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12. 阅读材料1：已知关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}$的解是$x=m$或$x=\frac{1}{m}$，不妨约定这种方程为“对称方程”. 例如“对称方程”$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解是$x=3$或$x=\frac{1}{3}$.
阅读材料2：将分式$\frac{x^2+2x-5}{x+3}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
解：由分母为$x+3$，可设$x^2+2x-5=(x+3)(x+a)+b$.
$\therefore x^2+2x-5=(x+3)(x+a)+b=x^2+ax+3x+3a+b=x^2+(a+3)x+(3a+b)$.
$\because$对于任意$x$，上述等式均成立，$\therefore \begin{cases} a+3=2, \\ 3a+b=-5. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=-2. \end{cases}$
$\therefore \frac{x^2+2x-5}{x+3}=\frac{(x+3)(x-1)-2}{x+3}=\frac{(x+3)(x-1)}{x+3}-\frac{2}{x+3}=x-1-\frac{2}{x+3}$.
这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
根据上述材料，回答下列问题：
（1）“对称方程”$y-3+\frac{1}{y-3}=7+\frac{1}{7}$的解是
（2）将分式$\frac{x^2-5}{x-2}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为
（3）解关于$x$的“对称方程”$x+\frac{1}{4x+2}=\frac{a^2 -a +1}{2a}$（$a$为常数且$a≠0$），结果用含$a$的代数式表示.
阅读材料2：将分式$\frac{x^2+2x-5}{x+3}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
解：由分母为$x+3$，可设$x^2+2x-5=(x+3)(x+a)+b$.
$\therefore x^2+2x-5=(x+3)(x+a)+b=x^2+ax+3x+3a+b=x^2+(a+3)x+(3a+b)$.
$\because$对于任意$x$，上述等式均成立，$\therefore \begin{cases} a+3=2, \\ 3a+b=-5. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-1, \\ b=-2. \end{cases}$
$\therefore \frac{x^2+2x-5}{x+3}=\frac{(x+3)(x-1)-2}{x+3}=\frac{(x+3)(x-1)}{x+3}-\frac{2}{x+3}=x-1-\frac{2}{x+3}$.
这样，分式就被拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.
根据上述材料，回答下列问题：
（1）“对称方程”$y-3+\frac{1}{y-3}=7+\frac{1}{7}$的解是
$y=10$或$y=3\frac{1}{7}$
.（2）将分式$\frac{x^2-5}{x-2}$拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为
$x+2-\frac{1}{x-2}$
.（3）解关于$x$的“对称方程”$x+\frac{1}{4x+2}=\frac{a^2 -a +1}{2a}$（$a$为常数且$a≠0$），结果用含$a$的代数式表示.
答案
12. 解：（1）$y=10$或$y=3\frac{1}{7}$
（2）$x+2-\frac{1}{x-2}$
（3）设$2x+1=y$，则$x=\frac{1}{2}(y-1)$。
$\therefore$原方程化为$\frac{1}{2}(y-1)+\frac{1}{2y}=\frac{a^2 -a +1}{2a}$，
即$y-1+\frac{1}{y}=\frac{a^2 -a +1}{a}$。
整理，得$y+\frac{1}{y}=\frac{a^2 -a +1}{a}+1$，
即$y+\frac{1}{y}=\frac{a^2 +1}{a}$。
$\therefore y+\frac{1}{y}=a+\frac{1}{a}$。
$\therefore y=a$或$y=\frac{1}{a}$。
$\therefore 2x+1=a$或$2x+1=\frac{1}{a}$。
解得$x=\frac{a-1}{2}$或$x=\frac{1-a}{2a}$。
经检验，$x=\frac{a-1}{2}$或$x=\frac{1-a}{2a}$都是原方程的解。
（2）$x+2-\frac{1}{x-2}$
（3）设$2x+1=y$，则$x=\frac{1}{2}(y-1)$。
$\therefore$原方程化为$\frac{1}{2}(y-1)+\frac{1}{2y}=\frac{a^2 -a +1}{2a}$，
即$y-1+\frac{1}{y}=\frac{a^2 -a +1}{a}$。
整理，得$y+\frac{1}{y}=\frac{a^2 -a +1}{a}+1$，
即$y+\frac{1}{y}=\frac{a^2 +1}{a}$。
$\therefore y+\frac{1}{y}=a+\frac{1}{a}$。
$\therefore y=a$或$y=\frac{1}{a}$。
$\therefore 2x+1=a$或$2x+1=\frac{1}{a}$。
解得$x=\frac{a-1}{2}$或$x=\frac{1-a}{2a}$。
经检验，$x=\frac{a-1}{2}$或$x=\frac{1-a}{2a}$都是原方程的解。
