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1.（北京东城期末）下列各式计算正确的是（
A.$a^3 · a^2 = a^6$
B.$(a^3)^2 = a^5$
C.$a^6 ÷ a^2 = a^4$
D.$(2a^2b)^3 = 2a^6b^3$
C
）。A.$a^3 · a^2 = a^6$
B.$(a^3)^2 = a^5$
C.$a^6 ÷ a^2 = a^4$
D.$(2a^2b)^3 = 2a^6b^3$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路是回忆同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否正确，最终选出符合要求的选项。
【解析】
根据幂的运算性质逐个分析选项：
选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。$a^3 · a^2 = a^{3+2}=a^5 ≠ a^6$，故A错误。
选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘。$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6 ≠ a^5$，故B错误。
选项C：同底数幂相除，底数不变，指数相减。$a^6 ÷ a^2 = a^{6-2}=a^4$，故C正确。
选项D：积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。$(2a^2b)^3 = 2^3×(a^2)^3× b^3=8a^6b^3 ≠ 2a^6b^3$，故D错误。
综上，计算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘除运算；幂的乘方运算；积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类考题，核心是准确掌握各类幂运算的指数变化规则，尤其要注意积的乘方运算不要遗漏对常数系数的乘方计算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，解题思路是回忆同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否正确，最终选出符合要求的选项。
【解析】
根据幂的运算性质逐个分析选项：
选项A：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。$a^3 · a^2 = a^{3+2}=a^5 ≠ a^6$，故A错误。
选项B：幂的乘方，底数不变，指数相乘。$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6 ≠ a^5$，故B错误。
选项C：同底数幂相除，底数不变，指数相减。$a^6 ÷ a^2 = a^{6-2}=a^4$，故C正确。
选项D：积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。$(2a^2b)^3 = 2^3×(a^2)^3× b^3=8a^6b^3 ≠ 2a^6b^3$，故D错误。
综上，计算正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘除运算；幂的乘方运算；积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类考题，核心是准确掌握各类幂运算的指数变化规则，尤其要注意积的乘方运算不要遗漏对常数系数的乘方计算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
2. (山东东营期末) 下列各式中，结果错误的是（
A.$(x+2)(x-3)=x^2 -x -6$
B.$(x-4)(x+4)=x^2 -16$
C.$(2x+3)(2x-6)=2x^2 -3x -18$
D.$(2x-1)(2x+2)=4x^2 +2x -2$
C
）。A.$(x+2)(x-3)=x^2 -x -6$
B.$(x-4)(x+4)=x^2 -16$
C.$(2x+3)(2x-6)=2x^2 -3x -18$
D.$(2x-1)(2x+2)=4x^2 +2x -2$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查整式乘法的正误判断，解题思路是利用多项式乘多项式的运算法则（即两个多项式相乘，用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加）以及平方差公式，逐一计算每个选项等号左侧的式子，将结果和等号右侧对比，找出计算错误的选项即可。
【解析】
我们逐一计算各选项：
A. 计算$(x+2)(x-3)$：
根据多项式乘多项式法则：
$\begin{aligned}(x+2)(x-3)&=x· x + x·(-3) + 2· x + 2·(-3)\\&=x^2 -3x +2x -6\\&=x^2 -x -6\end{aligned}$
和选项右侧一致，A计算正确，不符合题意。
B. 计算$(x-4)(x+4)$：
符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，其中$a=x,b=4$：
