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12. 一元二次方程$x^2 - \sqrt{2}x -1=0$的两个实数根分别是$x_1,x_2$，则$x_1^2 + \sqrt{2}x_2$的值是（
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.3
D
）A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.3
答案
D 解析 $\because x^2-\sqrt{2}x-1=0$ 的两个实数根分别是 $x_1,x_2$,$\therefore x_1^2=\sqrt{2}x_1+1$,$x_1+x_2=\sqrt{2}$,$\therefore x_1^2+\sqrt{2}x_2=\sqrt{2}x_1+1+\sqrt{2}x_2=\sqrt{2}(x_1+x_2)+1=2+1=3$.故选 D.
13. 设$m,n$是$x^2 + 2025x + 7 = 0$的两根，则$(m^2 + 2024m + 6) · (n^2 + 2026n + 8) = \_\_\_\_\_\_$
答案
2 017 解析 $\because m,n$ 是 $x^2+2\ 025x+7=0$ 的两根,$\therefore m^2+2\ 025m+7=0$,$n^2+2\ 025n+7=0$,$m+n=-2\ 025$,$mn=7$,$\therefore m^2+2\ 025m=-7$,$n^2+2\ 025n=-7$,$\therefore (m^2+2\ 024m+6) · (n^2+2\ 026n+8)=(-7-m+6)(-7+n+8)=(-1-m)(n+1)=-n-1-mn-m=-(m+n)-1-mn=-(-2\ 025)-1-7=2\ 017$.故答案为 2 017.
14. (达州中考)已知$x_1,x_2$是方程$2x^2 +kx -2=0$的两个实数根，且$(x_1 -2)(x_2 -2)=10$，则k的值为
7
。答案
7 解析 $\because x_1,x_2$ 是方程 $2x^2+kx-2=0$ 的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=-\frac{k}{2}$,$x_1x_2=-1$,$\therefore (x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=-1-2 × (-\frac{k}{2})+4=10$,解得 $k=7$.
15. (宜宾中考)若关于x的方程$x^2 - 2(m+1)x + m + 4 = 0$两根的倒数和为1，则m的值为
2
.答案
2 解析 设关于 $x$ 的方程 $x^2-2(m+1)x+m+4=0$ 的两根为 $α,β$,$\therefore α+β=2(m+1)$,$αβ=m+4$.$\because$ 两根的倒数和为 1,$\therefore \frac{1}{α}+\frac{1}{β}=1$,$\therefore \frac{α+β}{αβ}=1$,$\therefore \frac{2(m+1)}{m+4}=1$,解得 $m=2$.经检验,$m=2$ 是分式方程的解.当 $m=2$ 时,原方程为 $x^2-6x+6=0$,$b^2-4ac=12＞0$,$\therefore m=2$ 符合题意.即 $m$ 的值为 2.
16. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x -2t +3=0$的两个实数根分别是$x_1,x_2$，则$(x_1 -t)(x_2^2 +3)$的最大值是（
A.$-10$
B.$-8$
C.$-6$
D.$-2$
B
）A.$-10$
B.$-8$
C.$-6$
D.$-2$
答案
B 解析 由题意得 $\Delta=2^2-4(-2t+3) ≥ 0$,解得 $t ≥ 1$.$\because$ 一元二次方程 $x^2+2x-2t+3=0$ 的两个实数根分别是 $x_1,x_2$,$\therefore x_2^2+2x_2-2t+3=0$,$\therefore x_2^2+3=-2x_2+2t$,$\therefore (x_1-t)(x_2^2+3)=(x_1-t)(-2x_2+2t)=-2(x_1-t)(x_2-t)=-2[x_1x_2-(x_1+x_2)t+t^2]$.$\because x_1+x_2=-2$,$x_1x_2=-2t+3$,$\therefore (x_1-t)(x_2^2+3)=-2[x_1x_2-(x_1+x_2)t+t^2]=-2(-2t+3+2t+t^2)=-2t^2-6$.$\because t ≥ 1$,$\therefore -2t^2-6 ≤ -8$,$\therefore (x_1-t)(x_2^2+3)$ 的最大值为-8.故选 B.
17.(2026·济南月考)已知关于x的一元二次方程$x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，且$x_1^2+x_2^2+x_1x_2-6=0$，则m的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
$\frac{2}{3}$ 解析 $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$ 有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$,$\therefore x_1+x_2=-(2m+1)$,$x_1x_2=m^2-1$,$\therefore x_1^2+x_2^2+x_1x_2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2=[-(2m+1)]^2-(m^2-1)=4m^2+4m+1-m^2+1=3m^2+4m+2$,$\because x_1^2+x_2^2+x_1x_2-6=0$,$\therefore 3m^2+4m+2-6=0$,解得 $m_1=-2$,$m_2=\frac{2}{3}$,$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$ 有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta=(2m+1)^2-4(m^2-1)＞0$,解得 $m＞-\frac{5}{4}$,$\therefore m=-2$ 不符合条件,$\therefore m=\frac{2}{3}$,故答案为 $\frac{2}{3}$.
