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变式3:等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,求这个等腰三角形的底角度数。
答案
$75°$ 或 $15°$。
解析
【分析】
解题时首先要注意等腰三角形腰上的高的位置不确定，需要分两种情况讨论：①等腰三角形为锐角三角形，此时腰上的高在三角形内部；②等腰三角形为钝角三角形，此时腰上的高在三角形外部（若为直角等腰三角形，腰上的高等于腰长，不符合题意，可排除）。再结合直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质求出顶角的度数，最后根据等腰三角形两底角相等的性质计算底角度数。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$BD$是腰$AC$上的高，即$BD⊥ AC$，且$BD=\frac{1}{2}AB$。
情况1：高$BD$在$△ ABC$内部（此时顶角$∠ BAC$为锐角）
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$BD=\frac{1}{2}AB$，根据直角三角形的性质可得$∠ BAC=30°$。
因为等腰三角形两底角相等，所以底角$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
情况2：高$BD$在$△ ABC$外部（此时顶角$∠ BAC$为钝角）
此时点$D$在$CA$的延长线上，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$BD=\frac{1}{2}AB$，可得$∠ BAD=30°$。
则顶角$∠ BAC=180°-∠ BAD=180°-30°=150°$，
所以底角$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
综上，这个等腰三角形的底角度数为$75°$或$15°$。
【答案】
$75°$或$15°$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形腰上的高可能在三角形外部的情况，解题时需要结合等腰三角形的形状分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意等腰三角形腰上的高的位置不确定，需要分两种情况讨论：①等腰三角形为锐角三角形，此时腰上的高在三角形内部；②等腰三角形为钝角三角形，此时腰上的高在三角形外部（若为直角等腰三角形，腰上的高等于腰长，不符合题意，可排除）。再结合直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质求出顶角的度数，最后根据等腰三角形两底角相等的性质计算底角度数。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$BD$是腰$AC$上的高，即$BD⊥ AC$，且$BD=\frac{1}{2}AB$。
情况1：高$BD$在$△ ABC$内部（此时顶角$∠ BAC$为锐角）
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$BD=\frac{1}{2}AB$，根据直角三角形的性质可得$∠ BAC=30°$。
因为等腰三角形两底角相等，所以底角$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
情况2：高$BD$在$△ ABC$外部（此时顶角$∠ BAC$为钝角）
此时点$D$在$CA$的延长线上，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$BD=\frac{1}{2}AB$，可得$∠ BAD=30°$。
则顶角$∠ BAC=180°-∠ BAD=180°-30°=150°$，
所以底角$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
综上，这个等腰三角形的底角度数为$75°$或$15°$。
【答案】
$75°$或$15°$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等腰三角形腰上的高可能在三角形外部的情况，解题时需要结合等腰三角形的形状分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
原题 4:如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若点P从点A出发,以每秒1cm的速度沿折线A-B-C-A运动,设运动时间为t s(t＞0)。
(1)若点P在BC上,且满足PA=PB,求此时t的值。
(2)在运动过程中,当t为何值时,△ACP为等腰三角形。
【解析】本题需要进行分类讨论,结合作图后得出有关性质,列式计算。先讨论比较方便的AC=AP的情况,P在BC上时CP=CA的情况,再讨论PA=PC(P在AC垂直平分线上时)的情况,最后讨论CA=CP(作AB上的高求解)的情况。
变式 4:如图,直线a,b相交于点O,∠1=50°,A是直线a上的一个定点,点B在直线b上运动,若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB的度数是
变式 5:如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连结AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E。