$(x-4)(x+4)=x^2 -4^2 =x^2 -16$
和选项右侧一致，B计算正确，不符合题意。
C. 计算$(2x+3)(2x-6)$：
根据多项式乘多项式法则：
$\begin{aligned}(2x+3)(2x-6)&=2x·2x +2x·(-6) +3·2x +3·(-6)\\&=4x^2 -12x +6x -18\\&=4x^2 -6x -18\end{aligned}$
结果和选项右侧的$2x^2 -3x -18$不一致，C计算错误，符合题意。
D. 验证D选项，计算$(2x-1)(2x+2)$：
$\begin{aligned}(2x-1)(2x+2)&=2x·2x +2x·2 + (-1)·2x + (-1)·2\\&=4x^2 +4x -2x -2\\&=4x^2 +2x -2\end{aligned}$
和选项右侧一致，D计算正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式
【点评】
本题是整式乘法的基础计算题，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算规则，计算时要注意不要漏乘项，同时要准确计算各项的系数和符号，避免出现系数漏乘的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法的正误判断，解题思路是利用多项式乘多项式的运算法则（即两个多项式相乘，用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加）以及平方差公式，逐一计算每个选项等号左侧的式子，将结果和等号右侧对比，找出计算错误的选项即可。
【解析】
我们逐一计算各选项：
A. 计算$(x+2)(x-3)$：
根据多项式乘多项式法则：
$\begin{aligned}(x+2)(x-3)&=x· x + x·(-3) + 2· x + 2·(-3)\\&=x^2 -3x +2x -6\\&=x^2 -x -6\end{aligned}$
和选项右侧一致，A计算正确，不符合题意。
B. 计算$(x-4)(x+4)$：
符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，其中$a=x,b=4$：
$(x-4)(x+4)=x^2 -4^2 =x^2 -16$
和选项右侧一致，B计算正确，不符合题意。
C. 计算$(2x+3)(2x-6)$：
根据多项式乘多项式法则：
$\begin{aligned}(2x+3)(2x-6)&=2x·2x +2x·(-6) +3·2x +3·(-6)\\&=4x^2 -12x +6x -18\\&=4x^2 -6x -18\end{aligned}$
结果和选项右侧的$2x^2 -3x -18$不一致，C计算错误，符合题意。
D. 验证D选项，计算$(2x-1)(2x+2)$：
$\begin{aligned}(2x-1)(2x+2)&=2x·2x +2x·2 + (-1)·2x + (-1)·2\\&=4x^2 +4x -2x -2\\&=4x^2 +2x -2\end{aligned}$
和选项右侧一致，D计算正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式
【点评】
本题是整式乘法的基础计算题，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算规则，计算时要注意不要漏乘项，同时要准确计算各项的系数和符号，避免出现系数漏乘的错误。
【难度系数】
0.8
3. 若$(mx+3)(x^2 - x - n)$的运算结果中不含$x^2$项和常数项，则$m$，$n$的值分别为（
A.$m=0$，$n=0$
B.$m=0$，$n=3$
C.$m=3$，$n=1$
D.$m=3$，$n=0$
D
）.A.$m=0$，$n=0$
B.$m=0$，$n=3$
C.$m=3$，$n=1$
D.$m=3$，$n=0$
答案
3. D
解析
【分析】
要解决这类整式乘法中不含某类项的问题，解题思路分为三步：首先按照多项式乘多项式的运算法则展开原式，其次合并同类项找到对应项的系数，最后根据“不含某一项则该项系数为0”的规则列方程，求解即可得到m、n的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(mx+3)(x^2 - x - n)&=mx· x^2 + mx· (-x) + mx· (-n) + 3· x^2 + 3· (-x) + 3· (-n)\\&=mx^3 - mx^2 - mnx + 3x^2 - 3x - 3n\end{aligned}$
合并同类项后，$x^2$项的系数为$(-m + 3)$，常数项为$-3n$。
因为运算结果不含$x^2$项和常数项，所以这两项的系数均为0，可列方程：
1. 对$x^2$项：$-m + 3 = 0$，解得$m=3$
2. 对常数项：$-3n = 0$，解得$n=0$
因此$m=3$，$n=0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；一元一次方程求解
【点评】
