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1. 下列方程不是分式方程的是（
A.$\frac{x}{3}=\frac{6}{x}$
B.$\frac{10}{x}=\frac{5}{x-1}$
C.$\frac{3x}{x+1}=2$
D.$\frac{x}{3}=\frac{x}{6}-3$
D
）.A.$\frac{x}{3}=\frac{6}{x}$
B.$\frac{10}{x}=\frac{5}{x-1}$
C.$\frac{3x}{x+1}=2$
D.$\frac{x}{3}=\frac{x}{6}-3$
答案
1. D
解析
【分析】
解决这道题的核心是先明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，反之分母不含未知数的方程不属于分式方程。本题要求选出不是分式方程的选项，我们只需逐个检查每个选项方程的分母是否含有未知数即可快速解题。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母里含有未知数的方程是分式方程。
逐一分析各选项：
A. 方程$\frac{x}{3}=\frac{6}{x}$的分母含未知数$x$，属于分式方程，不符合题意；
B. 方程$\frac{10}{x}=\frac{5}{x-1}$的分母$x$、$x-1$都含未知数，属于分式方程，不符合题意；
C. 方程$\frac{3x}{x+1}=2$的分母$x+1$含未知数，属于分式方程，不符合题意；
D. 方程$\frac{x}{3}=\frac{x}{6}-3$的分母是3和6，都是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义
整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是抓住分式方程的判定核心：分母中是否含有未知数，牢记定义即可快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是先明确分式方程的判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，反之分母不含未知数的方程不属于分式方程。本题要求选出不是分式方程的选项，我们只需逐个检查每个选项方程的分母是否含有未知数即可快速解题。
【解析】
首先明确分式方程的定义：分母里含有未知数的方程是分式方程。
逐一分析各选项：
A. 方程$\frac{x}{3}=\frac{6}{x}$的分母含未知数$x$，属于分式方程，不符合题意；
B. 方程$\frac{10}{x}=\frac{5}{x-1}$的分母$x$、$x-1$都含未知数，属于分式方程，不符合题意；
C. 方程$\frac{3x}{x+1}=2$的分母$x+1$含未知数，属于分式方程，不符合题意；
D. 方程$\frac{x}{3}=\frac{x}{6}-3$的分母是3和6，都是常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义
整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是抓住分式方程的判定核心：分母中是否含有未知数，牢记定义即可快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 解分式方程$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$时，去分母后正确的是（
A.$2x+3(x-3)=0$
B.$3x=2(x-3)$
C.$3x+2(x-3)=0$
D.$2x=3(x-3)$
D
）.A.$2x+3(x-3)=0$
B.$3x=2(x-3)$
C.$3x+2(x-3)=0$
D.$2x=3(x-3)$
答案
2. D
解析
【分析】
解分式方程去分母的核心是将分式方程转化为整式方程，具体思路为：首先找到方程中所有分母的最简公分母，再将方程左右两边同时乘这个最简公分母，约去所有分母即可。本题中两个分母分别是$x-3$和$x$，二者没有公因式，因此最简公分母为$x(x-3)$，分别计算两边乘最简公分母的结果，再对比选项就能得出答案。
【解析】
第一步：确定最简公分母
方程$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$的两个分母为$x-3$和$x$，因此最简公分母是$x(x-3)$。
第二步：方程两边同乘最简公分母去分母
将方程两边同时乘$x(x-3)$，约去分母：
左边：$\frac{2}{x-3} × x(x-3) = 2x$
右边：$\frac{3}{x} × x(x-3) = 3(x-3)$
