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4.在物理实验室小红设计了杠杆平衡实验.如图,取一根长80 cm且质地均匀的木杆,用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来,在左侧距离中点O 30 cm处挂一个重4 N的物体,为了保持木杆水平,在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉,改变弹簧测力计与中点O的距离L(单位:cm),看弹簧测力计的示数F(单位:N)的变化情况(动力×动力臂=阻力×阻力臂).在做此实验后,得到的数据如表所示.
(1)在已学过的函数中选择合适的模型,求F(单位:N)与L(单位:cm)的函数解析式;
(2)补充表中数据:a=,b=;
(3)在实验中发现,在弹簧测力计的承受范围内,为了保持木杆水平,弹簧测力计越靠近中心点O,弹簧测力计示数就;
(4)若弹簧测力计的最大量程是5 N,求L的取值范围.
(1)在已学过的函数中选择合适的模型,求F(单位:N)与L(单位:cm)的函数解析式;
(2)补充表中数据:a=,b=;
(3)在实验中发现,在弹簧测力计的承受范围内,为了保持木杆水平,弹簧测力计越靠近中心点O,弹簧测力计示数就;
(4)若弹簧测力计的最大量程是5 N,求L的取值范围.
答案
解：
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，可得
$F· L = 4×30 = 120$，
∴ F与L的函数解析式为 $\boldsymbol{F=\dfrac{120}{L}(L＞0)}$。
(2) 当$F=4.8$时，$a=\dfrac{120}{4.8}=25$；
当$L=32$时，$b=\dfrac{120}{32}=3.75$。
故$a=25$，$b=3.75$。
(3) 由$F=\dfrac{120}{L}$，$k=120＞0$，当$L＞0$时，F随L的减小而增大，因此弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就越大。
(4) ∵ 弹簧测力计的最大量程是5 N，
∴ $\dfrac{120}{L} ≤ 5$，
又∵ $L＞0$，
解得 $L ≥ 24$，
由题意可知弹簧测力计在O点右侧，木杆总长80 cm，故$L≤40$，
∴ L的取值范围是 $\boldsymbol{24 ≤ L ≤ 40}$。
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，可得
$F· L = 4×30 = 120$，
∴ F与L的函数解析式为 $\boldsymbol{F=\dfrac{120}{L}(L＞0)}$。
(2) 当$F=4.8$时，$a=\dfrac{120}{4.8}=25$；
当$L=32$时，$b=\dfrac{120}{32}=3.75$。
故$a=25$，$b=3.75$。
(3) 由$F=\dfrac{120}{L}$，$k=120＞0$，当$L＞0$时，F随L的减小而增大，因此弹簧测力计越靠近中心点O，弹簧测力计示数就越大。
(4) ∵ 弹簧测力计的最大量程是5 N，
∴ $\dfrac{120}{L} ≤ 5$，
又∵ $L＞0$，
解得 $L ≥ 24$，
由题意可知弹簧测力计在O点右侧，木杆总长80 cm，故$L≤40$，
∴ L的取值范围是 $\boldsymbol{24 ≤ L ≤ 40}$。
解析
【分析】
本题结合物理杠杆平衡条件与数学反比例函数的应用，解题思路如下：①根据杠杆平衡条件（动力×动力臂=阻力×阻力臂），确定F与L的乘积为定值，从而判断F与L成反比例关系，选择反比例函数模型；②利用已知的阻力、阻力臂计算定值，进而推导F与L的函数解析式；③将表格中已知的F或L代入解析式，计算对应的a、b值；④根据反比例函数的性质，分析F随L的变化规律；⑤结合弹簧测力计的最大量程和木杆长度限制，求解L的取值范围。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，已知阻力为4N，阻力臂为30cm，动力为F，动力臂为L，可得：
$F· L = 4×30 = 120$，
因此F与L的函数解析式为 $\boldsymbol{F=\dfrac{120}{L}(L＞0)}$。
(2) 当$F=4.8$时，代入解析式得：$a=\dfrac{120}{4.8}=25$；