(1)当∠BDA=115°时,∠EDC=
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由。
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数;若不可以,请说明理由。
(1)若点P在BC上,且满足PA=PB,求此时t的值。
(2)在运动过程中,当t为何值时,△ACP为等腰三角形。
【解析】本题需要进行分类讨论,结合作图后得出有关性质,列式计算。先讨论比较方便的AC=AP的情况,P在BC上时CP=CA的情况,再讨论PA=PC(P在AC垂直平分线上时)的情况,最后讨论CA=CP(作AB上的高求解)的情况。
变式 4:如图,直线a,b相交于点O,∠1=50°,A是直线a上的一个定点,点B在直线b上运动,若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB的度数是
50°或65°或80°或25°
。变式 5:如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连结AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E。
(1)当∠BDA=115°时,∠EDC=
25
°,∠DEC=115
°;点D从点B向点C运动时,∠BDA逐渐变小
(填“大”或“小”)。(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由。
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数;若不可以,请说明理由。
答案
原题 4:(1)因为点 P 在 BC 上,
,连结 AP,在 Rt△ABC 中,$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{25-16}=3$,设 $PC=x$,因为 $PA=PB$,所以 $PA=PB=4-x$。因为在 Rt△APC 中,$AP^2=PC^2+AC^2$,所以 $(4-x)^2=3^2+x^2$,解得 $x=\frac{7}{8}$,所以 $4-x=\frac{25}{8}$,所以 $AB+BP=5+\frac{25}{8}=\frac{65}{8}$,所以 $t=\frac{65}{8}÷1=\frac{65}{8}$。(2)分四种情况:①
中当 P 在 AB 上且 $AP=CP$ 时,$∠A=∠ACP$,而 $∠A+∠B=90°$,$∠ACP+∠BCP=90°$,所以 $∠B=∠BCP$,所以 $CP=BP$,所以 P 是 AB 的中点,即 $AP=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$,所以 $t=\frac{5}{2}÷1=\frac{5}{2}$;②当 P 在 AB 上且 $AP=AC=3$ 时,$t=3÷1=3$;
③当 P 在 AB 上且 $AC=PC$ 时,过点 C 作 $CD⊥AB$ 于点 D,则 $CD=\frac{AC×BC}{AB}=\frac{12}{5}$,所以在 Rt△ACD 中,由勾股定理得 $AD=\frac{9}{5}$,所以 $AP=2AD=2×\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$,所以 $t=\frac{18}{5}÷1=\frac{18}{5}$;
④当 P 在 BC 上且 $AC=PC=3$ 时,$BP=4-3=1$,所以 $t=\frac{AB+BP}{1}=\frac{6}{1}=6$;
综上所述,当 $t$ 值为 $\frac{5}{2}$ 或 3 或 $\frac{18}{5}$ 或 6 时,$△ACP$ 是等腰三角形。
变式 4:$50°$ 或 $65°$ 或 $80°$ 或 $25°$
【解析】要使 $△OAB$ 为等腰三角形分四种情况讨论:①当 $OB_1=AB_1$ 时,$∠OAB=∠1=50°$;②当 $OA=AB_2$ 时,$∠OAB=180°-2×50°=80°$;③当 $OA=OB_3$ 时,$∠OAB=∠OBA=\frac{1}{2}(180°-50°)=65°$;④当 $OA=OB_4$ 时,$∠OAB=∠OBA=\frac{1}{2}∠1=25°$。综上所述,$∠OAB$ 的度数是 $50°$ 或 $65°$ 或 $80°$ 或 $25°$。
变式 5:(1)25;115;小。
(2)当 $DC=2$ 时,$△ABD≌△DCE$。理由如下:因为 $∠C=40°$,所以 $∠DEC+∠EDC=140°$。又因为 $∠ADE=40°$,所以 $∠ADB+∠EDC=140°$,所以 $∠ADB=∠DEC$。又因为 $∠B=∠C$,$AB=DC=2$,所以 $△ABD≌△DCE(AAS)$。
(3)当 $∠BDA$ 的度数为 $110°$ 或 $80°$ 时,$△ADE$ 的形状是等腰三角形。
解析
【分析】
本组题均围绕等腰三角形的分类讨论展开，解题核心是：当等腰三角形未明确腰与底边、顶角与底角时，需分所有可能的情况讨论，避免漏解。动点类问题先确定动点所在线段，结合勾股定理、直角三角形性质列方程求解；角度类问题分三条边分别为腰的四类情况，结合三角形内角和计算角度；结合全等的问题先推导等角条件，再匹配全等判定的边条件，最后验证等腰三角形的成立合理性。
【解析】
原题4
(1) 已知△ABC中∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，，连结AP：
先由勾股定理求AC长度：在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{25-16}=3\mathrm{cm}$。
