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6.如图所示是某几何体的三视图及相关数据，
下列判断正确的是()
A.$a＞c$
B.$b＞c$
C.$4a^2 + b^2 = c^2$
D.$a^2 + b^2 = c^2$
下列判断正确的是()
A.$a＞c$
B.$b＞c$
C.$4a^2 + b^2 = c^2$
D.$a^2 + b^2 = c^2$
答案
D
解析
【分析】
首先根据三视图的特征判断该几何体为圆锥，再将三视图中的数据对应到圆锥的参数：主视图的高b是圆锥的高，俯视图的直径为2a，可得底面半径为a，左视图中的c是圆锥的母线长。圆锥的母线、高、底面半径恰好构成直角三角形，其中母线为斜边，结合勾股定理即可判断各选项的正误。
【解析】
1. 识别几何体：由主视图和左视图为等腰三角形、俯视图为带圆心的圆，可知该几何体是圆锥。
2. 对应参数：圆锥的高为$b$，底面圆的半径$r=a$（由俯视图直径为$2a$推导可得），圆锥的母线长为$c$。
3. 分析参数关系：圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形，母线$c$为斜边，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
4. 逐一判断选项：
A选项：$a$是直角边，$c$是斜边，故$a＜c$，A错误；
B选项：$b$是直角边，$c$是斜边，故$b＜c$，B错误；
C选项：不符合勾股定理的表达式，C错误；
D选项：符合推导的关系式，D正确。
【答案】
D
【知识点】
三视图识别，圆锥的性质，勾股定理
【点评】
本题解题的关键是先通过三视图还原出圆锥几何体，再准确对应各数据代表的圆锥参数，结合直角三角形的勾股定理即可快速得出结论，是立体图形计算中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
首先根据三视图的特征判断该几何体为圆锥，再将三视图中的数据对应到圆锥的参数：主视图的高b是圆锥的高，俯视图的直径为2a，可得底面半径为a，左视图中的c是圆锥的母线长。圆锥的母线、高、底面半径恰好构成直角三角形，其中母线为斜边，结合勾股定理即可判断各选项的正误。
【解析】
1. 识别几何体：由主视图和左视图为等腰三角形、俯视图为带圆心的圆，可知该几何体是圆锥。
2. 对应参数：圆锥的高为$b$，底面圆的半径$r=a$（由俯视图直径为$2a$推导可得），圆锥的母线长为$c$。
3. 分析参数关系：圆锥的母线、高、底面半径构成直角三角形，母线$c$为斜边，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
4. 逐一判断选项：
A选项：$a$是直角边，$c$是斜边，故$a＜c$，A错误；
B选项：$b$是直角边，$c$是斜边，故$b＜c$，B错误；
C选项：不符合勾股定理的表达式，C错误；
D选项：符合推导的关系式，D正确。
【答案】
D
【知识点】
三视图识别，圆锥的性质，勾股定理
【点评】
本题解题的关键是先通过三视图还原出圆锥几何体，再准确对应各数据代表的圆锥参数，结合直角三角形的勾股定理即可快速得出结论，是立体图形计算中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
7.如图是三棱柱的表面展开图.
(1)画出它的三视图；
(2)求出它的表面积.
(1)画出它的三视图；
(2)求出它的表面积.