本题是整式乘法的基础常考题型，解题核心是理解“不含某一项”的本质是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘法运算和合并同类项的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这类整式乘法中不含某类项的问题，解题思路分为三步：首先按照多项式乘多项式的运算法则展开原式，其次合并同类项找到对应项的系数，最后根据“不含某一项则该项系数为0”的规则列方程，求解即可得到m、n的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(mx+3)(x^2 - x - n)&=mx· x^2 + mx· (-x) + mx· (-n) + 3· x^2 + 3· (-x) + 3· (-n)\\&=mx^3 - mx^2 - mnx + 3x^2 - 3x - 3n\end{aligned}$
合并同类项后，$x^2$项的系数为$(-m + 3)$，常数项为$-3n$。
因为运算结果不含$x^2$项和常数项，所以这两项的系数均为0，可列方程：
1. 对$x^2$项：$-m + 3 = 0$，解得$m=3$
2. 对常数项：$-3n = 0$，解得$n=0$
因此$m=3$，$n=0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；一元一次方程求解
【点评】
本题是整式乘法的基础常考题型，解题核心是理解“不含某一项”的本质是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘法运算和合并同类项的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.（河北石家庄期末）若$9^m=4$，$27^n=2$，则$3^{2m-3n}=$
2
。答案
4. 2
解析
【分析】
解题时首先观察已知和所求式子的底数特征：9、27都是3的整数次幂，因此先将已知的以9、27为底的幂转化为以3为底的幂；再利用同底数幂除法的逆运算，将所求的$3^{2m-3n}$拆分为$3^{2m} ÷ 3^{3n}$，最后代入转化后的已知值计算即可。
【解析】
解：先将已知等式转化为以3为底的幂：
∵ $9^m=(3^2)^m=3^{2m}=4$，
$27^n=(3^3)^n=3^{3n}=2$，
根据同底数幂除法的逆运算$a^{m-n}=a^m ÷ a^n$，可得：
$3^{2m-3n}=3^{2m} ÷ 3^{3n}$，
将$3^{2m}=4$，$3^{3n}=2$代入得：
原式$=4 ÷ 2 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
幂的乘方；同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是将不同底数的幂统一为相同底数，再结合运算性质的逆用变形代入，是幂运算模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知和所求式子的底数特征：9、27都是3的整数次幂，因此先将已知的以9、27为底的幂转化为以3为底的幂；再利用同底数幂除法的逆运算，将所求的$3^{2m-3n}$拆分为$3^{2m} ÷ 3^{3n}$，最后代入转化后的已知值计算即可。
【解析】
解：先将已知等式转化为以3为底的幂：
∵ $9^m=(3^2)^m=3^{2m}=4$，
$27^n=(3^3)^n=3^{3n}=2$，
根据同底数幂除法的逆运算$a^{m-n}=a^m ÷ a^n$，可得：
$3^{2m-3n}=3^{2m} ÷ 3^{3n}$，
将$3^{2m}=4$，$3^{3n}=2$代入得：
原式$=4 ÷ 2 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
幂的乘方；同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是将不同底数的幂统一为相同底数，再结合运算性质的逆用变形代入，是幂运算模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 已知$a+\dfrac{1}{a}=5$，则$a^2+\dfrac{1}{a^2}=$
23
答案
5. 23
解析
【分析】
本题已知$a+\frac{1}{a}$的值，要求$a^2+\frac{1}{a^2}$，解题的核心是利用完全平方公式搭建已知条件和待求式的联系。首先回忆完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，观察发现将已知等式两边同时平方，展开后会出现待求的$a^2+\frac{1}{a^2}$，且交叉项$2· a·\frac{1}{a}=2$是常数，代入计算即可得到结果。
【解析】
已知$a+\frac{1}{a}=5$，将等式两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2=5^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a·\frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 = 25$
化简交叉项$2· a·\frac{1}{a}=2$，可得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 25$
移项计算得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = 25 - 2 = 23$