因此去分母后得到等式$2x=3(x-3)$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程去分母；最简公分母确定
【点评】
本题属于分式方程解法的基础题，主要考查去分母的操作规范，解题时要注意找准最简公分母，避免出现左右两边乘积搞反、漏乘的错误。
【难度系数】
0.85
解分式方程去分母的核心是将分式方程转化为整式方程，具体思路为：首先找到方程中所有分母的最简公分母，再将方程左右两边同时乘这个最简公分母，约去所有分母即可。本题中两个分母分别是$x-3$和$x$，二者没有公因式，因此最简公分母为$x(x-3)$，分别计算两边乘最简公分母的结果，再对比选项就能得出答案。
【解析】
第一步：确定最简公分母
方程$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$的两个分母为$x-3$和$x$，因此最简公分母是$x(x-3)$。
第二步：方程两边同乘最简公分母去分母
将方程两边同时乘$x(x-3)$，约去分母：
左边：$\frac{2}{x-3} × x(x-3) = 2x$
右边：$\frac{3}{x} × x(x-3) = 3(x-3)$
因此去分母后得到等式$2x=3(x-3)$。
【答案】
D
【知识点】
分式方程去分母；最简公分母确定
【点评】
本题属于分式方程解法的基础题，主要考查去分母的操作规范，解题时要注意找准最简公分母，避免出现左右两边乘积搞反、漏乘的错误。
【难度系数】
0.85
3. 若$\frac{4}{x}+\frac{2}{x}+\frac{m}{x}=\frac{1}{x-2}·\frac{x^2 - 4}{x}·\frac{n}{x+2}$，则$m$与$n$之间的数量关系为（
A.$n - m = 6$
B.$m - n = 6$
C.$m + n = 6$
D.$n = 6m$
A
）。A.$n - m = 6$
B.$m - n = 6$
C.$m + n = 6$
D.$n = 6m$
答案
3. A
解析
【分析】
要推导m和n的数量关系，需先分别化简等式左右两边的分式。左边是同分母分式相加，直接合并分子即可；右边是分式乘法运算，先利用平方差公式分解$x^2-4$，再通过约分化简。结合分式有意义时分母不为0的条件，化简后两边分母相同，分子必然相等，即可得到m、n的关系。
【解析】
解：由分式有意义的条件可得：$x≠0$，$x≠2$，$x≠-2$。
1. 化简等式左边：
同分母分式相加，分母不变，分子相加，得：
$\frac{4}{x}+\frac{2}{x}+\frac{m}{x}=\frac{4+2+m}{x}=\frac{6+m}{x}$
2. 化简等式右边：
利用平方差公式分解$x^2-4=(x-2)(x+2)$，代入原式得：
$\frac{1}{x-2}·\frac{(x-2)(x+2)}{x}·\frac{n}{x+2}$
约掉分子分母共有的$(x-2)$和$(x+2)$，化简得：$\frac{n}{x}$
3. 建立参数关系：
此时等式为$\frac{6+m}{x}=\frac{n}{x}$，两边同时乘$x$（$x≠0$）得：
$6+m=n$，整理得$n-m=6$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式化简；平方差公式；分式基本性质
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是先对等式两边的分式分别化简，约分过程中要注意隐含的分母不为0的前提，化简后对比即可快速得到参数的数量关系。
【难度系数】
0.8
要推导m和n的数量关系，需先分别化简等式左右两边的分式。左边是同分母分式相加，直接合并分子即可；右边是分式乘法运算，先利用平方差公式分解$x^2-4$，再通过约分化简。结合分式有意义时分母不为0的条件，化简后两边分母相同，分子必然相等，即可得到m、n的关系。
【解析】
解：由分式有意义的条件可得：$x≠0$，$x≠2$，$x≠-2$。
1. 化简等式左边：
同分母分式相加，分母不变，分子相加，得：
$\frac{4}{x}+\frac{2}{x}+\frac{m}{x}=\frac{4+2+m}{x}=\frac{6+m}{x}$
2. 化简等式右边：
利用平方差公式分解$x^2-4=(x-2)(x+2)$，代入原式得：
$\frac{1}{x-2}·\frac{(x-2)(x+2)}{x}·\frac{n}{x+2}$
约掉分子分母共有的$(x-2)$和$(x+2)$，化简得：$\frac{n}{x}$
3. 建立参数关系：
此时等式为$\frac{6+m}{x}=\frac{n}{x}$，两边同时乘$x$（$x≠0$）得：
$6+m=n$，整理得$n-m=6$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式化简；平方差公式；分式基本性质