当$L=32$时，代入解析式得：$b=\dfrac{120}{32}=3.75$。
故$a=25$，$b=3.75$。
(3) 由$F=\dfrac{120}{L}$，其中$k=120＞0$，当$L＞0$时，F随L的减小而增大，因此弹簧测力计越靠近中心点O（L越小），弹簧测力计示数就越大。
(4) 已知弹簧测力计的最大量程是5N，即$F≤5$，代入解析式得：
$\dfrac{120}{L} ≤ 5$，
又因为$L＞0$，解得$L ≥ 24$；
结合题意，弹簧测力计在O点右侧，木杆总长80cm，故右侧最大距离为$80÷2=40cm$，即$L≤40$；
因此L的取值范围是 $\boldsymbol{24 ≤ L ≤ 40}$。
【答案】
(1)$F=\dfrac{120}{L}(L＞0)$；(2)25，3.75；(3)越大；(4)$24 ≤ L ≤ 40$
【知识点】
反比例函数的应用、杠杆平衡条件
【点评】
本题将物理杠杆平衡知识与数学反比例函数跨学科结合，考查学生综合运用知识解决实际问题的能力，需准确理解杠杆平衡条件，掌握反比例函数的性质及实际应用中的自变量取值范围限制。
【难度系数】
0.5
本题结合物理杠杆平衡条件与数学反比例函数的应用，解题思路如下：①根据杠杆平衡条件（动力×动力臂=阻力×阻力臂），确定F与L的乘积为定值，从而判断F与L成反比例关系，选择反比例函数模型；②利用已知的阻力、阻力臂计算定值，进而推导F与L的函数解析式；③将表格中已知的F或L代入解析式，计算对应的a、b值；④根据反比例函数的性质，分析F随L的变化规律；⑤结合弹簧测力计的最大量程和木杆长度限制，求解L的取值范围。
【解析】
(1) 根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，已知阻力为4N，阻力臂为30cm，动力为F，动力臂为L，可得：
$F· L = 4×30 = 120$，
因此F与L的函数解析式为 $\boldsymbol{F=\dfrac{120}{L}(L＞0)}$。
(2) 当$F=4.8$时，代入解析式得：$a=\dfrac{120}{4.8}=25$；
当$L=32$时，代入解析式得：$b=\dfrac{120}{32}=3.75$。
故$a=25$，$b=3.75$。
(3) 由$F=\dfrac{120}{L}$，其中$k=120＞0$，当$L＞0$时，F随L的减小而增大，因此弹簧测力计越靠近中心点O（L越小），弹簧测力计示数就越大。
(4) 已知弹簧测力计的最大量程是5N，即$F≤5$，代入解析式得：
$\dfrac{120}{L} ≤ 5$，
又因为$L＞0$，解得$L ≥ 24$；
结合题意，弹簧测力计在O点右侧，木杆总长80cm，故右侧最大距离为$80÷2=40cm$，即$L≤40$；
因此L的取值范围是 $\boldsymbol{24 ≤ L ≤ 40}$。
【答案】
(1)$F=\dfrac{120}{L}(L＞0)$；(2)25，3.75；(3)越大；(4)$24 ≤ L ≤ 40$
【知识点】
反比例函数的应用、杠杆平衡条件
【点评】
本题将物理杠杆平衡知识与数学反比例函数跨学科结合，考查学生综合运用知识解决实际问题的能力，需准确理解杠杆平衡条件，掌握反比例函数的性质及实际应用中的自变量取值范围限制。
【难度系数】
0.5
5. 如图①,在左边托盘A中放置一个固定的重物,在右边托盘B中放置一定质量的砝码(可左右移动),可使得仪器左右平衡.改变托盘B与点O的距离,记录托盘B中相应的砝码质量,得到如下表:
(1)依据实验结果,在图②中先描出散点图,由图可知表中数据(, )有误;
(2)删去有误的数据后,根据散点图选择合适的函数模型,试确定y关于x的函数解析式;
(3)当砝码质量为24 g时,求托盘B与点O的距离;
(4)当托盘B向左移动6 cm时,为使得仪器在移动前后均保持左右平衡,托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍,求在移动前托盘B中的砝码质量.
(1)依据实验结果,在图②中先描出散点图,由图可知表中数据(, )有误;
(2)删去有误的数据后,根据散点图选择合适的函数模型,试确定y关于x的函数解析式;
(3)当砝码质量为24 g时,求托盘B与点O的距离;
(4)当托盘B向左移动6 cm时,为使得仪器在移动前后均保持左右平衡,托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍,求在移动前托盘B中的砝码质量.
