【例题】王阿姨买了一些鸭梨和苹果,鸭梨的一半和苹果的$\frac{1}{3}$加起来是13个,苹果的一半和鸭梨的$\frac{1}{3}$加起来是12个。请问王阿姨买的鸭梨和苹果一共有多少个?
【分析】
仔细观察题目,我们要求的不是鸭梨和苹果分别有多少,而是它们的总量,所以考虑将“鸭梨+苹果”当作一个整体,如果能找到这个整体的量率对应关系就能解决问题。
本题的两条关键信息中虽然对应的水果交换,但都出现了“一半”和“$\frac{1}{3}$”,“一半”也就是$\frac{1}{2}$。故综合来看,不难发现$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$的“鸭梨+苹果”就是$13+12=25$(个)。找到了“鸭梨+苹果”这个整体的量率对应关系,即$\frac{5}{6}×$“鸭梨+苹果”$=25$个,最后用除法算出“鸭梨+苹果”$=25÷\frac{5}{6}=30$(个)。
【解答】
【方法总结】 在解决复杂的分数除法问题时,要注意观察条件的特点,运用适当方法解决问题。如本题中要求总量,所给条件为分量之间的数量关系,并且有相同的率出现,可以考虑运用整体思想寻找整体的量率对应关系,直接求分量之和,而不是分别求出各分量再求和。

$(12+13)÷(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=30$(个) 答:一共有30个。

1. 小美买了一些铅笔和钢笔，铅笔数量的一半和钢笔数量的$\frac{1}{5}$加起来是12支，钢笔数量的一半和铅笔数量的$\frac{1}{5}$加起来是9支。请问小美买的铅笔和钢笔一共有多少支？

1. $(12+9)÷(\frac{1}{2}+\frac{1}{5})=30$(支) 答:一共有30支。
提示: 由题意可知,$(\frac{1}{2}+\frac{1}{5})$的“铅笔+钢笔”就是12+9=21(支)。找到了“铅笔+钢笔”这个整体的量率对应关系,就能用除法算出“铅笔+钢笔”= $21÷(\frac{1}{2}+\frac{1}{5})=30$(支)。

2. 今年小明年龄的一半和爸爸年龄的$\frac{1}{4}$加起来是16岁，如果再过4年，小明年龄的$\frac{1}{4}$和爸爸年龄的一半加起来是26岁。请问今年小明和爸爸的年龄和是多少岁？

2. $26-4×\frac{1}{4}-4×\frac{1}{2}=23$(岁) $(16+23)÷(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=$52(岁) 答:今年小明和爸爸年龄和是52岁。
提示:先将“如果再过4年,小明年龄的$\frac{1}{4}$和爸爸年龄的一半加起来是26岁”转化为“今年小明年龄的$\frac{1}{4}$和爸爸年龄的一半加起来是$26-4×\frac{1}{4}-4×\frac{1}{2}=23$(岁)”,然后分析得到今年“小明和爸爸年龄和”的$(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})$是16+23=39(岁)。所以今年“小明和爸爸年龄和”是$39÷(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=52$(岁)。
易错警示 对应分率的年龄变化
注意再过4年,小明和爸爸的年龄都会增加4岁,所以小明4年后年龄的$\frac{1}{4}$与今年的$\frac{1}{4}$相比,差了$4×\frac{1}{4}$岁,不是4岁。同理,爸爸4年后年龄的$\frac{1}{2}$与今年的$\frac{1}{2}$相比,差了$4×\frac{1}{2}$岁,不是4岁。

3. 今年乐乐年龄的一半和妈妈年龄的$\frac{1}{4}$相比少了3岁，如果再过4年，乐乐年龄的$\frac{1}{4}$和妈妈年龄的一半相比少16岁。请问今年乐乐和妈妈的年龄相差了多少岁？

3. $16+4×\frac{1}{4}-4×\frac{1}{2}=15$(岁) $(15+3)÷(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=$24(岁) 答:今年乐乐和妈妈的年龄差是24岁。
提示:先将“如果再过4年,乐乐年龄的$\frac{1}{4}$和妈妈年龄的一半相比少16岁”转化为“今年乐乐年龄的$\frac{1}{4}$和妈妈年龄的一半相比少$16+4×\frac{1}{4}-4×\frac{1}{2}=15$(岁)”,然后分析得到今年“妈妈和乐乐年龄差”的$(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})$是3+15=18(岁)。所以今年“妈妈和乐乐年龄差”是$18÷(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=24$(岁)。