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题关键是先对等式两边的分式分别化简，约分过程中要注意隐含的分母不为0的前提，化简后对比即可快速得到参数的数量关系。
【难度系数】
0.8
4. 当$x=\_\_\_\_\_\_$时，$\dfrac{3}{2x-1}$与$\dfrac{3}{x+4}$互为相反数。
答案
4. -1
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0，据此可列出关于x的分式方程；接下来按照分式方程的求解步骤操作：先明确分式有意义的分母不为0的条件，再去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后代入检验解是否使原分式有意义，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ $\dfrac{3}{2x-1}$ 与 $\dfrac{3}{x+4}$ 互为相反数
∴ $\dfrac{3}{2x-1} + \dfrac{3}{x+4} = 0$
由分式有意义的条件可得：$2x-1≠0$，$x+4≠0$，即 $x≠\dfrac{1}{2}$ 且 $x≠-4$
方程两边同时乘最简公分母 $(2x-1)(x+4)$，去分母得：
$3(x+4) + 3(2x-1) = 0$
展开括号：$3x + 12 + 6x - 3 = 0$
合并同类项：$9x + 9 = 0$
解得：$x = -1$
检验：把 $x=-1$ 代入最简公分母 $(2x-1)(x+4)$，得 $(2×(-1)-1)×(-1+4) = -9 ≠ 0$，因此$x=-1$是原分式方程的解。
【答案】
-1
【知识点】
相反数的性质，分式方程的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是利用相反数的性质建立方程，求解分式方程时要注意养成验根的习惯，避免增根导致结果错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆相反数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0，据此可列出关于x的分式方程；接下来按照分式方程的求解步骤操作：先明确分式有意义的分母不为0的条件，再去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后代入检验解是否使原分式有意义，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ $\dfrac{3}{2x-1}$ 与 $\dfrac{3}{x+4}$ 互为相反数
∴ $\dfrac{3}{2x-1} + \dfrac{3}{x+4} = 0$
由分式有意义的条件可得：$2x-1≠0$，$x+4≠0$，即 $x≠\dfrac{1}{2}$ 且 $x≠-4$
方程两边同时乘最简公分母 $(2x-1)(x+4)$，去分母得：
$3(x+4) + 3(2x-1) = 0$
展开括号：$3x + 12 + 6x - 3 = 0$
合并同类项：$9x + 9 = 0$
解得：$x = -1$
检验：把 $x=-1$ 代入最简公分母 $(2x-1)(x+4)$，得 $(2×(-1)-1)×(-1+4) = -9 ≠ 0$，因此$x=-1$是原分式方程的解。
【答案】
-1
【知识点】
相反数的性质，分式方程的解法，分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是利用相反数的性质建立方程，求解分式方程时要注意养成验根的习惯，避免增根导致结果错误。
【难度系数】
0.8
5. 若关于$x$的方程$\frac{x+2}{x-a}+\frac{a}{x+a}=1$的解为$x=1$，则$a$的值是
$-\frac{1}{2}$
.答案
5. $-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题已知分式方程的解求参数a的值，解题思路如下：第一步，根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此先将x=1代入原分式方程，得到一个只含有未知数a的分式方程；第二步，按照解分式方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出a的可能值；第三步，因为是分式方程，必须检验所得的a值是否使原方程分母不为0，排除增根，最终得到a的正确值。
【解析】
∵ x=1是方程$\frac{x+2}{x-a}+\frac{a}{x+a}=1$的解，
∴ 将x=1代入原方程，得：
$\frac{1+2}{1-a}+\frac{a}{1+a}=1$，即$\frac{3}{1-a}+\frac{a}{1+a}=1$
