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9. 下列关于$x$的方程，是分式方程的有（
①$\frac{1}{x}=1$；②$\frac{2x+1}{3}=1+\frac{1-3x}{4}$；③$\frac{x}{b}+\frac{x}{b}=1$；④$\frac{x}{a}-3=a+4$；⑤$\frac{2x}{π}=4$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）.①$\frac{1}{x}=1$；②$\frac{2x+1}{3}=1+\frac{1-3x}{4}$；③$\frac{x}{b}+\frac{x}{b}=1$；④$\frac{x}{a}-3=a+4$；⑤$\frac{2x}{π}=4$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
9. A
解析
【分析】
要判断哪些是分式方程，首先需明确分式方程的核心判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时先明确本题是关于x的方程，即只有x是未知数，其余字母（a、b）、特殊常数π均视为常数，再逐一排查每个方程的分母是否含未知数x即可。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，逐个分析如下：
①$\frac{1}{x}=1$：分母为x，含有未知数x，属于分式方程；
②$\frac{2x+1}{3}=1+\frac{1-3x}{4}$：分母为3、4，都是常数，不含未知数，属于整式方程；
③$\frac{x}{b}+\frac{x}{b}=1$：本题是关于x的方程，b为常数，分母不含x，属于整式方程；
④$\frac{x}{a}-3=a+4$：a为常数，分母不含x，属于整式方程；
⑤$\frac{2x}{π}=4$：π是固定常数，分母不含未知数，属于整式方程。
综上，只有1个分式方程，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的定义；常数与未知数的区分
【点评】
本题是方程分类的基础题型，解题关键是抓住分式方程的判定核心：分母中是否含有未知数，需注意特殊常数π不可误判为未知数，针对“关于某字母的方程”，仅该字母是未知数，其余字母均视为常数。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是分式方程，首先需明确分式方程的核心判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时先明确本题是关于x的方程，即只有x是未知数，其余字母（a、b）、特殊常数π均视为常数，再逐一排查每个方程的分母是否含未知数x即可。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，逐个分析如下：
①$\frac{1}{x}=1$：分母为x，含有未知数x，属于分式方程；
②$\frac{2x+1}{3}=1+\frac{1-3x}{4}$：分母为3、4，都是常数，不含未知数，属于整式方程；
③$\frac{x}{b}+\frac{x}{b}=1$：本题是关于x的方程，b为常数，分母不含x，属于整式方程；
④$\frac{x}{a}-3=a+4$：a为常数，分母不含x，属于整式方程；
⑤$\frac{2x}{π}=4$：π是固定常数，分母不含未知数，属于整式方程。
综上，只有1个分式方程，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的定义；常数与未知数的区分
【点评】
本题是方程分类的基础题型，解题关键是抓住分式方程的判定核心：分母中是否含有未知数，需注意特殊常数π不可误判为未知数，针对“关于某字母的方程”，仅该字母是未知数，其余字母均视为常数。
【难度系数】
0.8
10. 已知关于$x$的方程$\frac{x}{x-1} -2=\frac{3k}{2x-2}$的解为正数，则$k$的取值范围是（
A.$k＜\frac{4}{3}$
B.$k＞-\frac{2}{3}$
C.$k＞-\frac{2}{3}$且$k≠0$
D.$k＜\frac{4}{3}$且$k≠\frac{2}{3}$
D
）.A.$k＜\frac{4}{3}$
B.$k＞-\frac{2}{3}$
C.$k＞-\frac{2}{3}$且$k≠0$
D.$k＜\frac{4}{3}$且$k≠\frac{2}{3}$
答案
10. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要把分式方程转化为整式方程，求出用含k的代数式表示的x，再结合两个限制条件求k的取值范围：一是方程的解为正数，即x＞0；二是分式方程有意义，分母不能为0，即x≠1，两个条件缺一不可。
【解析】
第一步：先化简原方程，将分母因式分解：
原方程为 $\frac{x}{x-1} -2=\frac{3k}{2(x-1)}$，最简公分母为$2(x-1)$，且隐含条件$x≠1$。
第二步：方程两边同时乘$2(x-1)$去分母，得：
$2x - 4(x-1) = 3k$
第三步：解整式方程：
展开得 $2x -4x +4 = 3k$
合并同类项得 $-2x = 3k -4$
系数化为1得 $x = \frac{4-3k}{2}$
第四步：根据条件列不等式：
① 解为正数，即$x＞0$，代入得 $\frac{4-3k}{2} ＞0$，解得 $k＜\frac{4}{3}$；
② 分母不为0，即$x≠1$，代入得 $\frac{4-3k}{2} ≠1$，解得 $k≠\frac{2}{3}$。
综上，$k$的取值范围是$k＜\frac{4}{3}$且$k≠\frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型题型，易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的隐含条件，漏算$k≠\frac{2}{3}$的限制，解题时要注意解出x后需同时满足解的正负要求和分式有意义的要求。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要把分式方程转化为整式方程，求出用含k的代数式表示的x，再结合两个限制条件求k的取值范围：一是方程的解为正数，即x＞0；二是分式方程有意义，分母不能为0，即x≠1，两个条件缺一不可。