答案
解：
(1) 该直三棱柱的三视图绘制规则如下：
主视图为长$2\sqrt{2}$、高为8的矩形；
左视图为长2、高为8的矩形；
俯视图为直角边长为2的等腰直角三角形；
所有可见轮廓线用实线绘制，符合正投影三视图规范即可。
(2) 由展开图可知，该直三棱柱底面三角形的三边长分别为$2,2,2\sqrt{2}$。
$\because 2^2 + 2^2 = (2\sqrt{2})^2$，
$\therefore$ 底面是等腰直角三角形。
两个底面的面积和为：$2× \frac{1}{2} × 2 × 2 = 4$，
三个侧面均为矩形，侧面积和为：$2×8 + 2×8 + 2\sqrt{2}×8 = 32 + 16\sqrt{2}$，
$\therefore$ 该三棱柱的表面积为：$4 + 32 + 16\sqrt{2} = 36 + 16\sqrt{2}$。
答：它的表面积为$36+16\sqrt{2}$。
(1) 该直三棱柱的三视图绘制规则如下：
主视图为长$2\sqrt{2}$、高为8的矩形；
左视图为长2、高为8的矩形；
俯视图为直角边长为2的等腰直角三角形；
所有可见轮廓线用实线绘制，符合正投影三视图规范即可。
(2) 由展开图可知，该直三棱柱底面三角形的三边长分别为$2,2,2\sqrt{2}$。
$\because 2^2 + 2^2 = (2\sqrt{2})^2$，
$\therefore$ 底面是等腰直角三角形。
两个底面的面积和为：$2× \frac{1}{2} × 2 × 2 = 4$，
三个侧面均为矩形，侧面积和为：$2×8 + 2×8 + 2\sqrt{2}×8 = 32 + 16\sqrt{2}$，
$\therefore$ 该三棱柱的表面积为：$4 + 32 + 16\sqrt{2} = 36 + 16\sqrt{2}$。
答：它的表面积为$36+16\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题时先根据展开图还原直三棱柱的结构：上下底面为三角形，侧面是三个矩形。(1)画三视图时，先明确各观察方向对应的投影面：主视方向正对边长为$2\sqrt{2}$的侧面，左视方向正对边长为2的侧面，俯视方向正对底面三角形，按照正投影规则绘制，可见轮廓用实线即可。(2)求表面积需先判断底面三角形的形状，利用勾股定理逆定理验证得底面为等腰直角三角形，再分别计算2个底面的面积和、三个侧面的面积和，相加即为总表面积。
【解析】
(1)三视图绘制如下：
主视图：长为$2\sqrt{2}$、高为8的矩形；
左视图：长为2、高为8的矩形；
俯视图：直角边长为2的等腰直角三角形；
所有可见轮廓线用实线绘制，符合正投影三视图规范即可。
(2)由展开图可知，直三棱柱底面三角形的三边长分别为$2,2,2\sqrt{2}$。
因为$2^2 + 2^2 = (2\sqrt{2})^2$，根据勾股定理逆定理可得底面是等腰直角三角形。
①计算两个底面的面积和：$2× \frac{1}{2} × 2 × 2 = 4$；
②计算三个侧面的面积和：三个侧面均为矩形，面积和为$2×8 + 2×8 + 2\sqrt{2}×8 = 32 + 16\sqrt{2}$；
③总表面积为底面积加侧面积：$4 + 32 + 16\sqrt{2} = 36 + 16\sqrt{2}$。
【答案】
(1)主视图为长$2\sqrt{2}$、高8的矩形，左视图为长2、高8的矩形，俯视图为直角边长为2的等腰直角三角形（绘制符合规范即可）；
(2)表面积为$36+16\sqrt{2}$。
【知识点】
1. 直棱柱展开图
2. 三视图画法
3. 几何体表面积计算
【点评】
本题是立体图形计算的基础题型，解题关键是从展开图中提取几何体的边长信息，准确判断底面三角形的形状，再结合三视图规则和表面积公式求解，计算时注意不要漏算上下两个底面的面积。
【难度系数】
0.7
解题时先根据展开图还原直三棱柱的结构：上下底面为三角形，侧面是三个矩形。(1)画三视图时，先明确各观察方向对应的投影面：主视方向正对边长为$2\sqrt{2}$的侧面，左视方向正对边长为2的侧面，俯视方向正对底面三角形，按照正投影规则绘制，可见轮廓用实线即可。(2)求表面积需先判断底面三角形的形状，利用勾股定理逆定理验证得底面为等腰直角三角形，再分别计算2个底面的面积和、三个侧面的面积和，相加即为总表面积。
