7.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$□ OABC$的边$OC$在$x$轴上,对角线$AC$,$OB$交于点$M$,函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A(3,4)$和点$M$.
(1)求$k$的值和点$M$的坐标；
(2)求$□ OABC$的周长.

(1)解:$\because$ 点 $A(3,4)$ 在 $y=\frac{k}{x}$ 上, $\therefore k=12. \because$ 四边形 $OABC$ 是平行四边形, $\therefore AM=MC, \therefore$ 点 $M$ 的纵坐标为 2. $\because$ 点 $M$ 在 $y=\frac{12}{x}$ 的图象上, $\therefore M(6,2)$。 (2) $\because AM=MC, A(3,4),M(6,2), \therefore C(9,0), \therefore OC=9$, $OA=\sqrt{3^2+4^2}=5, \therefore □ OABC$ 的周长为 $2(OA+OC)=2×(5+9)=28.$

8. 如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点E，与AB交于点F，连接AE.
(1)若点B的坐标为$(-5,0)$，求$m$的值；
(2)若$AF - AE=2$，求反比例函数的解析式.

(1)解:$\because$ 点 $B$ 的坐标为 $(-5,0)$, $AD=3,AB=8,E$ 为 $CD$ 的中点, $\therefore A(-5,8),E(-2,4). \because$ 反比例函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象经过点 $E, \therefore m=-2×4=-8.$ (2) $\because AD=3,DE=\frac{1}{2}×8=4,∠ D=90°, \therefore AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5. \because AF-AE=2, \therefore AF=5+2=7, \therefore BF=8-7=1.$ 设点 $E$ 的坐标为 $(a,4)$, 则点 $F$ 的坐标为 $(a-3,1). \because E,F$ 两点在函数 $y=\frac{m}{x}$ 的图象上, $\therefore 4a=a-3.$ 解得 $a=-1, \therefore E(-1,4), \therefore m=-1×4=-4, \therefore$ 反比例函数解析式为 $y=-\frac{4}{x}.$

9.(新考法)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,点D的坐标为$(4,3)$.
(1)求k的值;
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的顶点D落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上时,求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离.

(1)解:如图,过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线,垂足为 $F$,易知点 $A,D,F$ 在同一条直线上. $\because$ 点 $D$ 的坐标为 $(4,3), \therefore OF=4,DF=3.$ $\therefore OD=5. \because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $\therefore AD=OD=5. \therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(4,8). \therefore k=xy=4×8=32.$ (2)如图,将菱形 $ABCD$ 沿 $x$ 轴正方向平移,使得点 $D$ 落在反比例函数 $y=\frac{32}{x}(x＞0)$ 的图象上的点 $D'$ 处,过点 $D'$ 作 $x$ 轴的垂线,垂足为 $F'. \because DF=3, \therefore D'F'=3. \therefore$ 点 $D'$ 的纵坐标为 3. $\because$ 点 $D'$ 在 $y=\frac{32}{x}(x＞0)$ 的图象上, $\therefore 3=\frac{32}{x}$, 解得 $x=\frac{32}{3}$, 即 $OF'=\frac{32}{3}. \therefore FF'=\frac{32}{3}-4=\frac{20}{3}. \therefore$ 菱形 $ABCD$ 沿 $x$ 轴正方向平移的距离为 $\frac{20}{3}.$