【答案】
23
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形技巧，运用整体代入的思想即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题已知$a+\frac{1}{a}$的值，要求$a^2+\frac{1}{a^2}$，解题的核心是利用完全平方公式搭建已知条件和待求式的联系。首先回忆完全平方公式：$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，观察发现将已知等式两边同时平方，展开后会出现待求的$a^2+\frac{1}{a^2}$，且交叉项$2· a·\frac{1}{a}=2$是常数，代入计算即可得到结果。
【解析】
已知$a+\frac{1}{a}=5$，将等式两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2=5^2$
根据完全平方公式展开左边：
$a^2 + 2· a·\frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 = 25$
化简交叉项$2· a·\frac{1}{a}=2$，可得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 25$
移项计算得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = 25 - 2 = 23$
【答案】
23
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形技巧，运用整体代入的思想即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图16-2，从边长为$a+b$的正方形纸片中剪去一个边长为$a-b(a＞b＞0)$的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积是
图16-2
4ab
。图16-2
答案
6. 4ab
解析
【分析】
解题时可以利用剪拼前后图形面积不变的特点，有两种解题思路：一是直接计算原图形剩余部分的面积，即边长为$(a+b)$的大正方形面积减去边长为$(a-b)$的小正方形面积，借助整式乘法公式计算即可；二是先确定剪拼后长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算，两种方法最终得到的结果一致。
【解析】
方法一：利用面积差计算
剪拼前后剩余部分面积不变，等于大正方形面积减去小正方形面积：
大正方形面积：$(a+b)^2$，小正方形面积：$(a-b)^2$
则剩余面积为：
$\begin{aligned}&(a+b)^2 - (a-b)^2\\=&(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)\\=&a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab - b^2\\=&4ab\end{aligned}$
方法二：利用剪拼后长方形的长宽计算
观察拼接后的长方形，长为$(a+b)+(a-b)=2a$，宽为$(a+b)-(a-b)=2b$
长方形面积=长×宽=$2a × 2b =4ab$
【答案】
4ab
【知识点】
等积变换，完全平方公式，长方形面积计算
【点评】
本题将整式运算与几何图形剪拼结合，既可以通过面积差直接求解，也可以通过确定拼接后图形的参数计算，能很好地考查数形结合思想的应用，加深对乘法公式几何意义的理解。
【难度系数】
0.7
解题时可以利用剪拼前后图形面积不变的特点，有两种解题思路：一是直接计算原图形剩余部分的面积，即边长为$(a+b)$的大正方形面积减去边长为$(a-b)$的小正方形面积，借助整式乘法公式计算即可；二是先确定剪拼后长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算，两种方法最终得到的结果一致。
【解析】
方法一：利用面积差计算
剪拼前后剩余部分面积不变，等于大正方形面积减去小正方形面积：
大正方形面积：$(a+b)^2$，小正方形面积：$(a-b)^2$
则剩余面积为：
$\begin{aligned}&(a+b)^2 - (a-b)^2\\=&(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)\\=&a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab - b^2\\=&4ab\end{aligned}$
方法二：利用剪拼后长方形的长宽计算
观察拼接后的长方形，长为$(a+b)+(a-b)=2a$，宽为$(a+b)-(a-b)=2b$
长方形面积=长×宽=$2a × 2b =4ab$
【答案】
4ab
【知识点】
等积变换，完全平方公式，长方形面积计算
【点评】
本题将整式运算与几何图形剪拼结合，既可以通过面积差直接求解，也可以通过确定拼接后图形的参数计算，能很好地考查数形结合思想的应用，加深对乘法公式几何意义的理解。
【难度系数】
0.7
7. (北京朝阳期末) 已知 $x^2 + 2x - 2 = 0$，求 $x(x - 2) + (x + 3)^2$ 的值.
