°、90°），逐一计算每个选项中α与β的和，判断和是否等于180°即可选出正确选项。
【解析】
根据补角的定义：和为180°的两个角互为补角，对各选项分析如下：
A选项：α、β与三角板的直角共同组成平角，即$α + β + 90° = 180°$，可得$α + β = 90°$，两角互余，不符合要求；
B选项：α与β分别和同一个中间角的和为90°，因此$α = β$，两角和不一定为180°，不符合要求；
C选项：结合平角的性质和三角板的角度特征，可推出$α + β = 180°$，两角互补，符合要求；
D选项：计算可得$α + β$的和小于180°，不符合互补要求。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义，角的和差计算
【点评】
本题重点考查补角的判定，需要结合三角板的角度特征与角的和差关系逐一分析选项，熟练掌握补角的定义是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
11. 如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，那么$∠ 1$的度数为（
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
C
）A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
11. C
解析
【分析】
首先回忆正方形的性质：正方形的每个内角都是90°。观察图形可知，三个正方形的顶点重合，顶点处形成的角满足以下关系：左侧正方形的直角由30°、∠1和左侧空白角组成，右侧正方形的直角由40°、∠1和右侧空白角组成，中间正方形的直角由左侧空白角、∠1和右侧空白角组成。我们可以先表示出两个空白角的度数，再代入中间直角的和差关系即可求解∠1。
【解析】
解：
∵正方形的每个内角都为90°
∴左侧正方形的直角中：$30° + ∠1 + 左侧空白角 = 90°$，可得$左侧空白角 = 90° - 30° - ∠1 = 60° - ∠1$
右侧正方形的直角中：$40° + ∠1 + 右侧空白角 = 90°$，可得$右侧空白角 = 90° - 40° - ∠1 = 50° - ∠1$
又
∵中间正方形的直角满足：$左侧空白角 + ∠1 + 右侧空白角 = 90°$
将左侧、右侧空白角代入上式：
$(60° - ∠1) + ∠1 + (50° - ∠1) = 90°$
化简得：$110° - ∠1 = 90°$
解得：$∠1 = 110° - 90° = 20°$
【答案】
C
【知识点】
正方形内角性质，角的和差运算
【点评】
本题主要考查角的和差计算，解题的关键是结合正方形内角为90°的特征，理清重叠顶点处各角之间的数量关系，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
首先回忆正方形的性质：正方形的每个内角都是90°。观察图形可知，三个正方形的顶点重合，顶点处形成的角满足以下关系：左侧正方形的直角由30°、∠1和左侧空白角组成，右侧正方形的直角由40°、∠1和右侧空白角组成，中间正方形的直角由左侧空白角、∠1和右侧空白角组成。我们可以先表示出两个空白角的度数，再代入中间直角的和差关系即可求解∠1。
【解析】
解：
∵正方形的每个内角都为90°
∴左侧正方形的直角中：$30° + ∠1 + 左侧空白角 = 90°$，可得$左侧空白角 = 90° - 30° - ∠1 = 60° - ∠1$
右侧正方形的直角中：$40° + ∠1 + 右侧空白角 = 90°$，可得$右侧空白角 = 90° - 40° - ∠1 = 50° - ∠1$
又
∵中间正方形的直角满足：$左侧空白角 + ∠1 + 右侧空白角 = 90°$
将左侧、右侧空白角代入上式：
$(60° - ∠1) + ∠1 + (50° - ∠1) = 90°$
化简得：$110° - ∠1 = 90°$
解得：$∠1 = 110° - 90° = 20°$
【答案】
C
【知识点】
正方形内角性质，角的和差运算
【点评】
本题主要考查角的和差计算，解题的关键是结合正方形内角为90°的特征，理清重叠顶点处各角之间的数量关系，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.7
12. 设∠α，∠β的度数分别为$(2n+35)°$和$(n-5)°$，且∠α与∠γ互补，∠β与∠γ互余。
(1)求n的值。
(2)判断∠α与∠β是否互补，并说明理由。
(1)求n的值。
(2)判断∠α与∠β是否互补，并说明理由。
答案
