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1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AB=6$，则$AC$的长是（
A.2
B.3
C.6
D.5
B
）A.2
B.3
C.6
D.5
答案
1.B
解析
【分析】
本题属于直角三角形性质的应用类题目，解题思路如下：首先明确题目给出的是含30°锐角的直角三角形，回忆相关性质：直角三角形中，30°角所对的直角边长度等于斜边的一半；接下来确定30°角（∠B）所对的直角边为AC，斜边为已知长度的AB，最后代入数值计算即可得到AC的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，
根据直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
其中∠B=30°，它所对的直角边为AC，斜边为AB，
因此$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础考查题，重点对含30°角的直角三角形的性质进行考察，解题的关键是准确找到30°角对应的直角边和对应的斜边，熟记性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题属于直角三角形性质的应用类题目，解题思路如下：首先明确题目给出的是含30°锐角的直角三角形，回忆相关性质：直角三角形中，30°角所对的直角边长度等于斜边的一半；接下来确定30°角（∠B）所对的直角边为AC，斜边为已知长度的AB，最后代入数值计算即可得到AC的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，
根据直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
其中∠B=30°，它所对的直角边为AC，斜边为AB，
因此$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础考查题，重点对含30°角的直角三角形的性质进行考察，解题的关键是准确找到30°角对应的直角边和对应的斜边，熟记性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则CD等于 （
A.3
B.4
C.5
D.6
A
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先根据三角形内角和求出∠A的度数，再结合角平分线的定义得到∠ABD=∠A，利用等角对等边推出BD=AD，最后在Rt△BCD中利用含30°角的直角三角形的性质即可求出CD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-90°-60°=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD=6，
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠CBD=30°，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
CD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×6=3。
【答案】
A
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 等角对等边
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是通过角度的推导得到相等线段，再结合特殊直角三角形的性质求解，有助于巩固三角形角度计算、角平分线和特殊直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.8
解题时先根据三角形内角和求出∠A的度数，再结合角平分线的定义得到∠ABD=∠A，利用等角对等边推出BD=AD，最后在Rt△BCD中利用含30°角的直角三角形的性质即可求出CD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=180°-∠C-∠ABC=180°-90°-60°=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD=6，
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠CBD=30°，
根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
CD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×6=3。
【答案】
A
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 等角对等边
3. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是通过角度的推导得到相等线段，再结合特殊直角三角形的性质求解，有助于巩固三角形角度计算、角平分线和特殊直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=15°$,$∠ DBC=60°$,$BC=4$,则$AD$的长是（
A.2
B.4
C.6
D.8
D
）A.2
B.4
C.6
D.8
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先从含特殊角的Rt△BCD入手，利用直角三角形两锐角互余求出∠BDC的度数，再结合30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BD的长度；接着计算△ABC中∠ABC的度数，进而得到∠ABD的度数，通过等角对等边判定AD=BD，即可求出AD的长。
【解析】
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠DBC=60°，
∴∠BDC=90°-∠DBC=30°，
∵30°角所对的直角边等于斜边的一半，BC=4，
∴BD=2BC=2×4=8。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°-∠A=75°，
∴∠ABD=∠ABC - ∠DBC=75°-60°=15°，
∴∠ABD=∠A=15°，
根据等角对等边，可得AD=BD=8。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余，含30°角的直角三角形的性质，等角对等边
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是通过角度推导得到相等的角，进而转化为边的数量关系，同时结合特殊直角三角形的性质求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从含特殊角的Rt△BCD入手，利用直角三角形两锐角互余求出∠BDC的度数，再结合30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BD的长度；接着计算△ABC中∠ABC的度数，进而得到∠ABD的度数，通过等角对等边判定AD=BD，即可求出AD的长。
【解析】
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠DBC=60°，
∴∠BDC=90°-∠DBC=30°，
∵30°角所对的直角边等于斜边的一半，BC=4，
∴BD=2BC=2×4=8。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°-∠A=75°，