18. (无锡中考)已知关于$x$的方程$4x^2 +4mx +2m -1=0$（$m$为实数）.
(1)求证:对于任意给定的实数$m$,方程恒有两个实数根;
(2)设$x_1,x_2$是方程的两个实数根,求证:$x_1 +x_2 +m=0$.
(1)求证:对于任意给定的实数$m$,方程恒有两个实数根;
(2)设$x_1,x_2$是方程的两个实数根,求证:$x_1 +x_2 +m=0$.
答案
(1)$\because a=4,b=4m,c=2m-1$,$\therefore b^2-4ac=(4m)^2-4 × 4(2m-1)=16(m-1)^2 ≥ 0$,$\therefore$ 方程恒有两个实数根.
(2)$\because x_1,x_2$ 是该方程的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=-\frac{4m}{4}=-m$,$\therefore x_1+x_2+m=0$.
(2)$\because x_1,x_2$ 是该方程的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=-\frac{4m}{4}=-m$,$\therefore x_1+x_2+m=0$.
19. (2026·成都期中)已知关于x的一元二次方程:$x^2-(m+2)x+2m=0$.
(1)若方程的两个根分别为$x_1,x_2$,且满足$x_1^2+x_2^2=13$,求m的值;
(2)若等腰$△ ABC$的一边长为3,另两边的长恰好是此方程的两个根,求$△ ABC$的周长.
(1)若方程的两个根分别为$x_1,x_2$,且满足$x_1^2+x_2^2=13$,求m的值;
(2)若等腰$△ ABC$的一边长为3,另两边的长恰好是此方程的两个根,求$△ ABC$的周长.
答案
(1)由题意知,$\begin{cases} x_1+x_2=m+2, \\ x_1x_2=2m, \end{cases}$ $\because x_1^2+x_2^2=13$,$\therefore (x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=13+4m=(m+2)^2$,即 $m^2=9$,解得 $m=3$ 或 $m=-3$.
(2)将方程因式分解得 $(x-2)(x-m)=0$,此时两根为 $x=2$ 或 $x=m$,①若 3 为腰长,则 $m=3$,三边为 3,3,2,周长为 $3+3+2=8$,②若 3 为底边长,则 $m=2$,三边为 2,2,3,周长为 $2+2+3=7$,综上所述,$△ ABC$ 的周长为 7 或 8.
(2)将方程因式分解得 $(x-2)(x-m)=0$,此时两根为 $x=2$ 或 $x=m$,①若 3 为腰长,则 $m=3$,三边为 3,3,2,周长为 $3+3+2=8$,②若 3 为底边长,则 $m=2$,三边为 2,2,3,周长为 $2+2+3=7$,综上所述,$△ ABC$ 的周长为 7 或 8.
20. (荆门中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x+2m-1=0$有$x_1,x_2$两实数根.
(1)若$x_1=1$,求$x_2$及$m$的值.
(2)是否存在实数$m$,满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=\frac{6}{m-5}$? 若存在,求出实数$m$的值;若不存在,请说明理由.
(1)若$x_1=1$,求$x_2$及$m$的值.
(2)是否存在实数$m$,满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=\frac{6}{m-5}$? 若存在,求出实数$m$的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意得 $b^2-4ac=(-6)^2-4 × 1 × (2m-1) ≥ 0$,$\therefore m ≤ 5$.将 $x_1=1$ 代入原方程,解得 $m=3$.又 $\because x_1x_2=2m-1=5$,$\therefore x_2=5$.
(2)存在.设存在实数 $m$,满足 $(x_1-1)(x_2-1)=\frac{6}{m-5}$,那么有 $x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{6}{m-5}$,即 $(2m-1)-6+1=\frac{6}{m-5}$,整理得 $m^2-8m+12=0$,解得 $m=2$ 或 $m=6$.经检验,$m=2$ 或 6 是分式方程的解.由(1)可知 $m ≤ 5$,又 $m ≠ 5$,$\therefore m=6$ 舍去,$\therefore m=2$.综上所述,存在 $m=2$ 符合题意.
(2)存在.设存在实数 $m$,满足 $(x_1-1)(x_2-1)=\frac{6}{m-5}$,那么有 $x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{6}{m-5}$,即 $(2m-1)-6+1=\frac{6}{m-5}$,整理得 $m^2-8m+12=0$,解得 $m=2$ 或 $m=6$.经检验,$m=2$ 或 6 是分式方程的解.由(1)可知 $m ≤ 5$,又 $m ≠ 5$,$\therefore m=6$ 舍去,$\therefore m=2$.综上所述,存在 $m=2$ 符合题意.