方程两边同乘最简公分母$(1-a)(1+a)$去分母，得：
$3(1+a)+a(1-a)=(1-a)(1+a)$
去括号，得：
$3+3a+a-a^2=1-a^2$
移项、合并同类项，得：
$4a=-2$
系数化为1，得：
$a=-\frac{1}{2}$
检验：当$a=-\frac{1}{2}$时，原方程分母$1-a=1-(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}≠0$，$1+a=1+(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}≠0$，因此$a=-\frac{1}{2}$是所得分式方程的解，符合题意。
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的解的定义；解分式方程；分式方程验根
【点评】
本题是基础题型，核心考查利用分式方程的解求未知参数的方法，解题的关键是牢记方程的解满足原方程，代入后将问题转化为关于参数的分式方程求解，需要注意分式方程求解后必须检验，确保分母不为0。
【难度系数】
0.8
本题已知分式方程的解求参数a的值，解题思路如下：第一步，根据方程的解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，因此先将x=1代入原分式方程，得到一个只含有未知数a的分式方程；第二步，按照解分式方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出a的可能值；第三步，因为是分式方程，必须检验所得的a值是否使原方程分母不为0，排除增根，最终得到a的正确值。
【解析】
∵ x=1是方程$\frac{x+2}{x-a}+\frac{a}{x+a}=1$的解，
∴ 将x=1代入原方程，得：
$\frac{1+2}{1-a}+\frac{a}{1+a}=1$，即$\frac{3}{1-a}+\frac{a}{1+a}=1$
方程两边同乘最简公分母$(1-a)(1+a)$去分母，得：
$3(1+a)+a(1-a)=(1-a)(1+a)$
去括号，得：
$3+3a+a-a^2=1-a^2$
移项、合并同类项，得：
$4a=-2$
系数化为1，得：
$a=-\frac{1}{2}$
检验：当$a=-\frac{1}{2}$时，原方程分母$1-a=1-(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}≠0$，$1+a=1+(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}≠0$，因此$a=-\frac{1}{2}$是所得分式方程的解，符合题意。
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
分式方程的解的定义；解分式方程；分式方程验根
【点评】
本题是基础题型，核心考查利用分式方程的解求未知参数的方法，解题的关键是牢记方程的解满足原方程，代入后将问题转化为关于参数的分式方程求解，需要注意分式方程求解后必须检验，确保分母不为0。
【难度系数】
0.8
6. 已知关于$x$的分式方程$\frac{m+4}{x+1}=\frac{2}{x}+2$与$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$的解相同，则$m$的值是
5
。答案
6. 5
解析
【分析】
本题属于同解分式方程求参数的问题，解题思路分两步：第一步先求解不含参数的分式方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$，得到它的解；第二步因为两个方程的解相同，将所得的解代入含参数$m$的分式方程$\frac{m+4}{x+1}=\frac{2}{x}+2$，即可求出$m$的值，注意解分式方程后要检验根是否为增根。
【解析】
首先解方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$：
1. 去分母，两边同时乘最简公分母$x(x-1)$，得：$x=2(x-1)$
2. 去括号：$x=2x-2$
3. 移项、合并同类项：$x=2$
4. 检验：当$x=2$时，$x(x-1)=2×1=2≠0$，所以$x=2$是该分式方程的解。
因为两个分式方程的解相同，所以将$x=2$代入$\frac{m+4}{x+1}=\frac{2}{x}+2$，得：
$\frac{m+4}{2+1}=\frac{2}{2}+2$
化简得：$\frac{m+4}{3}=1+2=3$
两边同时乘3得：$m+4=9$
解得：$m=5$
【答案】
5
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 同解方程的性质
【点评】