【解析】
(1)三视图绘制如下：
主视图：长为$2\sqrt{2}$、高为8的矩形；
左视图：长为2、高为8的矩形；
俯视图：直角边长为2的等腰直角三角形；
所有可见轮廓线用实线绘制，符合正投影三视图规范即可。
(2)由展开图可知，直三棱柱底面三角形的三边长分别为$2,2,2\sqrt{2}$。
因为$2^2 + 2^2 = (2\sqrt{2})^2$，根据勾股定理逆定理可得底面是等腰直角三角形。
①计算两个底面的面积和：$2× \frac{1}{2} × 2 × 2 = 4$；
②计算三个侧面的面积和：三个侧面均为矩形，面积和为$2×8 + 2×8 + 2\sqrt{2}×8 = 32 + 16\sqrt{2}$；
③总表面积为底面积加侧面积：$4 + 32 + 16\sqrt{2} = 36 + 16\sqrt{2}$。
【答案】
(1)主视图为长$2\sqrt{2}$、高8的矩形，左视图为长2、高8的矩形，俯视图为直角边长为2的等腰直角三角形（绘制符合规范即可）；
(2)表面积为$36+16\sqrt{2}$。
【知识点】
1. 直棱柱展开图
2. 三视图画法
3. 几何体表面积计算
【点评】
本题是立体图形计算的基础题型，解题关键是从展开图中提取几何体的边长信息，准确判断底面三角形的形状，再结合三视图规则和表面积公式求解，计算时注意不要漏算上下两个底面的面积。
【难度系数】
0.7
8.如图是一个食品包装盒的侧面展开图.
(1)请写出这个包装盒的名称；
(2)请根据图中标出的尺寸,计算这个多面体的侧面积和表面积.
(1)请写出这个包装盒的名称；
(2)请根据图中标出的尺寸,计算这个多面体的侧面积和表面积.
答案
解：
(1) 这个包装盒的名称是正六棱柱。
(2) 该多面体的侧面由6个长为a、宽为b的长方形组成，
侧面积 = 6×a×b = 6ab。
上下两个底面是边长为b的正六边形，将正六边形分割为6个边长为b的等边三角形，单个等边三角形的面积为$\frac{1}{2} × b × \frac{\sqrt{3}}{2}b = \frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，
因此单个正六边形的面积为$6 × \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$，
两个底面的总面积为$2 × \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2 = 3\sqrt{3}b^2$。
表面积 = 侧面积 + 两个底面的面积和 = $6ab + 3\sqrt{3}b^2$。
答：这个多面体的侧面积为$6ab$，表面积为$6ab + 3\sqrt{3}b^2$。
(1) 这个包装盒的名称是正六棱柱。
(2) 该多面体的侧面由6个长为a、宽为b的长方形组成，
侧面积 = 6×a×b = 6ab。
上下两个底面是边长为b的正六边形，将正六边形分割为6个边长为b的等边三角形，单个等边三角形的面积为$\frac{1}{2} × b × \frac{\sqrt{3}}{2}b = \frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，
因此单个正六边形的面积为$6 × \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$，
两个底面的总面积为$2 × \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2 = 3\sqrt{3}b^2$。
表面积 = 侧面积 + 两个底面的面积和 = $6ab + 3\sqrt{3}b^2$。
答：这个多面体的侧面积为$6ab$，表面积为$6ab + 3\sqrt{3}b^2$。
解析
【分析】
(1) 判断包装盒名称时，先观察展开图的构成：展开图包含6个完全相同的长方形侧面和2个全等的正六边形底面，符合正六棱柱展开图的特征，即可确定几何体类型。
(2) 计算面积时，侧面积为6个侧面长方形的面积之和，每个长方形长为a、宽为b，直接计算即可；表面积为侧面积加两个底面的面积之和，底面是正六边形，可将其分割为6个边长为b的等边三角形，先算单个等边三角形的面积，再推导得到正六边形的面积，最后和侧面积相加即可得到表面积。