12. 解:(1)由$∠α$与$∠γ$互补，$∠β$与$∠γ$互余，
得$∠α+∠γ=180°,∠β+∠γ=90°$，
所以$∠γ=180°-∠α,∠γ=90°-∠β$，
所以$180°-∠α=90°-∠β$。
因为$∠α,∠β$的度数分别为$(2n+35)°$和$(n-5)°$，
所以$180-(2n+35)=90-(n-5)$，
解得 $n=50$。
(2)$∠α$与$∠β$互补，理由如下：
由(1)得$∠α=(2n+35)°=135°$，
$∠β=(n-5)°=45°$。
因为$∠α+∠β=180°$，
所以$∠α$与$∠β$互为补角。
得$∠α+∠γ=180°,∠β+∠γ=90°$，
所以$∠γ=180°-∠α,∠γ=90°-∠β$，
所以$180°-∠α=90°-∠β$。
因为$∠α,∠β$的度数分别为$(2n+35)°$和$(n-5)°$，
所以$180-(2n+35)=90-(n-5)$，
解得 $n=50$。
(2)$∠α$与$∠β$互补，理由如下：
由(1)得$∠α=(2n+35)°=135°$，
$∠β=(n-5)°=45°$。
因为$∠α+∠β=180°$，
所以$∠α$与$∠β$互为补角。
解析
【分析】
(1) 首先回忆余角、补角的定义：两个角互补则度数和为180°，互余则度数和为90°。已知∠α与∠γ互补、∠β与∠γ互余，两个等量关系中都包含公共角∠γ，我们可以分别用∠α、∠β表示出∠γ，令两个表示∠γ的式子相等，即可消去∠γ得到∠α和∠β的数量关系，再把∠α=(2n+35)°、∠β=(n-5)°代入该关系，就能得到关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值。
(2) 判断两个角是否互补，只需验证两个角的度数和是否为180°即可，将第(1)问求出的n值代入∠α、∠β的表达式，计算两个角的和即可得出结论。
【解析】
(1) 由∠α与∠γ互补，∠β与∠γ互余，根据补角、余角的定义可得：
$∠α + ∠\gamma = 180°$，$∠β + ∠\gamma = 90°$
分别整理得：$∠\gamma = 180° - ∠α$，$∠\gamma = 90° - ∠β$
因此有$180° - ∠α = 90° - ∠β$
已知$∠α=(2n+35)°$，$∠β=(n-5)°$，代入上式得：
$180 - (2n + 35) = 90 - (n - 5)$
去括号：$180 - 2n - 35 = 90 - n + 5$
合并同类项：$145 - 2n = 95 - n$
移项计算得：$n=50$
(2) $∠α$与$∠β$互补，理由如下：
将$n=50$代入得：$∠α=(2×50 + 35)°=135°$，$∠β=(50 - 5)°=45°$
因为$∠α + ∠β = 135° + 45° = 180°$，根据补角的定义，所以$∠α$与$∠β$互为补角。
【答案】
(1) $n=50$；(2) $∠α$与$∠β$互补，理由：$∠α+∠β=180°$，符合补角定义。
【知识点】
补角的定义，余角的定义，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于余角、补角概念的基础应用题，解题核心是利用公共角建立两个未知角的数量关系，再通过方程求解参数，既考查了对余角、补角概念的理解，也渗透了方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆余角、补角的定义：两个角互补则度数和为180°，互余则度数和为90°。已知∠α与∠γ互补、∠β与∠γ互余，两个等量关系中都包含公共角∠γ，我们可以分别用∠α、∠β表示出∠γ，令两个表示∠γ的式子相等，即可消去∠γ得到∠α和∠β的数量关系，再把∠α=(2n+35)°、∠β=(n-5)°代入该关系，就能得到关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值。
(2) 判断两个角是否互补，只需验证两个角的度数和是否为180°即可，将第(1)问求出的n值代入∠α、∠β的表达式，计算两个角的和即可得出结论。
【解析】
(1) 由∠α与∠γ互补，∠β与∠γ互余，根据补角、余角的定义可得：
$∠α + ∠\gamma = 180°$，$∠β + ∠\gamma = 90°$
分别整理得：$∠\gamma = 180° - ∠α$，$∠\gamma = 90° - ∠β$
因此有$180° - ∠α = 90° - ∠β$
已知$∠α=(2n+35)°$，$∠β=(n-5)°$，代入上式得：
$180 - (2n + 35) = 90 - (n - 5)$
去括号：$180 - 2n - 35 = 90 - n + 5$