本题考查分式方程同解问题的应用，解题核心是先求出无参数方程的解，再代入含参数的方程计算参数，解题过程中要注意分式方程必须验根，避免因增根导致解题错误。
【难度系数】
0.7
本题属于同解分式方程求参数的问题，解题思路分两步：第一步先求解不含参数的分式方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$，得到它的解；第二步因为两个方程的解相同，将所得的解代入含参数$m$的分式方程$\frac{m+4}{x+1}=\frac{2}{x}+2$，即可求出$m$的值，注意解分式方程后要检验根是否为增根。
【解析】
首先解方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$：
1. 去分母，两边同时乘最简公分母$x(x-1)$，得：$x=2(x-1)$
2. 去括号：$x=2x-2$
3. 移项、合并同类项：$x=2$
4. 检验：当$x=2$时，$x(x-1)=2×1=2≠0$，所以$x=2$是该分式方程的解。
因为两个分式方程的解相同，所以将$x=2$代入$\frac{m+4}{x+1}=\frac{2}{x}+2$，得：
$\frac{m+4}{2+1}=\frac{2}{2}+2$
化简得：$\frac{m+4}{3}=1+2=3$
两边同时乘3得：$m+4=9$
解得：$m=5$
【答案】
5
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 同解方程的性质
【点评】
本题考查分式方程同解问题的应用，解题核心是先求出无参数方程的解，再代入含参数的方程计算参数，解题过程中要注意分式方程必须验根，避免因增根导致解题错误。
【难度系数】
0.7
7. 解方程：
(1) $\frac{5}{2x+1}=\frac{2}{x}$；
(2) $\frac{x-1}{x-2}-\frac{1}{2-x}=3$；
(3) $\frac{x}{x-1}-1=\frac{2}{(x-1)(x+2)}$；
(4) $\frac{1}{x+2}+\frac{4x}{x^2-4}=\frac{2}{x-2}$。
(1) $\frac{5}{2x+1}=\frac{2}{x}$；
(2) $\frac{x-1}{x-2}-\frac{1}{2-x}=3$；
(3) $\frac{x}{x-1}-1=\frac{2}{(x-1)(x+2)}$；
(4) $\frac{1}{x+2}+\frac{4x}{x^2-4}=\frac{2}{x-2}$。
答案
7. 解：（1）方程两边乘$x(2x+1)$，得$5x=2(2x+1)$。
解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$x(2x+1)≠0$。
所以，原分式方程的解为$x=2$。
（2）方程两边乘$(x-2)$，得$x-1+1=3x-6$。
解得$x=3$。
检验：当$x=3$时，$x-2≠0$。
所以，原分式方程的解为$x=3$。
（3）方程两边乘$(x-1)(x+2)$，得$x(x+2)-(x-1)(x+2)=2$。
解得$x=0$。
检验：当$x=0$时，$(x-1)(x+2)≠0$。
所以，原分式方程的解为$x=0$。
（4）方程两边乘$(x+2)(x-2)$，得$x-2+4x=2(x+2)$。
解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$。
因此$x=2$不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$x(2x+1)≠0$。
所以，原分式方程的解为$x=2$。
（2）方程两边乘$(x-2)$，得$x-1+1=3x-6$。
解得$x=3$。
检验：当$x=3$时，$x-2≠0$。
所以，原分式方程的解为$x=3$。
（3）方程两边乘$(x-1)(x+2)$，得$x(x+2)-(x-1)(x+2)=2$。
解得$x=0$。
检验：当$x=0$时，$(x-1)(x+2)≠0$。
所以，原分式方程的解为$x=0$。
（4）方程两边乘$(x+2)(x-2)$，得$x-2+4x=2(x+2)$。
解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$。
因此$x=2$不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤如下：①先确定各分式分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③求解得到的整式方程；④必须检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，该解就是原分式方程的解；若最简公分母为0，该解是增根，原分式方程无解。
【解析】
（1）方程两边乘$x(2x+1)$，得$5x=2(2x+1)$，