答案
解：$x(x-2)+(x+3)^2$
$=x^2-2x+x^2+6x+9$
$=2x^2+4x+9.$
$\because x^2+2x-2=0,$
$\therefore x^2+2x=2.$
$\therefore 原式=2x^2+4x+9=2(x^2+2x)+9=13.$
$=x^2-2x+x^2+6x+9$
$=2x^2+4x+9.$
$\because x^2+2x-2=0,$
$\therefore x^2+2x=2.$
$\therefore 原式=2x^2+4x+9=2(x^2+2x)+9=13.$
解析
【分析】
遇到已知方程求整式值的问题时，无需直接求解未知数x的值，优先先化简待求整式，再观察化简结果和已知方程的关联，用整体代入的方法计算即可，既简化运算又能避免解不出x的问题。解题步骤分三步：第一步根据整式乘法法则和完全平方公式展开待求式，第二步合并同类项化简待求式，第三步将已知方程变形得到$x^2+2x$的值，整体代入化简后的式子计算结果。
【解析】
先对原式进行化简：
$x(x-2)+(x+3)^2$
$=x^2-2x+x^2+6x+9$
$=2x^2+4x+9$
已知$x^2+2x-2=0$，移项可得$x^2+2x=2$，将其代入化简后的式子：
原式$=2(x^2+2x)+9=2×2+9=13$
【答案】
$\boxed{13}$
【知识点】
整式化简、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，重点考查整式运算法则的掌握程度和整体代入思想的运用能力，熟练掌握整式乘法公式、灵活运用整体代入法可快速解题，避免不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.8
遇到已知方程求整式值的问题时，无需直接求解未知数x的值，优先先化简待求整式，再观察化简结果和已知方程的关联，用整体代入的方法计算即可，既简化运算又能避免解不出x的问题。解题步骤分三步：第一步根据整式乘法法则和完全平方公式展开待求式，第二步合并同类项化简待求式，第三步将已知方程变形得到$x^2+2x$的值，整体代入化简后的式子计算结果。
【解析】
先对原式进行化简：
$x(x-2)+(x+3)^2$
$=x^2-2x+x^2+6x+9$
$=2x^2+4x+9$
已知$x^2+2x-2=0$，移项可得$x^2+2x=2$，将其代入化简后的式子：
原式$=2(x^2+2x)+9=2×2+9=13$
【答案】
$\boxed{13}$
【知识点】
整式化简、完全平方公式、整体代入求值
【点评】
本题是整式运算的常规题型，重点考查整式运算法则的掌握程度和整体代入思想的运用能力，熟练掌握整式乘法公式、灵活运用整体代入法可快速解题，避免不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.8
8.（四川乐山期末）甲、乙两个长方形，其边长如图16-3所示$(m＞0)$，其面积分别为$S_{1}$，$S_{2}$.
(1) 比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小；
(2) 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为$S_{3}$，试探究：$S_{3}$与$2(S_{1}+S_{2})$的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由.
(1) 比较$S_{1}$与$S_{2}$的大小；
(2) 若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为$S_{3}$，试探究：$S_{3}$与$2(S_{1}+S_{2})$的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由.
答案
解：(1) 根据长方形的面积公式，得
$S_1=(m+5)(m+1)=m^2+6m+5,$
$S_2=(m+4)(m+2)=m^2+6m+8.$
$\because S_1-S_2=m^2+6m+5-(m^2+6m+8)$
$=m^2+6m+5-m^2-6m-8=-3＜0,$
$\therefore S_1＜S_2.$
(2) 由题意，得正方形的周长$C=2(m+5+m+1+m+4+m+2)=8m+24.$
∴正方形的边长为$C÷4=(8m+24)÷4=2m+6.$
$\therefore S_3=(2m+6)(2m+6)=4m^2+24m+36.$
$\therefore S_3-2(S_1+S_2)$
$=4m^2+24m+36-2(m^2+6m+5+m^2+6m+8)$
$=4m^2+24m+36-2(2m^2+12m+13)$
$=10.$
$\therefore S_3$与$2(S_1+S_2)$的差是定值，定值为10.
$S_1=(m+5)(m+1)=m^2+6m+5,$
$S_2=(m+4)(m+2)=m^2+6m+8.$
$\because S_1-S_2=m^2+6m+5-(m^2+6m+8)$
$=m^2+6m+5-m^2-6m-8=-3＜0,$
$\therefore S_1＜S_2.$
(2) 由题意，得正方形的周长$C=2(m+5+m+1+m+4+m+2)=8m+24.$
∴正方形的边长为$C÷4=(8m+24)÷4=2m+6.$
$\therefore S_3=(2m+6)(2m+6)=4m^2+24m+36.$
$\therefore S_3-2(S_1+S_2)$
$=4m^2+24m+36-2(m^2+6m+5+m^2+6m+8)$
$=4m^2+24m+36-2(2m^2+12m+13)$
$=10.$
$\therefore S_3$与$2(S_1+S_2)$的差是定值，定值为10.