合并同类项：$145 - 2n = 95 - n$
移项计算得：$n=50$
(2) $∠α$与$∠β$互补，理由如下：
将$n=50$代入得：$∠α=(2×50 + 35)°=135°$，$∠β=(50 - 5)°=45°$
因为$∠α + ∠β = 135° + 45° = 180°$，根据补角的定义，所以$∠α$与$∠β$互为补角。
【答案】
(1) $n=50$；(2) $∠α$与$∠β$互补，理由：$∠α+∠β=180°$，符合补角定义。
【知识点】
补角的定义，余角的定义，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于余角、补角概念的基础应用题，解题核心是利用公共角建立两个未知角的数量关系，再通过方程求解参数，既考查了对余角、补角概念的理解，也渗透了方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
13. 如图，已知OC平分∠AOD，∠BOC=30°，且∠BOC与∠AOD互补，求∠AOD，∠BOD的度数。
答案
13. 解：因为$∠BOC$与$∠AOD$互补，
所以$∠BOC+∠AOD=180°$。
因为$∠BOC=30°$,所以$∠AOD=150°$。
因为OC平分$∠AOD$，
所以$∠DOC=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}×150°=75°$，
所以$∠BOD=∠DOC+∠BOC=75°+30°=105°$。
故$∠AOD=150°,∠BOD=105°$。
所以$∠BOC+∠AOD=180°$。
因为$∠BOC=30°$,所以$∠AOD=150°$。
因为OC平分$∠AOD$，
所以$∠DOC=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}×150°=75°$，
所以$∠BOD=∠DOC+∠BOC=75°+30°=105°$。
故$∠AOD=150°,∠BOD=105°$。
解析
【分析】
解题时先从已知的“∠BOC与∠AOD互补”入手，根据互补的两个角和为180°，结合已知∠BOC的度数，先算出∠AOD的度数；再利用OC平分∠AOD的条件，根据角平分线的定义求出∠DOC的度数；最后观察图形可知∠BOD是∠BOC与∠DOC的和，将两个角的度数相加即可得到∠BOD的度数。
【解析】
解：因为∠BOC与∠AOD互补，
所以$∠ BOC+∠ AOD=180°$。
因为$∠ BOC=30°$，所以$∠ AOD=180°-30°=150°$。
因为OC平分$∠ AOD$，
所以$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×150°=75°$，
所以$∠ BOD=∠ DOC+∠ BOC=75°+30°=105°$。
【答案】
$∠ AOD=150°$，$∠ BOD=105°$
【知识点】
补角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是结合图形梳理各角的数量关系，熟练运用补角、角平分线的定义即可快速解题，是几何角度计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的“∠BOC与∠AOD互补”入手，根据互补的两个角和为180°，结合已知∠BOC的度数，先算出∠AOD的度数；再利用OC平分∠AOD的条件，根据角平分线的定义求出∠DOC的度数；最后观察图形可知∠BOD是∠BOC与∠DOC的和，将两个角的度数相加即可得到∠BOD的度数。
【解析】
解：因为∠BOC与∠AOD互补，
所以$∠ BOC+∠ AOD=180°$。
因为$∠ BOC=30°$，所以$∠ AOD=180°-30°=150°$。
因为OC平分$∠ AOD$，
所以$∠ DOC=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×150°=75°$，
所以$∠ BOD=∠ DOC+∠ BOC=75°+30°=105°$。
【答案】
$∠ AOD=150°$，$∠ BOD=105°$
【知识点】
补角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是结合图形梳理各角的数量关系，熟练运用补角、角平分线的定义即可快速解题，是几何角度计算的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