【解析】
(1) 该展开图的侧面是6个长方形，两个底面是正六边形，因此这个包装盒的名称是正六棱柱。
(2) 计算侧面积：
侧面由6个长为a、宽为b的长方形组成，
侧面积$=6× a× b=6ab$。
计算底面面积：
上下底面是边长为b的正六边形，可分割为6个边长为b的等边三角形，单个等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，
单个等边三角形的面积$=\frac{1}{2}× b× \frac{\sqrt{3}}{2}b=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，
单个正六边形的面积$=6× \frac{\sqrt{3}}{4}b^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$，
两个底面的总面积$=2× \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2=3\sqrt{3}b^2$。
计算表面积：
表面积$=$侧面积$+$两个底面面积和$=6ab+3\sqrt{3}b^2$。
【答案】
(1) 正六棱柱；
(2) 侧面积为$\boldsymbol{6ab}$，表面积为$\boldsymbol{6ab+3\sqrt{3}b^2}$。
【知识点】
立体图形展开图识别，正六边形面积计算，表面积计算
【点评】
本题主要考查立体图形展开图的识别和正六棱柱的面积计算，解题的关键是正确判断几何体的形状，掌握将正六边形分割为等边三角形求面积的方法，属于基础题，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 判断包装盒名称时，先观察展开图的构成：展开图包含6个完全相同的长方形侧面和2个全等的正六边形底面，符合正六棱柱展开图的特征，即可确定几何体类型。
(2) 计算面积时，侧面积为6个侧面长方形的面积之和，每个长方形长为a、宽为b，直接计算即可；表面积为侧面积加两个底面的面积之和，底面是正六边形，可将其分割为6个边长为b的等边三角形，先算单个等边三角形的面积，再推导得到正六边形的面积，最后和侧面积相加即可得到表面积。
【解析】
(1) 该展开图的侧面是6个长方形，两个底面是正六边形，因此这个包装盒的名称是正六棱柱。
(2) 计算侧面积：
侧面由6个长为a、宽为b的长方形组成，
侧面积$=6× a× b=6ab$。
计算底面面积：
上下底面是边长为b的正六边形，可分割为6个边长为b的等边三角形，单个等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，
单个等边三角形的面积$=\frac{1}{2}× b× \frac{\sqrt{3}}{2}b=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，
单个正六边形的面积$=6× \frac{\sqrt{3}}{4}b^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}b^2$，
两个底面的总面积$=2× \frac{3\sqrt{3}}{2}b^2=3\sqrt{3}b^2$。
计算表面积：
表面积$=$侧面积$+$两个底面面积和$=6ab+3\sqrt{3}b^2$。
【答案】
(1) 正六棱柱；
(2) 侧面积为$\boldsymbol{6ab}$，表面积为$\boldsymbol{6ab+3\sqrt{3}b^2}$。
【知识点】
立体图形展开图识别，正六边形面积计算，表面积计算
【点评】
本题主要考查立体图形展开图的识别和正六棱柱的面积计算，解题的关键是正确判断几何体的形状，掌握将正六边形分割为等边三角形求面积的方法，属于基础题，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9.如图所示，根据几何体的三视图及其尺寸解答下列问题.
(1)若$r=3$，求几何体的体积；
(2)若几何体的体积为$90π$，求$r$.
(1)若$r=3$，求几何体的体积；
(2)若几何体的体积为$90π$，求$r$.