∴∠ABD=∠ABC - ∠DBC=75°-60°=15°，
∴∠ABD=∠A=15°，
根据等角对等边，可得AD=BD=8。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余，含30°角的直角三角形的性质，等角对等边
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是通过角度推导得到相等的角，进而转化为边的数量关系，同时结合特殊直角三角形的性质求解，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
4.如图,等腰三角形ABC的顶角为$120°$,腰长AB为12 cm,则底边上的高是（
A.4 cm
B.6 cm
C.10 cm
D.12 cm
B
）A.4 cm
B.6 cm
C.10 cm
D.12 cm
答案
4.B
解析
【分析】
要求等腰三角形底边上的高，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作底边BC的高AD，将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。首先根据三角形内角和以及等腰三角形两底角相等的性质，计算出底角∠B的度数为30°，再在直角三角形ABD中，利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，即可求出高AD的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，AD即为所求的底边上的高。
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠B = (180° - ∠BAC)÷2 = (180° - 120°)÷2 = 30°，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，斜边AB=12cm，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×12 = 6（cm）。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是通过作高将等腰三角形转化为特殊直角三角形，结合特殊三角形的性质求解，属于常规考点，需要熟练掌握相关性质并灵活应用。
【难度系数】
0.8
要求等腰三角形底边上的高，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，过顶点A作底边BC的高AD，将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。首先根据三角形内角和以及等腰三角形两底角相等的性质，计算出底角∠B的度数为30°，再在直角三角形ABD中，利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，即可求出高AD的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，AD即为所求的底边上的高。
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠B = (180° - ∠BAC)÷2 = (180° - 120°)÷2 = 30°，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，斜边AB=12cm，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×12 = 6（cm）。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是通过作高将等腰三角形转化为特殊直角三角形，结合特殊三角形的性质求解，属于常规考点，需要熟练掌握相关性质并灵活应用。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ ABC=60°$.用直尺和圆规作线段$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$,若$AD=6$,则$CD$的长为 (
A.$1.5$
B.$3$
C.$4.5$
D.$6$
B
)A.$1.5$
B.$3$
C.$4.5$
D.$6$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，连接BD可得BD=AD，得到BD的长度；再根据三角形内角和求出∠A的度数，结合等边对等角得到∠ABD的度数，进而求出∠CBD的度数；最后在直角三角形BCD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出CD的长度。
【解析】
连接BD，
∵所作直线是线段AB的垂直平分线，点D在垂直平分线上，
∴BD = AD = 6，
∴∠A = ∠ABD，
在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A = 180° - ∠C - ∠ABC = 180° - 90° - 60° = 30°，
∴∠ABD = ∠A = 30°，
∴∠CBD = ∠ABC - ∠ABD = 60° - 30° = 30°，
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠CBD=30°，
∴CD = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}×6 = 3$。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是通过连接辅助线BD，将垂直平分线的性质、等腰三角形性质和直角三角形的特殊角度性质结合起来求解，是几何部分的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，连接BD可得BD=AD，得到BD的长度；再根据三角形内角和求出∠A的度数，结合等边对等角得到∠ABD的度数，进而求出∠CBD的度数；最后在直角三角形BCD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出CD的长度。
【解析】
连接BD，
∵所作直线是线段AB的垂直平分线，点D在垂直平分线上，
∴BD = AD = 6，
∴∠A = ∠ABD，
在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A = 180° - ∠C - ∠ABC = 180° - 90° - 60° = 30°，
∴∠ABD = ∠A = 30°，
∴∠CBD = ∠ABC - ∠ABD = 60° - 30° = 30°，
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠CBD=30°，
∴CD = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}×6 = 3$。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是通过连接辅助线BD，将垂直平分线的性质、等腰三角形性质和直角三角形的特殊角度性质结合起来求解，是几何部分的常见典型题型。
【难度系数】
0.7
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$BC=3$，则$AB$的长为
6
。答案
6.6
解析
【分析】
本题是含30°锐角的直角三角形边长求解问题，解题思路如下：首先回忆直角三角形的特殊性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；接着定位对应边：本题中30°角是∠A，它所对的直角边是BC，斜边是AB；最后代入已知边长计算即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，BC是∠A所对的直角边，AB为斜边