【解析】
第一步：先化简原方程，将分母因式分解：
原方程为 $\frac{x}{x-1} -2=\frac{3k}{2(x-1)}$，最简公分母为$2(x-1)$，且隐含条件$x≠1$。
第二步：方程两边同时乘$2(x-1)$去分母，得：
$2x - 4(x-1) = 3k$
第三步：解整式方程：
展开得 $2x -4x +4 = 3k$
合并同类项得 $-2x = 3k -4$
系数化为1得 $x = \frac{4-3k}{2}$
第四步：根据条件列不等式：
① 解为正数，即$x＞0$，代入得 $\frac{4-3k}{2} ＞0$，解得 $k＜\frac{4}{3}$；
② 分母不为0，即$x≠1$，代入得 $\frac{4-3k}{2} ≠1$，解得 $k≠\frac{2}{3}$。
综上，$k$的取值范围是$k＜\frac{4}{3}$且$k≠\frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法，分式有意义的条件，一元一次不等式的解法
【点评】
本题是分式方程求参数范围的典型题型，易错点是容易忽略分式方程分母不能为0的隐含条件，漏算$k≠\frac{2}{3}$的限制，解题时要注意解出x后需同时满足解的正负要求和分式有意义的要求。
【难度系数】
0.7
11. 对于两个不相等的实数$a$，$b$，我们规定符号$\max \{a, b\}$表示$a$，$b$中的较大值，如：$\max\{1, 3\} = 3$，按照这个规定，方程$\max\{ \dfrac{1}{x}, -\dfrac{1}{x} \} = \dfrac{3}{4-x}$的解为（
A.1
B.$-2$
C.1或$-2$
D.1或2
C
）。A.1
B.$-2$
C.1或$-2$
D.1或2
答案
11. C
解析
【分析】
解题有两种常用思路：①分类讨论法：首先理解新定义$\max\{a,b\}$的含义是取两个数中的较大值，根据$\frac{1}{x}$和$-\frac{1}{x}$的大小关系，按$x＞0$和$x＜0$两种情况拆分方程，分别转化为普通分式方程求解，解完后要检验分母不为0，同时符合对应的x的取值范围；②代入验证法：作为选择题，可以把选项中的数值分别代入方程左右两边计算，判断是否相等，快速排除错误选项。
【解析】
首先明确分式有意义的条件：$x≠ 0$，$4-x≠ 0$即$x≠ 4$，我们用分类讨论法求解：
1. 当$x＞0$时，$\frac{1}{x}＞0＞-\frac{1}{x}$，因此$\max\{\frac{1}{x},-\frac{1}{x}\}=\frac{1}{x}$，原方程化为：
$\frac{1}{x}=\frac{3}{4-x}$
交叉相乘得$4-x=3x$，移项合并得$4x=4$，解得$x=1$。
检验：$x=1＞0$，分母$x=1≠0$，$4-x=3≠0$，因此$x=1$是有效解。
2. 当$x＜0$时，$-\frac{1}{x}＞0＞\frac{1}{x}$，因此$\max\{\frac{1}{x},-\frac{1}{x}\}=-\frac{1}{x}$，原方程化为：
$-\frac{1}{x}=\frac{3}{4-x}$
交叉相乘得$-(4-x)=3x$，整理得$-4+x=3x$，移项合并得$-2x=4$，解得$x=-2$。
检验：$x=-2＜0$，分母$x=-2≠0$，$4-x=6≠0$，因此$x=-2$是有效解。
综上，方程的解为1或-2。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，分式方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义运算考查分式方程的应用，解题核心是准确理解新定义规则，合理分类转化为常规分式方程，解完后要注意检验分式有意义的条件，同时验证解是否符合分类的前提范围，避免出现无效解。作为选择题也可以通过代入法快速验证选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题有两种常用思路：①分类讨论法：首先理解新定义$\max\{a,b\}$的含义是取两个数中的较大值，根据$\frac{1}{x}$和$-\frac{1}{x}$的大小关系，按$x＞0$和$x＜0$两种情况拆分方程，分别转化为普通分式方程求解，解完后要检验分母不为0，同时符合对应的x的取值范围；②代入验证法：作为选择题，可以把选项中的数值分别代入方程左右两边计算，判断是否相等，快速排除错误选项。
【解析】
首先明确分式有意义的条件：$x≠ 0$，$4-x≠ 0$即$x≠ 4$，我们用分类讨论法求解：
1. 当$x＞0$时，$\frac{1}{x}＞0＞-\frac{1}{x}$，因此$\max\{\frac{1}{x},-\frac{1}{x}\}=\frac{1}{x}$，原方程化为：
$\frac{1}{x}=\frac{3}{4-x}$
交叉相乘得$4-x=3x$，移项合并得$4x=4$，解得$x=1$。
检验：$x=1＞0$，分母$x=1≠0$，$4-x=3≠0$，因此$x=1$是有效解。
2. 当$x＜0$时，$-\frac{1}{x}＞0＞\frac{1}{x}$，因此$\max\{\frac{1}{x},-\frac{1}{x}\}=-\frac{1}{x}$，原方程化为：
$-\frac{1}{x}=\frac{3}{4-x}$
交叉相乘得$-(4-x)=3x$，整理得$-4+x=3x$，移项合并得$-2x=4$，解得$x=-2$。
检验：$x=-2＜0$，分母$x=-2≠0$，$4-x=6≠0$，因此$x=-2$是有效解。
综上，方程的解为1或-2。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，分式方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义运算考查分式方程的应用，解题核心是准确理解新定义规则，合理分类转化为常规分式方程，解完后要注意检验分式有意义的条件，同时验证解是否符合分类的前提范围，避免出现无效解。作为选择题也可以通过代入法快速验证选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