14. 如图,以直线AB上的一点O为端点,在直线AB的上方作射线OP,使∠BOP=70°,将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处,且直角三角尺(∠MON=90°)在直线AB的上方。设∠BOM=n°(0＜n＜90)。
(1)当n=32时,求∠PON的大小。
(2)当0＜n＜70时,求∠AON−∠POM的度数。
(1)当n=32时,求∠PON的大小。
(2)当0＜n＜70时,求∠AON−∠POM的度数。
答案
14. 解:(1)因为$∠BOM=32°,∠BOP=70°$，
所以$∠POM=∠BOP-∠BOM=70°-32°=38°$。
因为$∠MON=90°$，
所以$∠PON=∠MON-∠POM=90°-38°=52°$。
(2)因为$∠BOM=n°,∠BOP=70°$，
所以$∠POM=∠BOP-∠BOM=70°-n°$。
因为$∠MON=90°$，
所以$∠AON+∠BOM=90°$，
所以$∠AON=90°-n°$，
所以$∠AON-∠POM=90°-n°-(70°-n°)=20°$。
所以$∠POM=∠BOP-∠BOM=70°-32°=38°$。
因为$∠MON=90°$，
所以$∠PON=∠MON-∠POM=90°-38°=52°$。
(2)因为$∠BOM=n°,∠BOP=70°$，
所以$∠POM=∠BOP-∠BOM=70°-n°$。
因为$∠MON=90°$，
所以$∠AON+∠BOM=90°$，
所以$∠AON=90°-n°$，
所以$∠AON-∠POM=90°-n°-(70°-n°)=20°$。
解析
【分析】
（1）解决第一问时，先结合已知的∠BOP和∠BOM的度数，利用角的和差关系求出∠POM的度数，再根据直角三角尺的∠MON=90°，用∠MON减去∠POM即可得到∠PON的度数。
（2）解决第二问时，首先用含n的式子分别表示出∠POM和∠AON：先由∠BOP和∠BOM的差得到∠POM=70°-n°；再根据平角∠AOB=180°、∠MON=90°，可得∠AON与∠BOM互余，即∠AON=90°-n°，最后将两个表达式作差消去n，即可求出固定差值。
【解析】
(1) 因为$∠BOM=32°,∠BOP=70°$，
所以$∠POM=∠BOP-∠BOM=70°-32°=38°$。
因为$∠MON=90°$，
所以$∠PON=∠MON-∠POM=90°-38°=52°$。
(2) 因为$∠BOM=n°,∠BOP=70°$，
所以$∠POM=∠BOP-∠BOM=70°-n°$。
因为$∠MON=90°$，$∠AOB=180°$，
所以$∠AON+∠BOM=180°-∠MON=90°$，
所以$∠AON=90°-n°$，
所以$∠AON-∠POM=90°-n°-(70°-n°)=20°$。
【答案】
(1) $\boxed{52°}$；(2) $\boxed{20°}$
【知识点】
角的和差运算，余角的定义，平角的性质
【点评】
本题是角的计算的基础题型，结合直角三角尺的固定角度特性，考查学生对图形中角的位置关系的识别能力，解题时只要理清各角之间的和差关系就能顺利求解，是角的相关计算的典型习题。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问时，先结合已知的∠BOP和∠BOM的度数，利用角的和差关系求出∠POM的度数，再根据直角三角尺的∠MON=90°，用∠MON减去∠POM即可得到∠PON的度数。
（2）解决第二问时，首先用含n的式子分别表示出∠POM和∠AON：先由∠BOP和∠BOM的差得到∠POM=70°-n°；再根据平角∠AOB=180°、∠MON=90°，可得∠AON与∠BOM互余，即∠AON=90°-n°，最后将两个表达式作差消去n，即可求出固定差值。
【解析】
(1) 因为$∠BOM=32°,∠BOP=70°$，
所以$∠POM=∠BOP-∠BOM=70°-32°=38°$。
因为$∠MON=90°$，
所以$∠PON=∠MON-∠POM=90°-38°=52°$。
(2) 因为$∠BOM=n°,∠BOP=70°$，
所以$∠POM=∠BOP-∠BOM=70°-n°$。
因为$∠MON=90°$，$∠AOB=180°$，
所以$∠AON+∠BOM=180°-∠MON=90°$，
所以$∠AON=90°-n°$，
所以$∠AON-∠POM=90°-n°-(70°-n°)=20°$。
【答案】
(1) $\boxed{52°}$；(2) $\boxed{20°}$
【知识点】
角的和差运算，余角的定义，平角的性质
【点评】
本题是角的计算的基础题型，结合直角三角尺的固定角度特性，考查学生对图形中角的位置关系的识别能力，解题时只要理清各角之间的和差关系就能顺利求解，是角的相关计算的典型习题。
【难度系数】
0.8