答案
解：
(1) 描点略，由散点分布规律可知表中数据$\boldsymbol{(28,6)}$有误；
(2) 由杠杆平衡原理，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，
将$(20,15)$代入解析式，得$15=\frac{k}{20}$，
解得$k=300$。
验证其余有效数据，均符合该反比例关系，
因此$y$关于$x$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{300}{x}(x＞0)}$；
(3) 将$y=24$代入$y=\frac{300}{x}$，得$24=\frac{300}{x}$，
解得$x=12.5$。
即当砝码质量为24 g时，托盘B与点O的距离为12.5 cm；
(4) 设移动前托盘B与点O的距离为$x$ cm，则移动后托盘B与点O的距离为$(x-6)$ cm。
由题意得：
$\frac{300}{x-6}=2·\frac{300}{x}$
化简得$\frac{1}{x-6}=\frac{2}{x}$，
解得$x=12$，
经检验，$x=12$是原方程的解，且符合题意。
此时移动前砝码质量为$\frac{300}{12}=25$ g。
答：移动前托盘B中的砝码质量为25 g。
(1) 描点略，由散点分布规律可知表中数据$\boldsymbol{(28,6)}$有误；
(2) 由杠杆平衡原理，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，
将$(20,15)$代入解析式，得$15=\frac{k}{20}$，
解得$k=300$。
验证其余有效数据，均符合该反比例关系，
因此$y$关于$x$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{300}{x}(x＞0)}$；
(3) 将$y=24$代入$y=\frac{300}{x}$，得$24=\frac{300}{x}$，
解得$x=12.5$。
即当砝码质量为24 g时，托盘B与点O的距离为12.5 cm；
(4) 设移动前托盘B与点O的距离为$x$ cm，则移动后托盘B与点O的距离为$(x-6)$ cm。
由题意得：
$\frac{300}{x-6}=2·\frac{300}{x}$
化简得$\frac{1}{x-6}=\frac{2}{x}$，
解得$x=12$，
经检验，$x=12$是原方程的解，且符合题意。
此时移动前砝码质量为$\frac{300}{12}=25$ g。
答：移动前托盘B中的砝码质量为25 g。
解析
【分析】
本题基于杠杆平衡原理：左边固定重物的力矩为定值，即力×力臂=常数，因此右边砝码质量y与托盘B到O的距离x成反比例关系，对应函数模型为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
(1) 对给出的数据点，代入反比例关系验证，可找出不符合规律的错误数据；
(2) 选择反比例函数模型，代入正确的数据求出常数k，确定函数解析式；
(3) 将$y=24$代入已确定的函数解析式，求解对应的x值；
(4) 设移动前的距离为x，移动后距离为$(x-6)$，根据“移动后砝码质量是移动前的2倍”，结合函数关系列方程，求解并检验解的合理性。
【解析】
解：
(1) 描点略，根据杠杆平衡的反比例关系，验证各数据点，可知表中数据$\boldsymbol{(28,6)}$有误；
(2) 由杠杆平衡原理，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，将正确点$(20,15)$代入解析式，得$15=\frac{k}{20}$，解得$k=300$；验证其余有效数据均符合该反比例关系，因此$y$关于$x$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{300}{x}(x＞0)}$；
(3) 将$y=24$代入$y=\frac{300}{x}$，得$24=\frac{300}{x}$，解得$x=12.5$，即当砝码质量为24 g时，托盘B与点O的距离为12.5 cm；
(4) 设移动前托盘B与点O的距离为$x$ cm，则移动后托盘B与点O的距离为$(x-6)$ cm，由题意得：$\frac{300}{x-6}=2·\frac{300}{x}$，化简得$\frac{1}{x-6}=\frac{2}{x}$，解得$x=12$；经检验，$x=12$是原方程的解且符合题意，此时移动前砝码质量为$\frac{300}{12}=25$ g。
【答案】
(1) $(28,6)$；
(2) $y=\frac{300}{x}(x＞0)$；
(3) $12.5$ cm；
(4) $25$ g。
【知识点】
反比例函数的应用、杠杆平衡原理
【点评】
本题结合实际生活中的杠杆平衡问题，考查反比例函数的应用，需理解力矩平衡的关系，建立反比例函数模型解决问题，步骤清晰，注重数学与实际的结合。
【难度系数】
0.6
本题基于杠杆平衡原理：左边固定重物的力矩为定值，即力×力臂=常数，因此右边砝码质量y与托盘B到O的距离x成反比例关系，对应函数模型为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
(1) 对给出的数据点，代入反比例关系验证，可找出不符合规律的错误数据；
(2) 选择反比例函数模型，代入正确的数据求出常数k，确定函数解析式；
(3) 将$y=24$代入已确定的函数解析式，求解对应的x值；
(4) 设移动前的距离为x，移动后距离为$(x-6)$，根据“移动后砝码质量是移动前的2倍”，结合函数关系列方程，求解并检验解的合理性。
【解析】
解：
(1) 描点略，根据杠杆平衡的反比例关系，验证各数据点，可知表中数据$\boldsymbol{(28,6)}$有误；
(2) 由杠杆平衡原理，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，将正确点$(20,15)$代入解析式，得$15=\frac{k}{20}$，解得$k=300$；验证其余有效数据均符合该反比例关系，因此$y$关于$x$的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{300}{x}(x＞0)}$；
(3) 将$y=24$代入$y=\frac{300}{x}$，得$24=\frac{300}{x}$，解得$x=12.5$，即当砝码质量为24 g时，托盘B与点O的距离为12.5 cm；
(4) 设移动前托盘B与点O的距离为$x$ cm，则移动后托盘B与点O的距离为$(x-6)$ cm，由题意得：$\frac{300}{x-6}=2·\frac{300}{x}$，化简得$\frac{1}{x-6}=\frac{2}{x}$，解得$x=12$；经检验，$x=12$是原方程的解且符合题意，此时移动前砝码质量为$\frac{300}{12}=25$ g。
【答案】
(1) $(28,6)$；
(2) $y=\frac{300}{x}(x＞0)$；
(3) $12.5$ cm；
(4) $25$ g。
【知识点】
反比例函数的应用、杠杆平衡原理
【点评】
本题结合实际生活中的杠杆平衡问题，考查反比例函数的应用，需理解力矩平衡的关系，建立反比例函数模型解决问题，步骤清晰，注重数学与实际的结合。
【难度系数】
0.6