∴ 根据直角三角形30°角的性质可得：$BC=\frac{1}{2}AB$
∴ $AB=2BC$
又
∵ $BC=3$
∴ $AB=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对直角三角形30°角相关性质的直接应用，熟记性质、准确对应30°角所对的直角边和斜边即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题是含30°锐角的直角三角形边长求解问题，解题思路如下：首先回忆直角三角形的特殊性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；接着定位对应边：本题中30°角是∠A，它所对的直角边是BC，斜边是AB；最后代入已知边长计算即可得到AB的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，BC是∠A所对的直角边，AB为斜边
∴ 根据直角三角形30°角的性质可得：$BC=\frac{1}{2}AB$
∴ $AB=2BC$
又
∵ $BC=3$
∴ $AB=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对直角三角形30°角相关性质的直接应用，熟记性质、准确对应30°角所对的直角边和斜边即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7.在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，$AB=10$，则$BC=$
5
。答案
7.5
解析
【分析】
解题时首先看到三角形三个内角的度数比，先利用三角形内角和为180°，按比例分配求出每个内角的度数，判断三角形类型；再结合特殊直角三角形的性质找到对应边的数量关系，代入已知边长计算即可。具体思路：①设每份角度为x，根据比例表示三个内角，列方程求解得到各角的度数；②确定三角形是含30°角的直角三角形，明确30°角对应的直角边和斜边；③利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质计算BC的长度。
【解析】
解：设$∠ A=x$，则$∠ B=2x$，$∠ C=3x$。
根据三角形内角和为$180°$，可列方程：
$x+2x+3x=180°$
解得$x=30°$
因此$∠ A=30°$，$∠ C=3×30°=90°$，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ C$为直角。
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ A$对应的直角边为$BC$，斜边$AB=10$。
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
【答案】
5
【知识点】
三角形内角和定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形内角和与特殊直角三角形性质的综合基础题，解题的核心是先通过角度比例确定三角形为含30°角的直角三角形，再对应性质找边的关系计算，注意不要混淆30°角对应的对边。
【难度系数】
0.8
解题时首先看到三角形三个内角的度数比，先利用三角形内角和为180°，按比例分配求出每个内角的度数，判断三角形类型；再结合特殊直角三角形的性质找到对应边的数量关系，代入已知边长计算即可。具体思路：①设每份角度为x，根据比例表示三个内角，列方程求解得到各角的度数；②确定三角形是含30°角的直角三角形，明确30°角对应的直角边和斜边；③利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质计算BC的长度。
【解析】
解：设$∠ A=x$，则$∠ B=2x$，$∠ C=3x$。
根据三角形内角和为$180°$，可列方程：
$x+2x+3x=180°$
解得$x=30°$
因此$∠ A=30°$，$∠ C=3×30°=90°$，即$△ ABC$是直角三角形，$∠ C$为直角。
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ A$对应的直角边为$BC$，斜边$AB=10$。
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
【答案】
5
【知识点】
三角形内角和定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形内角和与特殊直角三角形性质的综合基础题，解题的核心是先通过角度比例确定三角形为含30°角的直角三角形，再对应性质找边的关系计算，注意不要混淆30°角对应的对边。
【难度系数】
0.8
8.如图,在△ABC中,AB=AC=12,∠BAC=120°,则底边上的中线AD=
6
.答案
8.6
解析
【分析】
首先由已知AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合AD是底边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是底边上的高，即∠ADB=90°。接下来利用三角形内角和定理计算出底角∠B的度数，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC底边BC上的中线，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADB=90°，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B = (180° - ∠BAC)÷2 = (180° - 120°)÷2 = 30°，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，斜边AB=12，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×12 = 6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合直角三角形的特殊角度性质求解，是等腰三角形和直角三角形性质结合考查的典型题型。
【难度系数】
0.8
首先由已知AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，结合AD是底边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是底边上的高，即∠ADB=90°。接下来利用三角形内角和定理计算出底角∠B的度数，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC底边BC上的中线，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADB=90°，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B = (180° - ∠BAC)÷2 = (180° - 120°)÷2 = 30°，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，斜边AB=12，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×12 = 6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合直角三角形的特殊角度性质求解，是等腰三角形和直角三角形性质结合考查的典型题型。
【难度系数】
0.8