点P在BC上且满足PA=PB，设$PC=x$，则$PB=BC-PC=4-x$，故$PA=PB=4-x$。
在Rt△APC中，由勾股定理得$AP^2=PC^2+AC^2$，代入得：
$(4-x)^2=3^2+x^2$，展开化简得$16-8x=9$，解得$x=\frac{7}{8}$。
因此$PB=4-\frac{7}{8}=\frac{25}{8}\mathrm{cm}$，点P的总运动路程为$AB+BP=5+\frac{25}{8}=\frac{65}{8}\mathrm{cm}$，运动速度为1cm/s，故$t=\frac{65}{8}÷1=\frac{65}{8}$。
(2) △ACP为等腰三角形，分4种情况讨论：
①中当P在AB上，$AP=CP$时：
由等边对等角得∠A=∠ACP，又∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，故∠B=∠BCP，得$CP=BP$，因此P为AB中点，$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\mathrm{cm}$，故$t=\frac{5}{2}÷1=\frac{5}{2}$。
② 当P在AB上，$AP=AC=3\mathrm{cm}$时：
运动路程为3cm，故$t=3÷1=3$。
③ 当P在AB上，$AC=PC$时：
过点C作$CD⊥AB$于D，由等面积法得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}\mathrm{cm}$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\frac{9}{5}\mathrm{cm}$，等腰△ACP中CD⊥AP，故$AP=2AD=\frac{18}{5}\mathrm{cm}$，因此$t=\frac{18}{5}÷1=\frac{18}{5}$。
④ 当P在BC上，$AC=PC=3\mathrm{cm}$时：
$BP=BC-PC=4-3=1\mathrm{cm}$，总运动路程为$AB+BP=5+1=6\mathrm{cm}$，故$t=6÷1=6$。
综上，当$t$为$\frac{5}{2}$或3或$\frac{18}{5}$或6时，△ACP为等腰三角形。
变式4
，要使△OAB为等腰三角形，分4种情况讨论：
① 当$OB_1=AB_1$时，∠OAB=∠1=50°；
② 当$OA=AB_2$时，∠OBA=∠1=50°，故∠OAB=180°-2×50°=80°；
③ 当$OA=OB_3$时，∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180°-50°)=65°；④ 当$OA=OB_4$时，∠AOB=180°-50°=130°，故∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180°-130°)=25°。
综上，∠OAB的度数为$50°$或$65°$或$80°$或$25°$。
变式5
(1) 已知∠BDA=115°，∠ADE=40°，由平角定义得∠EDC=180°-115°-40°=25°；
△DEC中，∠C=40°，由三角形内角和得∠DEC=180°-40°-25°=115°；
点D从B向C运动时，∠B=40°不变，∠BAD逐渐变大，故∠BDA=180°-40°-∠BAD，因此∠BDA逐渐变小。
(2) 当$DC=2$时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=180°-40°=140°，
∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=180°-40°=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又
∵∠B=∠C=40°，$AB=DC=2$，
∴△ABD≌△DCE(AAS)。
(3) △ADE可以是等腰三角形，分情况讨论：
若$AD=AE$，则∠ADE=∠AED=40°，此时∠DAE=100°=∠BAC，点D与B重合，不符合题意，舍去；
若$AD=DE$，则∠DAE=∠DEA=$\frac{1}{2}(180°-40°)=70°$，∠BAD=100°-70°=30°，故∠BDA=180°-40°-30°=110°；
若$AE=DE$，则∠DAE=∠ADE=40°，∠BAD=100°-40°=60°，故∠BDA=180°-40°-60°=80°。
综上，∠BDA的度数为110°或80°。
【答案】
原题4：(1)$t=\frac{65}{8}$；(2)$t$的值为$\frac{5}{2}$或$3$或$\frac{18}{5}$或$6$。
变式4：$50°$或$65°$或$80°$或$25°$
变式5：(1)$25$；$115$；小；(2)当$DC=2$时△ABD≌△DCE；(3)$∠BDA$的度数为$110°$或$80°$。
【知识点】
等腰三角形性质、分类讨论思想、全等三角形判定
【点评】
本组题是等腰三角形章节的经典题型，重点考查分类讨论的数学思想，需要学生熟练掌握勾股定理、三角形内角和、全等三角形判定等知识，解题时要注意验证每种情况是否符合题目的限制条件，避免出现漏解、错解的情况。
【难度系数】
0.6
本组题均围绕等腰三角形的分类讨论展开，解题核心是：当等腰三角形未明确腰与底边、顶角与底角时，需分所有可能的情况讨论，避免漏解。动点类问题先确定动点所在线段，结合勾股定理、直角三角形性质列方程求解；角度类问题分三条边分别为腰的四类情况，结合三角形内角和计算角度；结合全等的问题先推导等角条件，再匹配全等判定的边条件，最后验证等腰三角形的成立合理性。