解析
【分析】
（1）第（1）问利用材料1的“对称方程”结论，采用整体换元思想，把$y-3$看作一个整体，对应方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}$中的$x$，可得$y-3=7$或$y-3=\frac{1}{7}$，直接求解即可。
（2）第（2）问模仿材料2的分式拆分方法，根据分母设分子为$(x-2)(x+a)+b$，展开后对应系数相等求出$a、b$的值，再拆分分式即可。
（3）第（3）问先通过换元法把原方程转化为“对称方程”的标准形式，再利用材料1的结论求解，最后要检验所得根是否为原分式方程的根。
【解析】
（1）根据“对称方程”的结论，令$t=y-3$，则方程变为$t+\frac{1}{t}=7+\frac{1}{7}$，所以$t=7$或$t=\frac{1}{7}$。
当$t=7$时，$y-3=7$，解得$y=10$；
当$t=\frac{1}{7}$时，$y-3=\frac{1}{7}$，解得$y=3+\frac{1}{7}=3\frac{1}{7}$。
（2）由分母为$x-2$，设$x^2-5=(x-2)(x+a)+b$，
展开得：$x^2-5=x^2+(a-2)x+(-2a+b)$，
因为对任意$x$等式成立，所以$\begin{cases}a-2=0\\-2a+b=-5\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=2\\b=-1\end{cases}$，
所以$\frac{x^2-5}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)-1}{x-2}=x+2-\frac{1}{x-2}$。
（3）设$2x+1=y$，则$x=\frac{1}{2}(y-1)$，$4x+2=2y$，
代入原方程得：$\frac{1}{2}(y-1)+\frac{1}{2y}=\frac{a^2 -a +1}{2a}$，
两边同乘2得：$y-1+\frac{1}{y}=\frac{a^2 -a +1}{a}$，
整理得：$y+\frac{1}{y}=\frac{a^2 -a +1}{a}+1=\frac{a^2 +1}{a}=a+\frac{1}{a}$，
根据“对称方程”结论得：$y=a$或$y=\frac{1}{a}$，
即$2x+1=a$或$2x+1=\frac{1}{a}$，
解得$x=\frac{a-1}{2}$或$x=\frac{1-a}{2a}$，
经检验，$x=\frac{a-1}{2}$和$x=\frac{1-a}{2a}$均为原方程的解。
【答案】
（1）$y=10$或$y=3\frac{1}{7}$；（2）$x+2-\frac{1}{x-2}$；（3）$x=\frac{a-1}{2}$或$x=\frac{1-a}{2a}$
【知识点】
换元法，分式恒等变形，分式方程求解
【点评】
本题属于材料阅读类题型，重点考查对新定义的理解和所学方法的迁移应用能力，解题时要准确理解材料给出的结论和方法，灵活运用换元思想转化问题，同时注意分式方程求解后必须检验根的有效性。
【难度系数】
0.6
（1）第（1）问利用材料1的“对称方程”结论，采用整体换元思想，把$y-3$看作一个整体，对应方程$x+\frac{1}{x}=m+\frac{1}{m}$中的$x$，可得$y-3=7$或$y-3=\frac{1}{7}$，直接求解即可。
（2）第（2）问模仿材料2的分式拆分方法，根据分母设分子为$(x-2)(x+a)+b$，展开后对应系数相等求出$a、b$的值，再拆分分式即可。
（3）第（3）问先通过换元法把原方程转化为“对称方程”的标准形式，再利用材料1的结论求解，最后要检验所得根是否为原分式方程的根。
【解析】
（1）根据“对称方程”的结论，令$t=y-3$，则方程变为$t+\frac{1}{t}=7+\frac{1}{7}$，所以$t=7$或$t=\frac{1}{7}$。
当$t=7$时，$y-3=7$，解得$y=10$；
当$t=\frac{1}{7}$时，$y-3=\frac{1}{7}$，解得$y=3+\frac{1}{7}=3\frac{1}{7}$。
（2）由分母为$x-2$，设$x^2-5=(x-2)(x+a)+b$，
展开得：$x^2-5=x^2+(a-2)x+(-2a+b)$，
因为对任意$x$等式成立，所以$\begin{cases}a-2=0\\-2a+b=-5\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=2\\b=-1\end{cases}$，
所以$\frac{x^2-5}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)-1}{x-2}=x+2-\frac{1}{x-2}$。
（3）设$2x+1=y$，则$x=\frac{1}{2}(y-1)$，$4x+2=2y$，
代入原方程得：$\frac{1}{2}(y-1)+\frac{1}{2y}=\frac{a^2 -a +1}{2a}$，
两边同乘2得：$y-1+\frac{1}{y}=\frac{a^2 -a +1}{a}$，
整理得：$y+\frac{1}{y}=\frac{a^2 -a +1}{a}+1=\frac{a^2 +1}{a}=a+\frac{1}{a}$，
根据“对称方程”结论得：$y=a$或$y=\frac{1}{a}$，
即$2x+1=a$或$2x+1=\frac{1}{a}$，
解得$x=\frac{a-1}{2}$或$x=\frac{1-a}{2a}$，
经检验，$x=\frac{a-1}{2}$和$x=\frac{1-a}{2a}$均为原方程的解。
【答案】
（1）$y=10$或$y=3\frac{1}{7}$；（2）$x+2-\frac{1}{x-2}$；（3）$x=\frac{a-1}{2}$或$x=\frac{1-a}{2a}$
【知识点】
换元法，分式恒等变形，分式方程求解
【点评】
本题属于材料阅读类题型，重点考查对新定义的理解和所学方法的迁移应用能力，解题时要准确理解材料给出的结论和方法，灵活运用换元思想转化问题，同时注意分式方程求解后必须检验根的有效性。
【难度系数】
0.6