展开计算得$5x=4x+2$，解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$x(2x+1)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=2$。
（2）先将分母变形为$\frac{1}{2-x}=-\frac{1}{x-2}$，方程两边乘$(x-2)$，得$x-1+1=3(x-2)$，
计算得$x=3x-6$，解得$x=3$。
检验：当$x=3$时，$x-2≠0$，
所以原分式方程的解为$x=3$。
（3）方程两边乘$(x-1)(x+2)$，得$x(x+2)-(x-1)(x+2)=2$，
展开化简得$x+2=2$，解得$x=0$。
检验：当$x=0$时，$(x-1)(x+2)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=0$。
（4）先因式分解得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，方程两边乘$(x+2)(x-2)$，得$x-2+4x=2(x+2)$，
计算得$5x-2=2x+4$，解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，因此$x=2$不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=3$；(3)$x=0$；(4)无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根，增根判定
【点评】
本题是分式方程解法的基础训练题，覆盖了分式方程求解的常见类型，解题的关键是正确找到最简公分母去分母，尤其要牢记解分式方程必须验根，熟练掌握本题解法可为后续分式方程的应用打下基础。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考步骤如下：①先确定各分式分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③求解得到的整式方程；④必须检验：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，该解就是原分式方程的解；若最简公分母为0，该解是增根，原分式方程无解。
【解析】
（1）方程两边乘$x(2x+1)$，得$5x=2(2x+1)$，
展开计算得$5x=4x+2$，解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$x(2x+1)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=2$。
（2）先将分母变形为$\frac{1}{2-x}=-\frac{1}{x-2}$，方程两边乘$(x-2)$，得$x-1+1=3(x-2)$，
计算得$x=3x-6$，解得$x=3$。
检验：当$x=3$时，$x-2≠0$，
所以原分式方程的解为$x=3$。
（3）方程两边乘$(x-1)(x+2)$，得$x(x+2)-(x-1)(x+2)=2$，
展开化简得$x+2=2$，解得$x=0$。
检验：当$x=0$时，$(x-1)(x+2)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=0$。
（4）先因式分解得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，方程两边乘$(x+2)(x-2)$，得$x-2+4x=2(x+2)$，
计算得$5x-2=2x+4$，解得$x=2$。
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，因此$x=2$不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=3$；(3)$x=0$；(4)无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根，增根判定
【点评】
本题是分式方程解法的基础训练题，覆盖了分式方程求解的常见类型，解题的关键是正确找到最简公分母去分母，尤其要牢记解分式方程必须验根，熟练掌握本题解法可为后续分式方程的应用打下基础。
【难度系数】
0.7
8. 解方程：$\frac{4}{x-3}-\frac{x}{3-x}=2$。
以下是某同学解方程$\frac{4}{x-3}-\frac{x}{3-x}=2$的过程：
解：由原方程可得
$\frac{4}{x-3}+\frac{x}{x-3}=2$， ①
因为此时等式左边分式的分母相同，于是可得$4+x=2$。 ②
解得$x=-2$。 ③
检验：当$x=-2$时，$x-3≠0$。 ④
所以原分式方程的解是$x=-2$。
（1）上述解题过程中，从第