解析
【分析】
(1) 比较两个代数式大小通常用作差法：首先根据长方形面积公式分别求出$S_1$、$S_2$的表达式，再计算$S_1-S_2$，根据差的正负即可判断$S_1$和$S_2$的大小。
(2) 先根据长方形周长公式计算甲、乙两个长方形的周长之和，也就是正方形的周长，再求出正方形的边长，进而得到正方形面积$S_3$，最后计算$S_3-2(S_1+S_2)$，若化简结果不含$m$，则差为定值，否则不是定值。
【解析】
(1) 根据长方形的面积公式，得：
$S_1=(m+5)(m+1)=m^2+6m+5$，
$S_2=(m+4)(m+2)=m^2+6m+8$。
$\because S_1-S_2=m^2+6m+5-(m^2+6m+8)$
$=m^2+6m+5-m^2-6m-8=-3＜0$，
$\therefore S_1＜S_2$。
(2) 由题意，先计算甲、乙两个长方形的周长之和，即正方形的周长：
$C=2(m+5+m+1)+2(m+4+m+2)=8m+24$，
$\therefore$ 正方形的边长为 $C÷4=(8m+24)÷4=2m+6$，
$\therefore S_3=(2m+6)^2=4m^2+24m+36$。
计算$S_3-2(S_1+S_2)$：
$S_3-2(S_1+S_2)$
$=4m^2+24m+36-2(m^2+6m+5+m^2+6m+8)$
$=4m^2+24m+36-2(2m^2+12m+13)$
$=4m^2+24m+36-4m^2-24m-26$
$=10$。
$\therefore S_3$与$2(S_1+S_2)$的差是定值。
【答案】
(1) $S_1＜S_2$；
(2) 差是定值，定值为$\boxed{10}$。
【知识点】
整式的运算，作差法比较大小，图形周长面积计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积公式考查整式的混合运算，解题核心是熟练掌握多项式乘法、合并同类项等整式运算规则，运用作差法完成大小比较和定值探究，整体难度不大，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 比较两个代数式大小通常用作差法：首先根据长方形面积公式分别求出$S_1$、$S_2$的表达式，再计算$S_1-S_2$，根据差的正负即可判断$S_1$和$S_2$的大小。
(2) 先根据长方形周长公式计算甲、乙两个长方形的周长之和，也就是正方形的周长，再求出正方形的边长，进而得到正方形面积$S_3$，最后计算$S_3-2(S_1+S_2)$，若化简结果不含$m$，则差为定值，否则不是定值。
【解析】
(1) 根据长方形的面积公式，得：
$S_1=(m+5)(m+1)=m^2+6m+5$，
$S_2=(m+4)(m+2)=m^2+6m+8$。
$\because S_1-S_2=m^2+6m+5-(m^2+6m+8)$
$=m^2+6m+5-m^2-6m-8=-3＜0$，
$\therefore S_1＜S_2$。
(2) 由题意，先计算甲、乙两个长方形的周长之和，即正方形的周长：
$C=2(m+5+m+1)+2(m+4+m+2)=8m+24$，
$\therefore$ 正方形的边长为 $C÷4=(8m+24)÷4=2m+6$，
$\therefore S_3=(2m+6)^2=4m^2+24m+36$。
计算$S_3-2(S_1+S_2)$：
$S_3-2(S_1+S_2)$
$=4m^2+24m+36-2(m^2+6m+5+m^2+6m+8)$
$=4m^2+24m+36-2(2m^2+12m+13)$
$=4m^2+24m+36-4m^2-24m-26$
$=10$。
$\therefore S_3$与$2(S_1+S_2)$的差是定值。
【答案】
(1) $S_1＜S_2$；
(2) 差是定值，定值为$\boxed{10}$。
【知识点】
整式的运算，作差法比较大小，图形周长面积计算
【点评】
本题结合几何图形的周长、面积公式考查整式的混合运算，解题核心是熟练掌握多项式乘法、合并同类项等整式运算规则，运用作差法完成大小比较和定值探究，整体难度不大，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