答案
解：
由三视图可知，该几何体是高为10的空心圆柱，外圆柱底面半径为$\frac{8}{2}=4$，内部挖去的小圆柱底面半径为$r$，几何体体积公式为：
$V = π × 4^2 × 10 - π r^2 × 10 = 10π(16 - r^2)$
(1) 当$r=3$时，代入体积公式：
$V = 10π×(16 - 3^2) = 10π×7 = 70π$
(2) 令$V=90π$，代入体积公式：
$10π(16 - r^2) = 90π$
两边同时除以$10π$，得：
$16 - r^2 = 9$
解得$r^2=7$，
$\because r＞0$，$\therefore r=\sqrt{7}$。
答：(1) 几何体的体积为$70π$；(2) $r$的值为$\sqrt{7}$。
由三视图可知，该几何体是高为10的空心圆柱，外圆柱底面半径为$\frac{8}{2}=4$，内部挖去的小圆柱底面半径为$r$，几何体体积公式为：
$V = π × 4^2 × 10 - π r^2 × 10 = 10π(16 - r^2)$
(1) 当$r=3$时，代入体积公式：
$V = 10π×(16 - 3^2) = 10π×7 = 70π$
(2) 令$V=90π$，代入体积公式：
$10π(16 - r^2) = 90π$
两边同时除以$10π$，得：
$16 - r^2 = 9$
解得$r^2=7$，
$\because r＞0$，$\therefore r=\sqrt{7}$。
答：(1) 几何体的体积为$70π$；(2) $r$的值为$\sqrt{7}$。
解析
【分析】
首先通过三视图判断该几何体为空心圆柱，先确定外圆柱的底面半径、高，以及内部挖去的小圆柱的底面半径和高；空心圆柱的体积等于外圆柱体积减去内部小圆柱的体积，先推导通用的体积公式：
1. 解决第(1)问时，直接将$r=3$代入推导好的体积公式计算即可；
2. 解决第(2)问时，把体积$90π$代入体积公式，得到关于$r$的方程，结合$r＞0$的实际意义求解即可。
【解析】
由三视图可知，该几何体是高为10的空心圆柱，外圆柱底面直径为8，因此底面半径为$\frac{8}{2}=4$，内部挖去的小圆柱底面半径为$r$，高也为10。
根据圆柱体积公式$V_{圆柱}=πR^2h$，可得几何体体积公式为：
$V = V_{外圆柱} - V_{内圆柱} = π × 4^2 × 10 - π r^2 × 10 = 10π(16 - r^2)$
(1) 当$r=3$时，代入体积公式：
$V = 10π×(16 - 3^2) = 10π×(16-9) = 10π×7 = 70π$
(2) 若几何体体积为$90π$，代入体积公式得：
$10π(16 - r^2) = 90π$
两边同时除以$10π$，得：
$16 - r^2 = 9$
整理得$r^2=7$，
$\because r$为圆柱底面半径，$r＞0$，$\therefore r=\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $70π$；(2) $\sqrt{7}$
【知识点】
三视图识别几何体，圆柱体积计算，解方程
【点评】
本题主要考查结合三视图求解立体图形体积的能力，解题核心是准确判断几何体形状，正确运用体积公式列式计算，求解半径时要注意结合实际意义取正根，是立体图形计算的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
首先通过三视图判断该几何体为空心圆柱，先确定外圆柱的底面半径、高，以及内部挖去的小圆柱的底面半径和高；空心圆柱的体积等于外圆柱体积减去内部小圆柱的体积，先推导通用的体积公式：
1. 解决第(1)问时，直接将$r=3$代入推导好的体积公式计算即可；
2. 解决第(2)问时，把体积$90π$代入体积公式，得到关于$r$的方程，结合$r＞0$的实际意义求解即可。
【解析】
由三视图可知，该几何体是高为10的空心圆柱，外圆柱底面直径为8，因此底面半径为$\frac{8}{2}=4$，内部挖去的小圆柱底面半径为$r$，高也为10。
根据圆柱体积公式$V_{圆柱}=πR^2h$，可得几何体体积公式为：
$V = V_{外圆柱} - V_{内圆柱} = π × 4^2 × 10 - π r^2 × 10 = 10π(16 - r^2)$
(1) 当$r=3$时，代入体积公式：
$V = 10π×(16 - 3^2) = 10π×(16-9) = 10π×7 = 70π$
(2) 若几何体体积为$90π$，代入体积公式得：
$10π(16 - r^2) = 90π$
两边同时除以$10π$，得：
$16 - r^2 = 9$
整理得$r^2=7$，
$\because r$为圆柱底面半径，$r＞0$，$\therefore r=\sqrt{7}$。
【答案】
(1) $70π$；(2) $\sqrt{7}$
【知识点】
三视图识别几何体，圆柱体积计算，解方程
【点评】
本题主要考查结合三视图求解立体图形体积的能力，解题核心是准确判断几何体形状，正确运用体积公式列式计算，求解半径时要注意结合实际意义取正根，是立体图形计算的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