（2）请写出正确的解题过程。
以下是某同学解方程$\frac{4}{x-3}-\frac{x}{3-x}=2$的过程：
解：由原方程可得
$\frac{4}{x-3}+\frac{x}{x-3}=2$， ①
因为此时等式左边分式的分母相同，于是可得$4+x=2$。 ②
解得$x=-2$。 ③
检验：当$x=-2$时，$x-3≠0$。 ④
所以原分式方程的解是$x=-2$。
（1）上述解题过程中，从第
②
步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③④即可）（2）请写出正确的解题过程。
答案
8. （1）②
（2）整理，得$\frac{4}{x-3}+\frac{x}{x-3}=2$。
方程两边乘$(x-3)$，得$4+x=2(x-3)$。
解得$x=10$。
检验：当$x=10$时，$x-3≠0$。
所以，原分式方程的解是$x=10$。
（2）整理，得$\frac{4}{x-3}+\frac{x}{x-3}=2$。
方程两边乘$(x-3)$，得$4+x=2(x-3)$。
解得$x=10$。
检验：当$x=10$时，$x-3≠0$。
所以，原分式方程的解是$x=10$。
解析
【分析】
（1）判断错误步骤时，需回忆分式方程去分母的规则：等式两边要同时乘以最简公分母，不能漏乘任何项。观察解题过程，第①步利用分式符号法则将分母统一为$x-3$是正确的；第②步去分母时，仅左边乘以了$(x-3)$，右边的常数项2漏乘了$(x-3)$，因此错误出在第②步。
（2）正确解题思路：首先利用分式符号法则将两个分式的分母统一，再给方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，注意不要漏乘右边的常数项，将分式方程转化为一元一次方程求解，最后代入最简公分母检验，确认解是否为增根。
【解析】
（1）对解题步骤逐一核查：
步骤①：$\frac{x}{3-x}=\frac{x}{-(x-3)}=-\frac{x}{x-3}$，因此原方程变形为$\frac{4}{x-3}+\frac{x}{x-3}=2$，该步正确；
步骤②：去分母时，等式两边需同时乘以最简公分母$(x-3)$，左边变为$4+x$，右边应为$2(x-3)$，题中仅计算左边，右边漏乘$(x-3)$，因此该步错误。
（2）正确解题过程：先统一分母，再去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验解的有效性。
【答案】
（1）$\boldsymbol{②}$
（2）整理，得$\frac{4}{x-3}+\frac{x}{x-3}=2$。
方程两边乘$(x-3)$，得$4+x=2(x-3)$。
解得$x=10$。
检验：当$x=10$时，$x-3≠0$。
所以，原分式方程的解是$x=10$。
【知识点】
分式方程的解法，分式的基本性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点为去分母时漏乘不含分母的项，同时要注意分式方程求解后必须进行检验，排除增根。
【难度系数】
0.8
（1）判断错误步骤时，需回忆分式方程去分母的规则：等式两边要同时乘以最简公分母，不能漏乘任何项。观察解题过程，第①步利用分式符号法则将分母统一为$x-3$是正确的；第②步去分母时，仅左边乘以了$(x-3)$，右边的常数项2漏乘了$(x-3)$，因此错误出在第②步。
（2）正确解题思路：首先利用分式符号法则将两个分式的分母统一，再给方程两边同时乘以最简公分母$(x-3)$，注意不要漏乘右边的常数项，将分式方程转化为一元一次方程求解，最后代入最简公分母检验，确认解是否为增根。
【解析】
（1）对解题步骤逐一核查：
步骤①：$\frac{x}{3-x}=\frac{x}{-(x-3)}=-\frac{x}{x-3}$，因此原方程变形为$\frac{4}{x-3}+\frac{x}{x-3}=2$，该步正确；
步骤②：去分母时，等式两边需同时乘以最简公分母$(x-3)$，左边变为$4+x$，右边应为$2(x-3)$，题中仅计算左边，右边漏乘$(x-3)$，因此该步错误。
（2）正确解题过程：先统一分母，再去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验解的有效性。
【答案】
（1）$\boldsymbol{②}$
（2）整理，得$\frac{4}{x-3}+\frac{x}{x-3}=2$。
方程两边乘$(x-3)$，得$4+x=2(x-3)$。
解得$x=10$。
检验：当$x=10$时，$x-3≠0$。
所以，原分式方程的解是$x=10$。
【知识点】
分式方程的解法，分式的基本性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点为去分母时漏乘不含分母的项，同时要注意分式方程求解后必须进行检验，排除增根。
【难度系数】
0.8