【解析】
原题4
(1) 已知△ABC中∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，
，连结AP：先由勾股定理求AC长度：在Rt△ABC中，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{25-16}=3\mathrm{cm}$。
点P在BC上且满足PA=PB，设$PC=x$，则$PB=BC-PC=4-x$，故$PA=PB=4-x$。
在Rt△APC中，由勾股定理得$AP^2=PC^2+AC^2$，代入得：
$(4-x)^2=3^2+x^2$，展开化简得$16-8x=9$，解得$x=\frac{7}{8}$。
因此$PB=4-\frac{7}{8}=\frac{25}{8}\mathrm{cm}$，点P的总运动路程为$AB+BP=5+\frac{25}{8}=\frac{65}{8}\mathrm{cm}$，运动速度为1cm/s，故$t=\frac{65}{8}÷1=\frac{65}{8}$。
(2) △ACP为等腰三角形，分4种情况讨论：
①
中当P在AB上，$AP=CP$时：由等边对等角得∠A=∠ACP，又∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，故∠B=∠BCP，得$CP=BP$，因此P为AB中点，$AP=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\mathrm{cm}$，故$t=\frac{5}{2}÷1=\frac{5}{2}$。
② 当P在AB上，$AP=AC=3\mathrm{cm}$时：
运动路程为3cm，故$t=3÷1=3$。
③ 当P在AB上，$AC=PC$时：
过点C作$CD⊥AB$于D，由等面积法得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}\mathrm{cm}$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\frac{9}{5}\mathrm{cm}$，等腰△ACP中CD⊥AP，故$AP=2AD=\frac{18}{5}\mathrm{cm}$，因此$t=\frac{18}{5}÷1=\frac{18}{5}$。
④ 当P在BC上，$AC=PC=3\mathrm{cm}$时：
$BP=BC-PC=4-3=1\mathrm{cm}$，总运动路程为$AB+BP=5+1=6\mathrm{cm}$，故$t=6÷1=6$。
综上，当$t$为$\frac{5}{2}$或3或$\frac{18}{5}$或6时，△ACP为等腰三角形。
变式4
，要使△OAB为等腰三角形，分4种情况讨论：① 当$OB_1=AB_1$时，∠OAB=∠1=50°；
② 当$OA=AB_2$时，∠OBA=∠1=50°，故∠OAB=180°-2×50°=80°；
③ 当$OA=OB_3$时，∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180°-50°)=65°；④ 当$OA=OB_4$时，∠AOB=180°-50°=130°，故∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180°-130°)=25°。
综上，∠OAB的度数为$50°$或$65°$或$80°$或$25°$。
变式5
(1) 已知∠BDA=115°，∠ADE=40°，由平角定义得∠EDC=180°-115°-40°=25°；
△DEC中，∠C=40°，由三角形内角和得∠DEC=180°-40°-25°=115°；
点D从B向C运动时，∠B=40°不变，∠BAD逐渐变大，故∠BDA=180°-40°-∠BAD，因此∠BDA逐渐变小。
(2) 当$DC=2$时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=180°-40°=140°，
∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=180°-40°=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又
∵∠B=∠C=40°，$AB=DC=2$，
∴△ABD≌△DCE(AAS)。
(3) △ADE可以是等腰三角形，分情况讨论：
若$AD=AE$，则∠ADE=∠AED=40°，此时∠DAE=100°=∠BAC，点D与B重合，不符合题意，舍去；
若$AD=DE$，则∠DAE=∠DEA=$\frac{1}{2}(180°-40°)=70°$，∠BAD=100°-70°=30°，故∠BDA=180°-40°-30°=110°；
若$AE=DE$，则∠DAE=∠ADE=40°，∠BAD=100°-40°=60°，故∠BDA=180°-40°-60°=80°。
综上，∠BDA的度数为110°或80°。
【答案】
原题4：(1)$t=\frac{65}{8}$；(2)$t$的值为$\frac{5}{2}$或$3$或$\frac{18}{5}$或$6$。
变式4：$50°$或$65°$或$80°$或$25°$
变式5：(1)$25$；$115$；小；(2)当$DC=2$时△ABD≌△DCE；(3)$∠BDA$的度数为$110°$或$80°$。
【知识点】
等腰三角形性质、分类讨论思想、全等三角形判定
【点评】
本组题是等腰三角形章节的经典题型，重点考查分类讨论的数学思想，需要学生熟练掌握勾股定理、三角形内角和、全等三角形判定等知识，解题时要注意验证每种情况是否符合题目的限制条件，避免出现漏解、错解的情况。
【难度系数】
0.6
